Расщепленная алгебра Ли

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математической области теории Ли , алгебра Ли Раскол является пара , где есть алгебра Ли и является расщепление подалгебра Картана , где «расщепление» означает , что для всех , является triangularizable . Если алгебра Ли допускает расщепление, она называется расщепляемой алгеброй Ли . ^[1] Обратите внимание, что для редуктивных алгебр Ли подалгебра Картана должна содержать центр.${\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} <{\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {\ mathfrak {g}} x}$

Над алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа , все полупростые алгебры Ли расщепляемы (действительно, подалгебра Картана не только действует с помощью триангулируемых матриц, но даже сильнее, она действует с помощью диагонализируемых матриц), и все расщепления сопряжены; таким образом, расщепленные алгебры Ли представляют наибольший интерес для неалгебраически замкнутых полей.

Расщепленные алгебры Ли представляют интерес как потому, что они формализуют расщепляемую вещественную форму комплексной алгебры Ли, так и потому, что расщепленные полупростые алгебры Ли (в более общем плане, расщепленные редуктивные алгебры Ли) над любым полем имеют много общих свойств с полупростыми алгебрами Ли над алгебраически замкнутыми полями - имеющий по существу ту же теорию представлений, например - расщепляющую подалгебру Картана, играющую ту же роль, что и подалгебра Картана над алгебраически замкнутыми полями. Таков подход, использованный, например, в ( Бурбаки 2005 ).

Свойства [ править ]

• Над алгебраически замкнутым полем все подалгебры Картана сопряжены. Над неалгебраически замкнутыми полями не все подалгебры Картана, вообще говоря, сопряжены; однако в расщепляемой полупростой алгебре Ли все расщепляющие алгебры Картана сопряжены.
• Над алгебраически замкнутым полем все полупростые алгебры Ли расщепляемы.
• Над неалгебраически замкнутым полем существуют нерасщепляемые полупростые алгебры Ли. ^[2]
• В расщепляемой алгебре Ли могут существовать нерасщепляющиеся подалгебры Картана. ^[3]
• Прямые суммы расщепляемых алгебр Ли и идеалы расщепляемых алгебр Ли расщепляемы.

Расщепить вещественные алгебры Ли [ править ]

Для реальной алгебры Ли расщепляемость эквивалентна любому из этих условий: ^[4]

• Реальный ранг равен комплексному рангу.
• На диаграмме Сатаке нет ни черных вершин, ни стрелок.

Каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет единственную (с точностью до изоморфизма) расщепляемую вещественную алгебру Ли, которая также полупроста и проста тогда и только тогда, когда комплексная алгебра Ли такова. ^[5]

Для вещественных полупростых алгебр Ли расщепленные алгебры Ли противоположны компактным алгебрам Ли - соответствующая группа Ли «насколько это возможно» не является компактной.

Примеры [ править ]

Расщепляемые вещественные формы комплексных полупростых алгебр Ли: ^[6]

• ${\ displaystyle A_ {n}, {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbf {C}): {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbf {R})}$
• ${\ displaystyle B_ {n}, {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} (\ mathbf {C}): {\ mathfrak {so}} _ {n, n + 1} (\ mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle C_{n},{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle D_{n},{\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n}(\mathbf {R} )}$
• Исключительные алгебры Ли: раскололи реальные формы Е I, Е V, E VIII, F I, G .${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

Это алгебры Ли расщепляемых вещественных групп комплексных групп Ли.

Обратите внимание, что для и , действительная форма - это вещественные точки (алгебры Ли) той же алгебраической группы , в то время как для одного необходимо использовать расщепленные формы (максимально неопределенного индекса), поскольку группа SO компактна.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

См. Также [ править ]

• Компактная алгебра Ли
• Реальная форма
• Сплит-комплексное число
• Расщепленная ортогональная группа

Ссылки [ править ]