Компактная алгебра Ли

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математической области теории Ли , есть два определения из более компактной алгебры Ли . Внешне и топологически компактная алгебра Ли - это алгебра Ли компактной группы Ли ; ^[1] это определение включает торы. По сути и алгебраически компактная алгебра Ли - это вещественная алгебра Ли, форма Киллинга которой отрицательно определена ; это определение более ограничительное и исключает торы. ^[2] Компактную алгебру Ли можно рассматривать как наименьшую действительную форму соответствующей комплексной алгебры Ли, а именно комплексификацию.

Определение [ править ]

Формально компактную алгебру Ли можно определить либо как алгебру Ли компактной группы Ли, либо как вещественную алгебру Ли, форма Киллинга которой отрицательно определена. Эти определения не совсем совпадают: ^[2]

• Killing форма на алгебре Ли компактной группы Ли отрицательная пола определенного , а не отрицательно определены в целом.
• Если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно определена, то алгебра Ли является алгеброй Ли компактной полупростой группы Ли.

Вообще говоря, алгебра Ли компактной группы Ли разлагается как прямая сумма алгебры Ли коммутативного слагаемого (для которого соответствующая подгруппа является тором) и слагаемого, на котором форма Киллинга отрицательно определена.

Важно отметить, что обратное к первому результату выше неверно: даже если форма Киллинга алгебры Ли отрицательно полуопределенная, это не означает, что алгебра Ли является алгеброй Ли некоторой компактной группы. Например, форма Киллинга на алгебре Ли группы Гейзенберга тождественно нулевая, следовательно, отрицательно полуопределенная, но эта алгебра Ли не является алгеброй Ли какой-либо компактной группы.

Свойства [ править ]

• Компактные алгебры Ли редуктивны ; ^[3] отметим, что аналогичный результат верен для компактных групп в целом.
• Алгебра Ли для компактной группы Ли G допускает объявление ( G ) -инвариантный внутренний продукт ,. ^[4] Наоборот, если допускает Ad-инвариантное скалярное произведение, то является алгеброй Ли некоторой компактной группы. ^[5] Если оно полупростое, то этот внутренний продукт можно рассматривать как отрицание формы Киллинга. Таким образом, относительно этого внутреннего продукта Ad ( G ) действует посредством ортогональных преобразований ( ) и действует посредством кососимметричных матриц ( ). ^[4]${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {SO} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} \ {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} ({\ mathfrak {g}})}$Теорию комплексных полупростых алгебр Ли можно развить, рассматривая их как комплексификации алгебр Ли компактных групп; ^[6] наличие Ad-инвариантного внутреннего продукта на компактной вещественной форме значительно упрощает разработку.

  Это можно рассматривать как компактный аналог теоремы Адо о представимости алгебр Ли: точно так же, как любая конечномерная алгебра Ли характеристики 0 вкладывается в любую компактную алгебру Ли в${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}},}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}}.}$

• Satake схема компактной алгебры Ли является Дынкин комплексной алгебры Ли все вершинами почерневших.
• Компактные алгебры Ли противоположны разбиению вещественных алгебр Ли между действительными формами , причем расщепленные алгебры Ли «насколько это возможно» от компактности.

Классификация [ править ]

Компактные алгебры Ли классифицируются и называются в соответствии с компактными вещественными формами комплексных полупростых алгебр Ли . Это:

• ${\ displaystyle A_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {n + 1},}$соответствующая специальной унитарной группе (собственно, компактная форма - PSU, проективная специальная унитарная группа );
• ${\ displaystyle B_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1},}$соответствующие специальной ортогональной группе (или соответствующие ортогональной группе );${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} _ {2n + 1},}$
• ${\ displaystyle C_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {n},}$соответствующий компактной симплектической группе ; иногда пишется ;${\ displaystyle {\ mathfrak {usp}} _ {n},}$
• ${\ displaystyle D_ {n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$соответствующая специальной ортогональной группе (или соответствующая ортогональной группе ) (собственно, компактная форма - это PSO, проективная специальная ортогональная группа );${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n},}$
• Компактные вещественные формы исключительных алгебр Ли ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.}$

Изоморфизмы [ править ]

Классификация не является избыточным , если один принимает для для для и для Если один вместо этого берет или получаются определенные исключительные изоморфизмы .${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle C_{n},}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle D_{n}.}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n\geq 1}$

For - тривиальная диаграмма, соответствующая тривиальной группе${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).}$

Ибо изоморфизм соответствует изоморфизмам диаграмм и соответствующим изоморфизмам групп Ли (3-сфера или единичные кватернионы ).${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

Ибо изоморфизм соответствует изоморфизму диаграмм и соответствующему изоморфизму групп Ли${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).}$

Ибо изоморфизм соответствует изоморфизму диаграмм и соответствующему изоморфизму групп Ли${\displaystyle n=3,}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).}$

Если рассматривать и как диаграммы, они изоморфны и соответственно соответствующим изоморфизмам алгебр Ли.${\displaystyle E_{4}}$${\displaystyle E_{5}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle D_{5},}$

См. Также [ править ]

• Реальная форма
• Расщепленная алгебра Ли

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Группа Ли, компактная , В. Л. Попов , в Энциклопедии математики, ISBN 1-4020-0609-8 , SpringerLink