Группа петель

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , А группа петель представляет собой группу из петель в топологической группы G с умножением , определенным точечно .

Определение [ править ]

В своей наиболее общей форме петли группа представляет собой группу непрерывных отображений на многообразии М в топологической группе G .

Более конкретно, ^[1] пусть M = S ¹ , круг в комплексной плоскости , и пусть LG обозначит пространство из непрерывных отображений S ¹ → G , т.е.

${\ Displaystyle LG = \ {\ гамма: S ^ {1} \ к G | \ гамма \ в C (S ^ {1}, G) \},}$

оборудован компактно-открытой топологией . Элемент LG называется цикл в G . Поточечное умножение таких петель дает LG структуру топологической группы. Параметризуем S ¹ с помощью θ ,

${\ Displaystyle \ гамма: \ тета \ в S ^ {1} \ mapsto \ гамма (\ тета) \ в G,}$

и определим умножение в LG как

${\ Displaystyle (\ гамма _ {1} \ гамма _ {2}) (\ тета) \ эквив \ гамма _ {1} (\ тета) \ гамма _ {2} (\ тета).}$

Ассоциативность следует из ассоциативности в G . Обратное дается формулой

${\displaystyle \gamma ^{-1}:\gamma ^{-1}(\theta )\equiv \gamma (\theta )^{-1},}$

и идентичность

${\displaystyle e:\theta \mapsto e\in G.}$

Пространство LG называется группой бесплатно петли на G . Группа петель - это любая подгруппа группы свободных петель LG .

Примеры [ править ]

Важным примером петлевой группы является группа

${\displaystyle \Omega G\,}$

петель , основанных на G . Он определен как ядро ​​оценочной карты

${\displaystyle e_{1}:LG\to G,\gamma \mapsto \gamma (1)}$,

и, следовательно, является замкнутой нормальной подгруппой в LG . (Здесь e ₁ - это карта, которая отправляет цикл для его значения в .) Обратите внимание, что мы можем встроить G в LG как подгруппу постоянных циклов. Следовательно, мы приходим к расщепляемой точной последовательности${\displaystyle 1\in S^{1}}$

${\displaystyle 1\to \Omega G\to LG\to G\to 1}$.

Пространство LG раскалывается как полупрямой продукт ,

${\displaystyle LG=\Omega G\rtimes G}$.

Мы также можем думать Ом G как пространство петель на G . С этой точки зрения Ω G является H-пространством относительно конкатенации петель. На первый взгляд кажется, что это дает Ω G две очень разные карты произведения. Однако можно показать, что конкатенация и поточечное умножение гомотопны . Таким образом, с точки зрения теории гомотопии Ω G , эти отображения взаимозаменяемы.

Группы петель были использованы для объяснения явления преобразований Бэклунда в солитонных уравнениях Чуу-Лиан Тернг и Карен Уленбек . ^[2]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Bäuerle, GGA; де Керф, EA (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер; APE Ten Kroode (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. 7 . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1- через ScienceDirect .CS1 maint: ref=harv (link)
• Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986), Группы петель , Оксфордские математические монографии. Oxford Science Publications, Нью-Йорк: Oxford University Press , ISBN. 978-0-19-853535-5, MR  0900587

См. Также [ править ]

• Пространство петли
• Алгебра петель
• Квазигруппа