Реальная форма (теория Ли)

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Точечная симметрия Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , понятие реальной формы относится объекты , определенные над полем из реальных и комплексных чисел. Реальная алгебра г ₀ называется вещественной формой комплексной алгебры Ли г , если г является комплексификацией из г ₀ :

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ simeq {\ mathfrak {g}} _ {0} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}.}$

Понятие вещественной формы можно также определить для комплексных групп Ли . Вещественные формы комплексных полупростых групп Ли и алгебр Ли были полностью классифицированы Эли Картаном .

Вещественные формы для групп Ли и алгебраических групп [ править ]

Используя соответствие Ли между группами Ли и алгебрами Ли , можно определить понятие вещественной формы для групп Ли. В случае линейных алгебраических групп понятия комплексификации и вещественной формы имеют естественное описание на языке алгебраической геометрии .

Классификация [ править ]

Подобно тому, как комплексные полупростые алгебры Ли классифицируются диаграммами Дынкина , действительные формы полупростой алгебры Ли классифицируются диаграммами Сатаке , которые получаются из диаграммы Дынкина комплексной формы путем пометки некоторых вершин черным (заполненными) и соединения некоторых других вершины попарно стрелками, по определенным правилам.

Основным фактом структурной теории комплексных полупростых алгебр Ли является то, что каждая такая алгебра имеет две специальные вещественные формы: одна является компактной вещественной формой и соответствует компактной группе Ли при соответствии Ли (ее диаграмма Сатаке имеет все черные вершины) , а другой - расщепленная вещественная форма и соответствует группе Ли, которая максимально далека от компактности (ее диаграмма Сатаке не имеет черных вершин и стрелок). В случае комплексной специальной линейной группы SL ( n , C ) компактной вещественной формой является специальная унитарная группа SU ( n), а расщепленная вещественная форма - это специальная вещественная линейная группа SL ( n , R ). Классификация вещественных форм полупростых алгебр Ли была проведена Эли Картаном в контексте римановых симметрических пространств . В общем, реальных форм может быть больше двух.

Предположим, что g ₀ - полупростая алгебра Ли над полем действительных чисел. По критерию Картана форма Киллинга невырождена и может быть диагонализована в подходящем базисе с диагональными элементами +1 или -1. По закону инерции Сильвестра количество положительных элементов или положительный индекс инерции является инвариантом билинейной формы, т.е. не зависит от выбора диагонализирующего базиса. Это число между 0 и размерностью g, которая является важным инвариантом реальной алгебры Ли, называемым ее индексом .

Разделить реальную форму [ править ]

Вещественная форма g ₀ конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли g называется расщепляемой или нормальной , если в каждом разложении Картана g ₀ = k ₀  ⊕  p ₀ пространство p ₀ содержит максимальную абелеву подалгебру в g ₀ , т.е. ее подалгебра Картана . Эли Картан доказал, что всякая комплексная полупростая алгебра Ли g имеет расщепляемую вещественную форму, единственную с точностью до изоморфизма. ^[1] Имеет максимальный показатель среди всех реальных форм.

Разделенная форма соответствует диаграмме Сатаке без черных вершин и стрелок.

Компактная реальная форма [ править ]

Реальная алгебра г ₀ называется компактным , если форма Killing является отрицательно определенной , т.е. индекс г ₀ равен нулю. В этом случае g ₀  =  k ₀ - компактная алгебра Ли . Известно, что при соответствии Ли компактные алгебры Ли соответствуют компактным группам Ли .

Компактная форма соответствует диаграмме Сатаке со всеми черными вершинами.

Построение компактной вещественной формы [ править ]

Вообще говоря, при построении компактной вещественной формы используется структурная теория полупростых алгебр Ли. Для классических алгебр Ли существует более явная конструкция.

Пусть g ₀ - вещественная алгебра матриц над R , замкнутая относительно транспонированного отображения,

${\ displaystyle X \ to {X} ^ {t}.}$

Тогда g ₀ разлагается в прямую сумму своей кососимметричной части k ₀ и своей симметричной части p ₀ , это разложение Картана :

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {k}} _ {0} \ oplus {\ mathfrak {p}} _ {0}.}$

Комплексификацией г из г ₀ разлагается в прямую сумму г ₀ и Ig ₀ . Действительное векторное пространство матриц

${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} _ {0} = {\ mathfrak {k}} _ {0} \ oplus я {\ mathfrak {p}} _ {0}}$

замкнутое относительно коммутаторов подпространство комплексной алгебры Ли g , состоящее из косоэрмитовых матриц . Отсюда следует, что u ₀ - вещественная подалгебра Ли в g , что ее форма Киллинга отрицательно определена (что делает ее компактной алгеброй Ли) и что комплексификация u ₀ равна g . Следовательно, u ₀ - компактная форма g .

См. Также [ править ]

• Комплексификация (группа Ли)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]