Форма убийства

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , то форма Killing , названная в честь Вильгельма Killing , является симметричной билинейной формой , которая играет основную роль в теории групп Ли и алгебр Ли .

История и имя [ править ]

Форма Киллинга была существенно введена в теорию алгебр Ли Эли Картаном  ( 1894 г. ) в его диссертации. Название «Убийственная форма» впервые появилось в статье Арманда Бореля в 1951 году, но в 2001 году он заявил, что не помнит, почему выбрал именно его. Борель признает, что это название кажется неправильным , и что правильнее было бы назвать его «формой Картана» . ^[1] Вильгельм Киллинготметил, что коэффициенты характеристического уравнения регулярного полупростого элемента алгебры Ли инвариантны относительно присоединенной группы, из чего следует, что форма Киллинга (т.е. коэффициент степени 2) инвариантна, но он не особо использовал этого факта. Основным результатом, использованным Картаном, был критерий Картана , который утверждает, что форма Киллинга невырождена тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простых алгебр Ли . ^[1]

Определение [ править ]

Рассмотрим алгебру Ли над полем K . Каждый элемент x из определяет присоединенный эндоморфизм ad ( x ) (также обозначаемый как ad _x ) с помощью скобки Ли, как${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x) (y) = [x, y].}$

Теперь, предположим, что он имеет конечную размерность, след композиции двух таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle В (х, y) = \ OperatorName {след} (\ Operatorname {ad} (x) \ circ \ OperatorName {ad} (y)),}$

со значениями в K , в виде киллингова на .${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Свойства [ править ]

Следующие свойства следуют как теоремы из приведенного выше определения.

• Форма Киллинга B билинейна и симметрична.
• Форма Киллинга является инвариантной формой, как и все другие формы, полученные из операторов Казимира . Вывод Казимира операторов обращается в нуль; для формы Киллинга это исчезновение можно записать как

${\ Displaystyle В ([х, y], z) = В (х, [y, z])}$

где [,] - скобка Ли .

• Если - простая алгебра Ли, то любая инвариантная симметрическая билинейная форма на является скалярным кратным формы Киллинга.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$
• Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов s алгебры , т. Е.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle B (s (x), s (y)) = B (x, y)}$

для s в .${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• В Картана критерий гласит , что алгебра Ли является полупростой тогда и только тогда , когда форма Киллинга невырождена .
• Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли тождественно равна нулю.
• Если I , J - два идеала в алгебре Ли с нулевым пересечением, то I и J - ортогональные подпространства относительно формы Киллинга.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$
• Ортогональное дополнение к B идеала снова является идеалом. ^[2]
• Если данная алгебра Ли представляет собой прямую сумму своих идеалов I ₁ , ..., I _n , то форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга отдельных слагаемых.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Элементы матрицы [ править ]

Для базиса e _i алгебры Ли матричные элементы формы Киллинга имеют вид${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle B_ {ij} = \ mathrm {trace} (\ mathrm {ad} (e_ {i}) \ circ \ mathrm {ad} (e_ {j})).}$

Здесь

${\displaystyle \left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}}$

в обозначениях суммирования Эйнштейна , где c _ij ^k - структурные коэффициенты алгебры Ли. Индекс k функционирует как индекс столбца, а индекс n как индекс строки в матрице ad ( e _i ) ad ( e _j ) . Взять след означает положить k = n и суммировать, поэтому мы можем написать

${\displaystyle B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}}$

Форма Киллинга - это простейший 2- тензор, который может быть сформирован из структурных констант. Сама форма тогда${\displaystyle B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.}$

В приведенном выше индексированном определении мы стараемся различать верхние и нижние индексы ( ко- и контрвариантные индексы). Это связано с тем, что во многих случаях форма Киллинга может использоваться в качестве метрического тензора на многообразии, и в этом случае различие становится важным для свойств преобразования тензоров. Когда алгебра Ли полупроста над полем с нулевой характеристикой, ее форма Киллинга невырождена и, следовательно, может использоваться в качестве метрического тензора для повышения и понижения индексов. В этом случае всегда можно выбрать такой базис , чтобы структурные константы со всеми верхними индексами были полностью антисимметричными .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Killing формы для некоторых алгебр Ли является (для X , Y в смотреть в их фундаментальном п на п (2n по 2n) представления):${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$	B ( X , Y )
gl ( n , R )	2 n tr ( XY ) - 2 tr ( X ) tr ( Y )
sl ( n , R )	2 n tr ( XY )
вс ( п )	2 n tr ( XY )
так ( n , R )	( п - 2) tr ( XY )
так ( п )	( п - 2) tr ( XY )
sp ( 2n , R )	(2 п +2) tr ( XY )
sp ( 2n , С )	(2 п +2) tr ( XY )

Связь с реальными формами [ править ]

Предположим, что это полупростая алгебра Ли над полем действительных чисел . По критерию Картана форма Киллинга невырождена и может быть диагонализована в подходящем базисе с диагональными элементами ± 1 . По закону инерции Сильвестра количество положительных элементов является инвариантом билинейной формы, то есть не зависит от выбора диагонализирующего базиса и называется индексом алгебры Ли . Это число между 0 и размерностью которого является важным инвариантом реальной алгебры Ли. В частности, вещественная алгебра Ли называется компактной, если форма Киллинга имеет вид${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$отрицательно определенная (или отрицательно полуопределенная, если алгебра Ли не полупроста). Обратите внимание, что это одно из двух неэквивалентных определений, обычно используемых для компактности алгебры Ли; другой утверждает, что алгебра Ли компактна, если она соответствует компактной группе Ли. Определение компактности в терминах отрицательной определенности формы Киллинга является более ограничительным, так как с помощью этого определения, можно показать , что при переписке Ли , компактные алгебры Ли соответствуют компактным группам Ли .

Если является полупростой алгеброй Ли над комплексными числами, то существует несколько неизоморфных вещественных алгебр Ли, комплексификация которых равна , которые называются ее действительными формами . Оказывается, каждая комплексная полупростая алгебра Ли допускает единственную (с точностью до изоморфизма) компактную вещественную форму . Реальные формы данной комплексной полупростой алгебры Ли часто помечаются положительным индексом инерции их формы Киллинга.${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Например, комплексная специальная линейная алгебра имеет две вещественные формы: реальную специальную линейную алгебру, обозначенную , и специальную унитарную алгебру , обозначенную . Первая - некомпактная, так называемая разделенная вещественная форма , и ее форма Киллинга имеет сигнатуру (2, 1) . Вторая - компактная вещественная форма, и ее форма Киллинга отрицательно определена, т.е. имеет сигнатуру (0, 3) . Соответствующие группы Ли являются некомпактная группа из 2 × 2 вещественных матриц с единичным детерминантом и специальной унитарной группой , которая является компактной.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

См. Также [ править ]

• Инвариант Казимира
• Векторное поле убийства

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]