Симметрия точки Ли

Группы Ли
Классические группы Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n )
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Представления классических групп Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физике Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

К концу девятнадцатого века Софус Ли ввел понятие группы Ли , чтобы изучать решения обыкновенных дифференциальных уравнений ^{[1] [2] [3]} (ОДУ). Он показал следующее основное свойство: порядок обыкновенного дифференциального уравнения можно понизить на единицу, если оно инвариантно относительно однопараметрической группы Ли точечных преобразований . ^[4] Это наблюдение объединило и расширило доступные методы интеграции. Ли посвятил остаток своей математической карьеры развитию этих непрерывных групп.которые теперь влияют на многие области математических наук. Приложения групп Ли к дифференциальным системам были в основном установлены Ли и Эмми Нётер , а затем поддержаны Эли Картаном .

Грубо говоря, точечная симметрия системы Ли - это локальная группа преобразований, которая отображает каждое решение системы в другое решение той же системы. Другими словами, он отображает набор решений системы себе. Элементарными примерами групп Ли являются трансляции , повороты и вычисления .

Теория симметрии Ли - хорошо известный предмет. В нем обсуждаются непрерывные симметрии в противоположность, например, дискретным симметриям . Литературу по этой теории можно найти, среди прочего, в этих заметках. ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Обзор [ править ]

Типы симметрий [ править ]

Группы Ли и, следовательно, их инфинитезимальные генераторы могут быть естественным образом «расширены», чтобы действовать на пространство независимых переменных, переменных состояния (зависимых переменных) и производных переменных состояния до любого конечного порядка. Есть много других видов симметрии. Например, контактные преобразования позволяют коэффициентам бесконечно малого генератора преобразований зависеть также от первых производных координат. Преобразования Ли-Беклунда позволяют использовать производные до произвольного порядка. Возможность существования таких симметрий была признана Нётер. ^[10] Для точечных симметрий Ли коэффициенты инфинитезимальных образующих зависят только от координат, обозначенных как .${\ displaystyle Z}$

Приложения [ править ]

Симметрии Ли были введены Ли для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Другое применение методов симметрии - редукция систем дифференциальных уравнений, поиск эквивалентных систем дифференциальных уравнений более простой формы. Это называется редукцией . В литературе можно найти классический процесс редукции ^[4] и процесс редукции на основе движущихся систем отсчета . ^{[11] [12] [13]} Также группы симметрии могут использоваться для классификации различных классов симметрии решений.

Геометрический каркас [ править ]

Бесконечно малый подход [ править ]

Основные теоремы Ли подчеркивают, что группы Ли можно охарактеризовать элементами, известными как инфинитезимальные образующие . Эти математические объекты образуют алгебру Ли инфинитезимальных образующих. Выведенные «условия бесконечно малой симметрии» (определяющие уравнения группы симметрии) могут быть явно решены, чтобы найти замкнутую форму групп симметрии и, таким образом, ассоциированные инфинитезимальные генераторы.

Позвольте быть набором координат, на котором система определена, где - кардинал . Бесконечно малый генератор в поле - это линейный оператор, который имеет в своем ядре и который удовлетворяет правилу Лейбница :${\ displaystyle Z = (z_ {1}, \ dots, z_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} (Z)}$${\ displaystyle \ delta: \ mathbb {R} (Z) \ rightarrow \ mathbb {R} (Z)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\displaystyle \forall (f_{1},f_{2})\in \mathbb {R} (Z)^{2},\delta f_{1}f_{2}=f_{1}\delta f_{2}+f_{2}\delta f_{1}}$.

В канонической основе элементарных выводов это записывается как:${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right\}}$

${\displaystyle \delta =\sum _{i=1}^{n}\xi _{z_{i}}(Z){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}}$

где в течение всего дюйма .${\displaystyle \xi _{z_{i}}}$${\displaystyle \mathbb {R} (Z)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \left\{1,\dots ,n\right\}}$

Группы Ли и алгебры Ли инфинитезимальных образующих [ править ]

Алгебры Ли могут быть сгенерированы набором инфинитезимальных генераторов, как определено выше. Каждой группе Ли можно сопоставить алгебру Ли. Грубо говоря, алгебра Ли - это алгебра, составленная из векторного пространства, снабженного скобкой Ли в качестве дополнительной операции. Базовое поле алгебры Ли зависит от понятия инварианта . Здесь рассматриваются только конечномерные алгебры Ли.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Непрерывные динамические системы [ править ]

Динамическая система (или расхода ) является одним параметром действия группы . Обозначим такой динамической системой, точнее, (левое) действие группы на многообразии :${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&G\times M&\rightarrow &M\\&\nu \times Z&\rightarrow &{\mathcal {D}}(\nu ,Z)\end{array}}}$

такие , что для всех точки в :${\displaystyle Z}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(e,Z)=Z}$где - нейтральный элемент ;${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$
• для всех ин , .${\displaystyle (\nu ,{\hat {\nu }})}$${\displaystyle G^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\nu ,{\mathcal {D}}({\hat {\nu }},Z))={\mathcal {D}}(\nu +{\hat {\nu }},Z)}$

Непрерывная динамическая система определяется на группе, которая может быть идентифицирована, т. Е. Элементы группы являются непрерывными.${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Инварианты [ править ]

Инвариант , грубо говоря, является элементом , который не изменяется при преобразовании.

Определение точечных симметрий Ли [ править ]

В этом параграфе мы рассматриваем точно расширенные точечные симметрии Ли, т.е. мы работаем в расширенном пространстве, что означает, что различия между независимыми переменными, переменными состояния и параметрами избегаются насколько это возможно.

Группа симметрии системы - это непрерывная динамическая система, определенная на локальной группе Ли, действующей на многообразии . Для наглядности ограничимся n-мерными вещественными многообразиями, где - число координат системы.${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

Точечные симметрии Ли алгебраических систем [ править ]

Давайте определим алгебраические системы, используемые в следующем определении симметрии.

Алгебраические системы [ править ]

Пусть - конечный набор рациональных функций над полем, где и - многочлены от т. Е. От переменных с коэффициентами в . Алгебраическая система связана с определяется следующими равенствами и неравенствами:${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})=(p_{1}/q_{1},\dots ,p_{k}/q_{k})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} [Z]}$${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\left\{{\begin{array}{l}p_{1}(Z)=0,\\\vdots \\p_{k}(Z)=0\end{array}}\right.&{\mbox{and}}&\left\{{\begin{array}{l}q_{1}(Z)\neq 0,\\\vdots \\q_{k}(Z)\neq 0.\end{array}}\right.\end{array}}}$

Алгебраическая система, определяемая с помощью, является регулярной (также называемой гладкой ), если система имеет максимальный ранг , что означает, что матрица Якоби имеет ранг в каждом решении ассоциированного полуалгебраического многообразия .${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (\partial f_{i}/\partial z_{j})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Z}$

Определение точечных симметрий Ли [ править ]

Следующая теорема (см. П. 2.8 в главе 2 статьи ^[5] ) дает необходимые и достаточные условия, чтобы локальная группа Ли была группой симметрий алгебраической системы.${\displaystyle G}$

Теорема . Пусть - связная локальная группа Ли непрерывной динамической системы, действующая в n-мерном пространстве . Пусть с определит регулярную систему алгебраических уравнений:${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k\leq n}$

${\displaystyle f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}.}$

Тогда является группой симметрий этой алгебраической системы тогда и только тогда, когда${\displaystyle G}$

${\displaystyle \delta f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}{\mbox{ whenever }}f_{1}(Z)=\dots =f_{k}(Z)=0}$

для каждого бесконечно малого генератора в алгебре Ли в .${\displaystyle \delta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

Пример [ править ]

Рассмотрим алгебраическую систему, заданную в пространстве шести переменных, а именно :${\displaystyle Z=(P,Q,a,b,c,l)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f_{1}(Z)=(1-cP)+bQ+1,\\f_{2}(Z)=aP-lQ+1.\end{array}}\right.}$

Бесконечно малый генератор

${\displaystyle \delta =a(a-1){\dfrac {\partial }{\partial a}}+(l+b){\dfrac {\partial }{\partial b}}+(2ac-c){\dfrac {\partial }{\partial c}}+(-aP+P){\dfrac {\partial }{\partial P}}}$

связана с одной из однопараметрических групп симметрии. Он действует на 4 переменные, а именно и . В этом легко убедиться и . Таким образом, соотношения выполняются для любого, в котором алгебраическая система равна нулю.${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \delta f_{1}=f_{1}-f_{2}}$${\displaystyle \delta f_{2}=0}$${\displaystyle \delta f_{1}=\delta f_{2}=0}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

Точечные симметрии Ли динамических систем [ править ]

Дадим определение системам ОДУ первого порядка, используемым в следующем определении симметрии.

Системы ОДУ и связанные с ними генераторы бесконечно малых [ править ]

Позвольте быть производным относительно непрерывной независимой переменной . Рассмотрим два набора и . Связанный набор координат определяется как и его кардинал . В этих обозначениях система ОДУ первого порядка - это система, в которой:${\displaystyle d\cdot /dt}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{k})}$${\displaystyle \Theta =(\theta _{1},\dots ,\theta _{l})}$${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})=(t,x_{1},\dots ,x_{k},\theta _{1},\dots ,\theta _{l})}$${\displaystyle n=1+k+l}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(Z){\mbox{ with }}f_{i}\in \mathbb {R} (Z)\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\},\\{\dfrac {d\theta _{j}}{dt}}=0\quad \forall j\in \{1,\dots ,l\}\end{array}}\right.}$

и набор определяет эволюцию переменных состояния ODE относительно независимой переменной. Элементы набора называются переменными состояния , это параметры .${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Theta }$

Можно также связать непрерывную динамическую систему с системой ОДУ, разрешив ее уравнения.

Инфинитезимальный генератор - это вывод, который тесно связан с системами ОДУ (точнее, с непрерывными динамическими системами). О связи между системой ОДУ, связанным векторным полем и бесконечно малым генератором см. Раздел 1.3. ^[4] Инфинитезимальный генератор, связанный с системой ОДУ, описанной выше, определяется с использованием тех же обозначений, как:${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta ={\dfrac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{k}f_{i}(Z){\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\cdot }$

Определение точечных симметрий Ли [ править ]

Вот геометрическое определение таких симметрий. Пусть - непрерывная динамическая система и ее инфинитезимальный генератор. Непрерывная динамическая система представляет собой точечную симметрию Ли того и только тогда, когда отправляет каждую орбиту на орбиту. Следовательно, инфинитезимальный генератор удовлетворяет следующему соотношению ^[8], основанному на скобке Ли :${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \delta _{\mathcal {S}}}$

${\displaystyle [\delta _{\mathcal {D}},\delta _{\mathcal {S}}]=\lambda \delta _{\mathcal {D}}}$

где любая константа и т . Эти генераторы линейно независимы.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}}$${\displaystyle \delta _{\mathcal {S}}}$${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}\lambda =\delta _{\mathcal {S}}\lambda =0}$

Для вычисления инфинитезимальных образующих его симметрий не нужны явные формулы .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Пример [ править ]

Рассмотрим Ферхюльст «ы логистического роста модель с линейной хищничества, ^[14] , где переменная состояния представляет собой популяцию. Параметр - это разница между скоростью роста и скоростью хищничества, а параметр соответствует восприимчивости окружающей среды:${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\dfrac {dx}{dt}}=(a-bx)x,{\dfrac {da}{dt}}={\dfrac {db}{dt}}=0.}$

Непрерывная динамическая система, связанная с этой системой ОДУ:

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&(\mathbb {R} ,+)\times \mathbb {R} ^{4}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{4}\\&({\hat {t}},(t,x,a,b))&\rightarrow &\left(t+{\hat {t}},{\frac {axe^{a{\hat {t}}}}{a-(1-e^{a{\hat {t}}})bx}},a,b\right).\end{array}}}$

Независимая переменная непрерывно изменяется; таким образом связанная группа может быть идентифицирована с помощью .${\displaystyle {\hat {t}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Инфинитезимальный генератор, связанный с этой системой ОДУ:

${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}+((a-bx)x){\dfrac {\partial }{\partial x}}\cdot }$

Следующие инфинитезимальные генераторы принадлежат к 2-мерной группе симметрии :${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \delta _{{\mathcal {S}}_{1}}=-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+b{\dfrac {\partial }{\partial b}},\quad \delta _{{\mathcal {S}}_{2}}=t{\dfrac {\partial }{\partial t}}-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}-a{\dfrac {\partial }{\partial a}}\cdot }$

Программное обеспечение [ править ]

В этой области существует множество программных пакетов. ^{[15] [16] [17]} Например, пакет licymm из Maple предоставляет некоторые методы симметрии Ли для УЧП . ^[18] Он управляет интеграцией определяющих систем, а также дифференциальных форм . Несмотря на успех в небольших системах, его возможности интеграции для автоматического решения определяющих систем ограничены проблемами сложности. Пакет DETools использует продолжение векторных полей для поиска лиевских симметрий ОДУ. Нахождение симметрий Ли для ОДУ в общем случае может быть столь же сложным, как и решение исходной системы.

Ссылки [ править ]