Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , Альберт алгебра является 27-мерной исключительной йорданова алгеброй . Они названы в честь Авраама Адриана Альберта , который первым начал изучение неассоциативных алгебр , обычно работая с действительными числами . Над действительными числами таких йордановых алгебр с точностью до изоморфизма три . [1] Одно из них, которое было впервые упомянуто Паскуалем Джорданом , Джоном фон Нейманом и Юджином Вигнером  ( 1934 ) и изучено Альбертом (1934) , представляет собой набор самосопряженных 3 × 3матрицы над октонионами , снабженные бинарной операцией

где обозначает матричное умножение. Другой определяется таким же образом, но с использованием разделенных октонионов вместо октонионов. Финал строится из нерасщепленных октонионов с использованием другой стандартной инволюции.

Над любым алгебраически замкнутым полем существует только одна алгебра Альберта, а ее группа автоморфизмов G является простой расщепляемой группой типа F 4 . [2] [3] (Например, комплексификации трех алгебр Альберта над действительными числами являются изоморфными алгебрами Альберта над комплексными числами.) Из-за этого для общего поля F алгебры Альберта классифицируются когомологиями Галуа группа H 1 ( F , G ). [4]

Конструкция Кантора – Кохера – Титса, примененная к алгебре Альберта, дает форму алгебры Ли E7 . Расщепленная алгебра Альберта используется при построении 56-мерной структурируемой алгебры , группа автоморфизмов которой имеет единичную компоненту односвязной алгебраической группы типа E 6 . [5]

Пространство когомологических инвариантов алгебр Альберта поле F (характеристики не 2) с коэффициентами в Z / 2 Z является свободным модулем над кольцом когомологий алгебры F с базисом 1, f 3 , f 5 , степеней 0, 3 , 5. [6] Когомологические инварианты с коэффициентами 3-кручения имеют базис 1, g 3 степеней 0, 3. [7] Инварианты f 3 и g 3 являются первичными компонентами инварианта Роста .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

  1. ^ Springer & Фельдкамп (2000) 5,8, с.153
  2. ^ Спрингер и Велдкамп (2000) 7,2
  3. Перейти ↑ Chevalley C, Schafer RD (февраль 1950 г.). «Исключительно простые алгебры Ли F (4) и E (6)» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 36 (2): 137–41. Bibcode : 1950PNAS ... 36..137C . DOI : 10.1073 / pnas.36.2.137 . PMC  1063148 . PMID  16588959 .
  4. ^ Knus et al (1998) стр.517
  5. ^ Пропустить Гарибальди (2001). «Структурируемые алгебры и группы типов E_6 и E_7». Журнал алгебры . 236 (2): 651–691. arXiv : math / 9811035 . DOI : 10.1006 / jabr.2000.8514 .
  6. ^ Garibaldi, Меркурьев, Серра (2003), с.50
  7. ↑ Гарибальди (2009), стр.20

Ссылки [ править ]

  • Альберт, А. Адриан (1934), "Об одной алгебре квантовой механики", Анналы математики , второй серии, 35 (1): 65-73, DOI : 10,2307 / 1968118 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1968118
  • Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр; Серр, Жан-Пьер (2003), Когомологические инварианты в когомологиях Галуа , Серия лекций в университете, 28 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3287-5, MR  1999383
  • Гарибальди, Скип (2009). Когомологические инварианты: исключительные группы и спиновые группы . Воспоминания Американского математического общества . 200 . DOI : 10,1090 / мемо / 0937 . ISBN 978-0-8218-4404-5.
  • Иордания, Паскуаль ; Нойман, Джон фон ; Вигнера, Юджин (1934), "Об алгебраическом обобщении квантово - механического формализма", Анналы математики , 35 (1): 29-64, DOI : 10,2307 / 1968117 , JSTOR  1968117
  • Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Colloquium Publications, 44 , с предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0904-4, Zbl  0955,16001
  • Маккриммон, Kevin (2004), Вкус Иордания алгебр , Universitext, Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , да : 10,1007 / b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9, MR  2014924
  • Спрингер, Тонни А .; Велдкамп, Фердинанд Д. (2000) [1963], Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66337-9, Руководство по ремонту  1763974

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Petersson, Holger P .; Расин, Мишель Л. (1994), "Альбертовые алгебры", в книге Каупа, Вильгельма (ред.), Йордановы алгебры. Материалы конференции, состоявшейся в Обервольфахе, Германия, 9-15 августа 1992 г. , Берлин: de Gruyter, стр. 197–207, Zbl  0810.17021
  • Петерссон, Хольгер П. (2004). «Структурные теоремы для йордановых алгебр степени три над полями произвольной характеристики». Связь в алгебре . 32 (3): 1019–1049. CiteSeerX  10.1.1.496.2136 . DOI : 10.1081 / AGB-120027965 . S2CID  34280968 .
  • Алгебра Альберта в энциклопедии математики .