Октонион

Октонионы
Символ	${\ Displaystyle \ mathbb {O}}$
Тип	Гиперкомплексная алгебра
Единицы	е 0 , ..., е 7
Мультипликативная идентичность	e 0
Основные свойства	Некоммутативный Неассоциативный
Общие системы
${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ Натуральные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ Рациональное число ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ Действительные числа ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ Сложные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ Кватернионы Менее распространенные системы Октонионы ( ) Седенионы ( )${\ Displaystyle \ mathbb {O}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

В математике , в октонионах являются нормированной алгеброй с делением над вещественными числами , своего родом гиперкомплексной системы счисления . Октонионы обычно обозначаются заглавной буквой O, жирным шрифтом O или жирным шрифтом на доске . Октонионы имеют восемь измерений ; вдвое больше размеров кватернионов , продолжением которых они являются. Они некоммутативны и неассоциативны , но удовлетворяют более слабой форме ассоциативности; а именно они альтернативны . Они также ассоциативны по силе .${\ Displaystyle \ mathbb {O}}$

Октонионы не так хорошо известны, как кватернионы и комплексные числа , которые гораздо более широко изучаются и используются. Октонионы связаны с исключительными структурами в математике, в том числе с исключительными группами Ли . Октонионы находят применение в таких областях, как теория струн , специальная теория относительности и квантовая логика . Применение конструкции Кэли-Диксона к октонионам дает седенионы .

История [ править ]

Октонионы были открыты в 1843 году Джоном Т. Грейвсом , вдохновленным открытием кватернионов его другом Уильямом Роуэном Гамильтоном . Грейвз назвал свое открытие «октавами» и упомянул их в письме Гамильтону от 16 декабря 1843 года. Впервые он опубликовал свой результат немного позже, чем статья Артура Кэли . ^[1] Октонионы были независимо открыты Кэли ^[2] и иногда называются «числами Кэли» или «алгеброй Кэли». Гамильтон описал раннюю историю открытия Грейвса. ^[3]

Определение [ править ]

Октонионы можно рассматривать как октеты (или кортежи из восьми) действительных чисел. Каждые октонионы реальная линейная комбинация из единичных октонионов :

${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$

где e ₀ - скалярный или вещественный элемент; его можно отождествить с действительным числом 1. То есть каждый октонион x можно записать в виде

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}$

с действительными коэффициентами x _i .

Сложение и вычитание октонионов выполняется путем сложения и вычитания соответствующих членов и, следовательно, их коэффициентов, таких как кватернионы. Умножение сложнее. Умножение является распределительным по сравнению с сложением, поэтому произведение двух октонионов может быть вычислено путем суммирования произведений всех членов, опять же, как кватернионы. Произведение каждой пары терминов может быть получено путем умножения коэффициентов и таблицы умножения единичных октонионов, как эта (из-за Кэли, 1845, и Грейвса, 1843): ^[4]

${\displaystyle e_{i}e_{j}}$		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

Большинство недиагональных элементов таблицы антисимметричны, что делает ее почти кососимметричной матрицей, за исключением элементов на главной диагонали, а также строки и столбца, для которых e ₀ является операндом.

Таблицу можно резюмировать следующим образом: ^[5]

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

где δ _ij - символ Кронекера (равный 1, если и только если i = j ), а ε _ijk - полностью антисимметричный тензор со значением 1, когда ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 .

Однако приведенное выше определение не является уникальным; это только одно из 480 возможных определений умножения октонионов с e ₀ = 1 . Остальные могут быть получены путем перестановки и изменения знаков нескалярных базисных элементов { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ , e ₅ , e ₆ , e ₇ } . 480 различных алгебр изоморфны , и редко нужно учитывать, какое именно правило умножения используется.

Каждое из этих 480 определений инвариантно с точностью до знаков при некотором 7-цикле точек (1234567), и для каждого 7-цикла есть четыре определения, различающиеся знаками и изменением порядка. Обычный выбор - использовать определение, инвариантное относительно 7-цикла (1234567) с e ₁ e ₂ = e ₄ - с использованием треугольной диаграммы умножения или плоскости Фано внизу (и вместо таблицы умножения вверху) - как особенно легко запомнить умножение.

Иногда используется разновидность этого способа - пометить элементы базиса элементами ∞ , 0, 1, 2, ..., 6 проективной прямой над конечным полем порядка 7. Умножение тогда дается как e _∞ = 1 и e ₁ e ₂ = e ₄ , и все выражения, полученные из этого путем добавления константы ( по модулю 7) ко всем индексам: другими словами, используя семь троек (124) (235) (346) (450) ( 561) (602) (013). Это ненулевые кодовые слова квадратичного вычетного кода длины 7 над полем Галуа из двух элементов, GF(2) . Симметрия порядка 7 задается добавлением константы по модулю 7 ко всем индексам, а также симметрия порядка 3, задаваемая умножением всех индексов на один из квадратичных вычетов 1, 2, 4 по модулю 7. ^{[6] [7]}

Таблица умножения для геометрической алгебры сигнатуры (−−−−) может быть задана в терминах следующих 7 кватернионных троек (без учета единицы):

( I , j , k ), ( i , J , k ), ( i , j , K ), ( I , J , K ), (∗ I , i , m ), (∗ J , j , m ), (∗ K , k , m )

в котором строчные элементы являются векторами, а прописные - бивекторами и ∗ = mijk (что является звездным оператором Ходжа ). Если * принудительно приравнивается к единице, тогда умножение перестает быть ассоциативным, но * может быть удалено из таблицы умножения, что приводит к таблице умножения октонионов.

В соответствии * = mijk ассоциативны и , следовательно , не уменьшая 4-мерную геометрическую алгебру к октонионам один, вся таблица умножения может быть получена из уравнения для * . Рассмотрим гамма-матрицы . Формула, определяющая пятую гамма-матрицу, показывает, что это ∗ четырехмерной геометрической алгебры гамма-матриц.

Конструкция Кэли-Диксона [ править ]

Более систематический способ определения октонионов - через конструкцию Кэли-Диксона. Подобно тому, как кватернионы можно определить как пары комплексных чисел, октонионы можно определить как пары кватернионов. Сложение определяется попарно. Произведение двух пар кватернионов ( a , b ) и ( c , d ) определяется формулой

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}),}$

где z * обозначает сопряжение кватерниона z . Это определение эквивалентно приведенному выше, когда восемь элементарных октонионов отождествляются с парами

(1, 0), ( i , 0), ( j , 0), ( k , 0), (0, 1), (0, i ), (0, j ), (0, k )

Мнемоника самолета Фано [ править ]

Удобная мнемоника для запоминания произведений единичных октонионов дается диаграммой, которая представляет собой таблицу умножения Кэли и Грейвса. ^{[4] [9]} Эта диаграмма с семью точками и семью линиями (окружность, проходящая через 1, 2 и 3 считается прямой), называется плоскостью Фано . Линии направленные. Семь точек соответствуют семи стандартным базисным элементам Im ( O ) (см. Определение ниже ). Каждая пара различных точек лежит на уникальной линии, и каждая линия проходит ровно через три точки.

Пусть ( a , b , c ) - упорядоченная тройка точек, лежащих на данной прямой с порядком, указанным направлением стрелки. Тогда умножение дается формулой

ab = c и ba = - c

вместе с циклическими перестановками . Эти правила вместе с

• 1 - мультипликативное тождество,
• е²
  _я= −1 для каждой точки диаграммы

полностью определяет мультипликативную структуру октонионов. Каждый из семи линий порождает подалгебру в О изоморфны кватернионах H .

Сопряжение, норма и обратное [ править ]

Конъюгат из октонионных

${\displaystyle x=x_{0}\,e_{0}+x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}}$

дан кем-то

${\displaystyle x^{*}=x_{0}\,e_{0}-x_{1}\,e_{1}-x_{2}\,e_{2}-x_{3}\,e_{3}-x_{4}\,e_{4}-x_{5}\,e_{5}-x_{6}\,e_{6}-x_{7}\,e_{7}.}$

Сопряжение является инволюцией из О и удовлетворяет ( х ) * = у * х * (обратите внимание на изменение порядка).

Действительная часть из й задаются

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}\,e_{0}}$

и мнимая часть по

${\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}.}$

Множество всех чисто мнимых октонионы охватывает собой 7- мерное подпространство из O , обозначаемого Im ( O ) .

Сопряжение октонионов удовлетворяет уравнению

${\displaystyle x^{*}=-{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}{\bigr )}.}$

Произведение октониона и его сопряженного, x * x = xx * , всегда является неотрицательным действительным числом:

${\displaystyle x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.}$

Используя это, можно определить норму октониона, как

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}.}$

Эта норма согласуется со стандартной 8-мерной евклидовой нормой на R ⁸ .

Существование нормы на O предполагает существование инверсий для каждого ненулевого элемента O . Обратный к x ≠ 0 , который является единственным октонионом x ^−1, удовлетворяющим xx ⁻¹ = x ⁻¹ x = 1 , задается формулой

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}.}$

Свойства [ править ]

Октонионное умножение не коммутативно :

e _i e _j = - e _j e _i ≠ e _j e _i, если i , j различны и не равны нулю,

ни ассоциативный :

( e _i e _j ) e _k = - e _i ( e _j e _k ) ≠ e _i ( e _j e _k ), если i , j , k различны, не равны нулю и e _i e _j ± e _k .

Октонионы действительно удовлетворяют более слабой форме ассоциативности: они альтернативны. Это означает, что подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. На самом деле, можно показать , что подалгебра , порожденная любыми двумя элементами O является изоморфными с R , C , или H , все из которых являются ассоциативными. Из - за их неассоциативность, октонионы не могут быть представлены в виде подалгебры кольца матриц над , в отличии от действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.${\displaystyle \mathbb {R} }$

Октонионы сохраняют одно важное свойство, разделяемое R , C и H : норма на O удовлетворяет

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|.}$

Это уравнение означает, что октонионы образуют композиционную алгебру . Все многомерные алгебры, определенные конструкцией Кэли – Диксона (начиная с седенионов ), не удовлетворяют этому свойству. Все они имеют делители нуля .

Существуют более широкие системы счисления, которые имеют мультипликативный модуль (например, 16-мерные конические сечения). Их модуль определяется иначе, чем их норма, и они также содержат делители нуля.

Как показал Гурвиц , R , C , H и O - единственные нормированные алгебры с делением над действительными числами. Эти четыре алгебры также образуют единственные альтернативные конечномерные алгебры с делением над действительными числами (с точностью до изоморфизма).

Не будучи ассоциативными, ненулевые элементы O не образуют группу . Однако они образуют петлю , в частности петлю Муфанга .

Коммутатор и кросс-продукт [ править ]

Коммутатор двух октонионов х и у задается

${\displaystyle [x,y]=xy-yx.}$

Это антисимметрично и мнимо. Если его рассматривать только как произведение на воображаемом подпространстве Im ( O ), оно определяет произведение на этом пространстве, семимерное перекрестное произведение , задаваемое формулой

${\displaystyle x\times y={\tfrac {1}{2}}(xy-yx).}$

Как и векторное произведение в трех измерениях, это вектор, ортогональный x и y с величиной

${\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\|y\|\sin \theta .}$

Но, как и продукт октонион, он не имеет однозначного определения. Вместо этого существует множество различных перекрестных продуктов, каждый из которых зависит от выбора продукта октониона. ^[10]

Автоморфизмы [ править ]

Автоморфизм , , октонионы является обратимым линейным преобразованием из О каком удовлетворяет

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).}$

Множество всех автоморфизмов O образует группу, называемую G 2 . ^[11] группа G ₂ представляет собой односвязны , компактная , реальная группа Ли размерности 14. Эта группа является наименьшим из исключительных групп Ли и изоморфна подгруппе из Spin (7) , который сохраняет любой конкретный вектор выбран в его 8-мерное вещественное спинорное представление. Группа Spin (7) , в свою очередь, является подгруппой группы изотопий, описанной ниже.

См. Также : PSL (2,7) - группа автоморфизмов плоскости Фано.

Изотопии [ править ]

Изотопия алгебры является тройкой биективного линейных отображений а , б , с таким , что если х = г , то ( х ) Ь ( у ) = С ( г ) . При a = b = c это то же самое, что и автоморфизм. Изотопическая группа алгебры - это группа всех изотопий, которая содержит группу автоморфизмов как подгруппу.

Изотопическая группа октонионов - это группа Spin ₈ ( R ) , где a , b , c действуют как три 8-мерных представления. ^[12] Подгруппа элементов, где c фиксирует единицу, является подгруппой Spin ₇ ( R ) , а подгруппа , в которой все элементы a , b , c фиксируют единицу, является группой автоморфизмов G ₂ .

Приложения [ править ]

Октонионы играют важную роль в классификации и построении других математических объектов. Например, исключительная группа Ли G 2 является группой автоморфизмов октонионов, а другие исключительные группы Ли F 4 , E 6 , E 7 и E 8 можно понимать как изометрии некоторых проективных плоскостей, определенных с помощью октонионов. ^[13] Набор самосопряженных октонионных матриц 3 × 3 , снабженный симметризованным матричным произведением, определяет алгебру Альберта . В дискретной математике, октонионы обеспечивают элементарный вывод решетки Пиявки , и, таким образом, они тесно связаны со спорадическими простыми группами . ^{[14] [15]}

Применение октонионов в физике в основном было предположительным. Например, в 1970-х годах были предприняты попытки понять кварки с помощью октонионного гильбертова пространства . ^[16] Известно, что октонионы и тот факт, что могут существовать только четыре нормированные алгебры с делением, относятся к пространственно-временным измерениям, в которых могут быть построены суперсимметричные квантовые теории поля . ^{[17] [18]} Кроме того , были сделаны попытки получить стандартную модель физики элементарных частиц из октонионных конструкций, например , с использованием «Dixon алгебры» С ⊗ H ⊗ O .^{[19] [20]}

Октонионы также возникли при изучении энтропии черных дыр и квантовой информатике . ^{[21] [22]}

Октонионы использовались для решения проблемы калибровки глаз в робототехнике . ^[23]

Сети с глубоким октонионом обеспечивают эффективное и компактное выражение в приложениях машинного обучения. ^[24]

Интегральные октонионы [ править ]

Есть несколько естественных способов выбрать интегральную форму октонионов. Самый простой - взять октонионы, координаты которых являются целыми числами . Это дает неассоциативную алгебру над целыми числами, называемыми октонионами Грейвза. Однако это не максимальный порядок (в смысле теории колец); его содержит ровно семь максимальных порядков. Все эти семь максимальных порядков эквивалентны относительно автоморфизмов. Фраза «интегральные октонионы» обычно относится к фиксированному выбору одного из этих семи порядков.

Эти максимальные порядки были построены Кирмс (1925) , Диксоном и Бруком следующим образом. Обозначьте восемь базисных векторов точками проективной прямой над полем с семью элементами. Сначала сформируйте «целые числа Кирмс»: они состоят из октонионов, координаты которых являются целыми или полуцелыми числами, и которые являются полуцелыми числами (то есть половинами нечетных целых чисел) в одном из 16 наборов. harvtxt error: no target: CITEREFKirmse1925 (help)

∅ (∞124) (∞235) (∞346) (∞450) (∞561) (∞602) (∞013) (∞0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134) ) (6245)

расширенного кода с квадратичным вычетом длины 8 над полем из двух элементов, заданных ∅ , (∞124) и его изображениями при добавлении константы по модулю 7, а также дополнениями этих восьми множеств. Затем переключите бесконечность и любую другую координату; эта операция создает биекцию целых чисел Кирмс на другой набор, который является максимальным порядком. Есть семь способов сделать это, указав семь максимальных порядков, которые все эквивалентны при циклических перестановках семи координат 0123456. (Кирмс ошибочно утверждал, что целые числа Кирмсе также образуют максимальный порядок, поэтому он думал, что было восемь максимальных порядков, а не семь, но как Кокстер (1946)указал, что они не замкнуты при умножении; эта ошибка встречается в нескольких опубликованных статьях.)

В Kirmse целых и семь порядков максимальных все изометричны E 8 решетки масштабированно- с коэффициентом ¹ / _{√ 2} . В частности, есть 240 элементов с минимальной ненулевой нормой 1 в каждом из этих порядков, образуя цикл Муфанг порядка 240.

Целые октонионы обладают свойством «деления с остатком»: учитывая целые октонионы a и b ≠ 0 , мы можем найти q и r с a = qb + r , где остаток r имеет норму меньше, чем у b .

В целочисленных октонионах все левые идеалы и правые идеалы являются двусторонними идеалами, а единственными двусторонними идеалами являются главные идеалы nO, где n - неотрицательное целое число.

Целочисленные октонионы имеют вариант факторизации в простые числа, хотя это непросто сформулировать, потому что октонионы не ассоциативны, поэтому произведение октонионов зависит от порядка, в котором производятся произведения. Неприводимые целые октонионы - это в точности те, что имеют простую норму, и каждый целочисленный октонион может быть записан как произведение неприводимых октонионов. Точнее, целочисленный октонион нормы mn можно записать как произведение целых октонионов норм m и n .

Группа автоморфизмов интегральных октонионов является группа G ₂ ( F ₂ ) из порядка 12,096, который имеет простую подгруппу индекса 2 , изоморфной унитарной группы ² A ₂ (3 ² ) . Изотопическая группа целочисленных октонионов представляет собой совершенное двойное покрытие группы вращений решетки E ₈ .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Числа Кэли" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уилсон, Р.А. (2008), Octonions (PDF) , Примечания к семинару по чистой математике