Альтернативная алгебра

В абстрактной алгебре , альтернативная алгебра является алгеброй , в которой не умножение нужно быть ассоциативными , только альтернативой . То есть нужно иметь

• ${\ Displaystyle х (ху) = (хх) у}$
• ${\ Displaystyle (ух) х = у (хх)}$

для всех x и y в алгебре.

Очевидно, что любая ассоциативная алгебра альтернативна, как и некоторые строго неассоциативные алгебры, такие как октонионы .

Ассоциатор [ править ]

Альтернативные алгебры названы так потому, что они являются алгебрами, для которых ассоциатор является альтернативным . Ассоциатор - это трилинейное отображение, заданное формулой

${\ Displaystyle [х, у, z] = (ху) zx (yz)}$.

По определению полилинейное отображение является чередующимся, если оно обращается в нуль, когда два его аргумента равны. Левая и правая альтернативные тождества для алгебры эквивалентны ^[1]

${\ Displaystyle [х, х, y] = 0}$

${\ displaystyle [y, x, x] = 0.}$

Оба эти тождества вместе означают, что ассоциатор полностью кососимметричен . То есть,

${\ displaystyle [x _ {\ sigma (1)}, x _ {\ sigma (2)}, x _ {\ sigma (3)}] = \ operatorname {sgn} (\ sigma) [x_ {1}, x_ {2 }, x_ {3}]}$

для любой перестановки σ . Следует, что

${\ Displaystyle [х, у, х] = 0}$

для всех x и y . Это эквивалентно гибкому тождеству ^[2]

${\ displaystyle (xy) x = x (yx).}$

Следовательно, ассоциатор альтернативной алгебры является альтернативным. И наоборот, любая алгебра, ассоциатор которой альтернирован, явно альтернативна. По симметрии любая алгебра, удовлетворяющая любым двум из:

• левая альтернативная личность: ${\ Displaystyle х (ху) = (хх) у}$
• правильная альтернативная идентичность: ${\ Displaystyle (ух) х = у (хх)}$
• гибкая идентичность: ${\ displaystyle (xy) x = x (yx).}$

является альтернативным и, следовательно, удовлетворяет всем трем тождествам.

Альтернативный ассоциатор всегда полностью кососимметричен. Обратное верно до тех пор, пока характеристика основного поля не равна 2.

Примеры [ править ]

• Любая ассоциативная алгебра альтернативна.
• В октонионах образуют неассоциативную альтернативную алгебру, нормированную алгебру с делением размерности 8 над вещественными числами. ^[3]
• В более общем смысле, любая алгебра октонионов является альтернативной.

Не примеры [ править ]

• В sedenions и всех высших Кэли-Диксона алгебры , проигрывают альтернативность.

Свойства [ править ]

Теорема Артина утверждает, что в альтернативной алгебре подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна . ^[4] И наоборот, любая алгебра, для которой это верно, явно альтернативна. Отсюда следует, что выражения, содержащие только две переменные, могут быть записаны однозначно без скобок в альтернативной алгебре. Обобщение теоремы Артина утверждает, что всякий раз, когда три элемента в альтернативной алгебре ассоциируются (т. Е. ), Подалгебра, порожденная этими элементами, является ассоциативной.${\ displaystyle x, y, z}$${\displaystyle [x,y,z]=0}$

Следствием теоремы Артина является то, что альтернативные алгебры ассоциативны по степеням , то есть подалгебра, порожденная одним элементом, ассоциативна. ^[5] Обратное не обязательно: сеансы являются ассоциативными, но не альтернативными.

В тождества Муфанг

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

в любой альтернативной алгебре. ^[2]

В унитальной альтернативной алгебре мультипликативные инверсии уникальны, когда они существуют. Кроме того, для любого обратимого элемента и все из них имеет${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

Это эквивалентно тому, что ассоциатор исчезает для всех таких и . Если и обратимы, то также обратимо с обратным . Таким образом, множество всех обратимых элементов замкнуто относительно умножения и образует петлю Муфанг . Эта петля единиц в альтернативном кольце или алгебре аналогична группе единиц в ассоциативном кольце или алгебре.${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$

Теорема Клейнфельда утверждает, что любое простое неассоциативное альтернативное кольцо является обобщенной алгеброй октонионов над своим центром. ^[6] Структурная теория альтернативных колец представлена ​​в ^[7]

Приложения [ править ]

Проективная плоскость над любым альтернативным телом является плоскостью Муфанг .

Тесная связь альтернативных алгебр и композиционных алгебр была описана Гаем Русом в 2008 г .: ^[8] Он показывает (стр. 162) соотношение для алгебры A с единичным элементом e и инволютивным антиавтоморфизмом, таким что a + a * и aa * находятся на линии , натянутую на е для всех а в А . Используйте обозначение n ( a ) = aa *. Тогда, если n - неособое отображение в поле A и A${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$альтернативна, то ( A, n ) - композиционная алгебра.

См. Также [ править ]

• Алгебра над полем
• Алгебра мальцева
• Кольцо Zorn

Ссылки [ править ]

• Шафер, Ричард Д. (1995). Введение в неассоциативные алгебры . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5. Zbl  0145.25601 .
• Жевлаков, К.А.; Слинько AM; Шестаков, ИП; Ширшов А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN 0-12-779850-1. Руководство по ремонту  0518614 . Zbl  0487.17001 .

Внешние ссылки [ править ]

• Жевлаков, К.А. (2001) [1994], "Альтернативные кольца и алгебры" , Энциклопедия математики , EMS Press