В математике , А цикл муфангов представляет собой особый вид алгебраической структуры . Он во многом похож на группу, но не обязательно должен быть ассоциативным . Петли Муфанг были введены Рут Муфанг ( 1935 ). Гладкие лупы Муфанг имеют ассоциированную алгебру, алгебру Мальцева , в некотором смысле похожую на то, как группа Ли имеет ассоциированную алгебру Ли .
Определение [ править ]
Цикл Муфанг - это цикл Q, который удовлетворяет четырем следующим тождествам для всех x , y , z в Q (двоичная операция в Q обозначается сопоставлением):
- z ( x ( zy )) = (( zx ) z ) y ;
- х ( z ( yz )) = (( xz ) y ) z
- ( zx ) ( yz ) = ( z ( xy )) z
- ( zx ) ( yz ) = z (( xy ) z ).
Эти идентичности известны как идентичности Муфанг .
Примеры [ править ]
- Любая группа является ассоциативной петлей и, следовательно, петлей Муфанг.
- Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю Муфанг при умножении октонионов.
- Подмножество октонионов с единичной нормой (образующих 7-сферу в O ) замкнуто относительно умножения и, следовательно, образует петлю Муфанг.
- Подмножество целочисленных октонионов с единичной нормой представляет собой конечную петлю Муфанг порядка 240.
- Базисные октонионы и их аддитивные инверсии образуют конечную петлю Муфанг 16-го порядка.
- Набор обратимых сплит-октонионов образует неассоциативный цикл Муфанг, как и набор сплит-октонионов с единичной нормой. В более общем смысле, набор обратимых элементов в любой алгебре октонионов над полем F образует петлю Муфанг, как и подмножество элементов единичной нормы.
- Множество всех обратимых элементов в альтернативном кольцевом R образует петля муфангова называют петлю единиц в R .
- Для любого поля F Пусть М ( Р ) обозначает цикл Муфанг единичной нормы элементов в (единственной) сплит-октонионов алгебры над F . Обозначим через Z центр M ( F ). Если характерное из F 2 , то Z = { е }, в противном случае Z = {± е }. Цикл Paige над F представляет собой цикл М * ( Р ) = М ( Р ) / Z . Петли Пейджа - это неассоциативные простые петли Муфанг. Всеконечные неассоциативные простые лупы Муфанг - это лупы Пейджа над конечными полями . Самая маленькая петля Пейдж M * (2) имеет порядок 120.
- Большой класс неассоциативных петель Муфанг можно построить следующим образом. Пусть G - произвольная группа. Определим новый элемент u, не принадлежащий G, и пусть M ( G , 2) = G ∪ ( G u ). Произведение в M ( G , 2) дается обычным произведением элементов в G вместе с
- Отсюда следует, что и . С указанным выше произведением M ( G , 2) является петлей Муфанг. Он ассоциативен тогда и только тогда, когда G абелева.
- Наименьшая неассоциативная петля Муфанг - это M ( S 3 , 2), которая имеет порядок 12.
- Ричард А. Паркер построил петлю Муфанг порядка 213 , которую Конвей использовал при построении группы монстров . Цикл Паркера имеет центр порядка 2 с элементами, обозначенными 1, -1, а фактор по центру представляет собой элементарную абелеву группу порядка 2 12 , отождествляемую с двоичным кодом Голея . Тогда петля определяется с точностью до изоморфизма уравнениями
- A 2 = (−1) | A | / 4
- BA = (−1) | A ∩ B | / 2 AB
- A ( BC ) = (−1) | A ∩ B ∩ C | ( AB ) C
- где | А | - количество элементов кодового слова A и т. д. Для получения дополнительной информации см. Conway, JH; Кертис, RT; Нортон, ИП; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А.: Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обыкновенные характеры для простых групп. Оксфорд, Англия.
Свойства [ править ]
Ассоциативность [ править ]
Петли Муфанг отличаются от групп тем, что они не обязательно должны быть ассоциативными . Ассоциативная петля Муфанг - это группа. Тождества Муфанг можно рассматривать как более слабые формы ассоциативности.
Устанавливая различные элементы идентичности, идентичность Муфанг подразумевает
- x ( xy ) = ( xx ) y левая альтернатива тождество
- ( xy ) y = x ( yy ) правоальтернативное тождество
- x ( yx ) = ( xy ) x гибкое тождество (см. гибкую алгебру ).
Теорема Муфанга утверждает, что когда три элемента x , y и z в петле Муфанг подчиняются ассоциативному закону: ( xy ) z = x ( yz ), тогда они генерируют ассоциативную подпетлю; то есть группа. Следствие этого является то , что все петли Муфанга ди-ассоциативной (т.е. подлупа генерируется с помощью любых двух элементов петли муфанговой ассоциативна и , следовательно , группы). В частности, петли Муфанг ассоциативны по степеням , так что показатели x nчетко определены. При работе с циклами Муфанг обычно опускают круглые скобки в выражениях, содержащих только два различных элемента. Например, тождества Муфанга можно однозначно записать как
- z ( x ( zy )) = ( zxz ) y
- (( xz ) y ) z = x ( zyz )
- ( zx ) ( yz ) = z ( xy ) z .
Левое и правое умножение [ править ]
Идентичность Муфанга можно записать в терминах левых и правых операторов умножения на Q . Первые две идентичности заявляют, что
в то время как третья личность говорит
для всех в . Вот умножение на . Третье тождество муфангова поэтому эквивалентно утверждению , что тройка является autotopy из для всех ин .
Обратные свойства [ править ]
Все петли Муфанг обладают обратным свойством , что означает, что каждый элемент x имеет двусторонний обратный x − 1, который удовлетворяет тождествам:
для всех x и y . Отсюда следует, что и тогда и только тогда, когда .
Петли Муфанг универсальны среди петель с обратными свойствами; то есть, петля Q является петлей муфангова тогда и только тогда , когда каждый цикл изотопы из Q имеют обратное свойство. Из этого следует, что каждый изотоп петли петли Муфанг является петлей Муфанг.
Можно использовать инверсии, чтобы переписать левую и правую идентичности Муфанг в более удобной форме:
Свойство Лагранжа [ править ]
Конечный цикл Q называется имеет свойство Лагранжа , если порядок каждый подлупа Q делит порядок Q . Теорема Лагранжа в теории групп утверждает, что каждая конечная группа обладает свойством Лагранжа. В течение многих лет оставался открытым вопрос, обладают ли конечные лупы Муфанг свойством Лагранжа. Вопрос был окончательно решен Александром Гришковым и Андреем Заварницыным и независимо Стивеном Гаголой III и Джонатаном Холлом в 2003 году: каждая конечная петля Муфанг действительно обладает свойством Лагранжа. В последние годы Стивен Гагола III обобщил новые результаты по теории конечных групп на лупы Муфанг.
Квазигруппы Муфанг [ править ]
Любая квазигруппа, удовлетворяющая одному из тождеств Муфанг, фактически должна иметь элемент идентичности и, следовательно, быть петлей Муфанг. Мы приводим здесь доказательство третьего тождества:
- Пусть a - любой элемент из Q , и пусть e - единственный элемент такой, что ae = a .
- Тогда для любого x из Q ( xa ) x = ( x ( ae )) x = ( xa ) ( ex ).
- Отмена дает x = ex, так что e является левым элементом идентичности.
- Теперь для любых у в Q , вы = ( еу ) ( й ) = ( е ( вы )) е = ( у ^ ) е .
- Отмена дает y = ye , поэтому e также является правильным элементом идентичности.
- Следовательно, e - двусторонний тождественный элемент.
Доказательства первых двух тождеств несколько сложнее (Kunen 1996).
Открытые проблемы [ править ]
Проблема Филлипса - открытая проблема в теории, представленной Дж. Д. Филлипсом на Loops '03 в Праге. Он спрашивает, существует ли конечная петля Муфанг нечетного порядка с тривиальным ядром .
Напомним , что ядро цикла (или в более общем случае квазигруппе) есть множество таких , что , и удержания для всех в петле.
- См. Также : Проблемы теории петель и теории квазигрупп.
См. Также [ править ]
- Алгебра мальцева
- Петля Бола
- Гирогруппа
Ссылки [ править ]
- В. Д. Белоусов (2001) [1994], "Петли Муфанг" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Goodaire, Эдгар Г .; Мэй, Шон; Раман, Майтрейи (1999). Петли Муфанг порядка менее 64 . Издательство Nova Science . ISBN 0-444-82438-3.
- Гагола III, Стивен (2011). «Как и почему петли Муфанг ведут себя как группы». Квазигруппы и родственные системы . 19 : 1–22.
- Гришков Александр; Заварницын, Андрей (2005). «Теорема Лагранжа для луп Муфанг». Математические труды Кембриджского философского общества . 139 : 41–57. DOI : 10.1017 / S0305004105008388 .
- Кунен, К. (1996). «Квазигруппы Муфанг». Журнал алгебры . 183 (1): 231–4. CiteSeerX 10.1.1.52.5356 . DOI : 10.1006 / jabr.1996.0216 .
- Moufang, R. (1935), "Zur Struktur von Alternativkörpern", Math. Анна. , 110 : 416-430, DOI : 10.1007 / bf01448037 , ЛВП : 10338.dmlcz / 119719
- Смит, Джонатан Д.Х. Романовская, Анна Б. (1999). Постмодернистская алгебра . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.
Внешние ссылки [ править ]
- Пакет LOOPS для GAP В этом пакете есть библиотека, содержащая все неассоциативные циклы Moufang заказов до 81 включительно.
- «Петля Муфанг» . PlanetMath .