В математике , особенно в абстрактной алгебре , степенная ассоциативность - это свойство бинарной операции, которое является слабой формой ассоциативности .
Алгебра (или в более общем случае магма ) называется ассоциативными степенями , если подалгебра , порожденная любым элементом ассоциативно. Конкретно это означает, что если элемент выполняет операцию сам по себе несколько раз, не имеет значения, в каком порядке выполняются операции, например .
Каждая ассоциативная алгебра является ассоциативной по степеням, но также и все другие альтернативные алгебры (например , неассоциативные октонионы ) и даже некоторые безальтернативные алгебры, такие как седенионы и алгебры Окубо . Любая алгебра, элементы которой идемпотентны , также ассоциативна по степеням.
Возведение в степень любого положительного целого числа может быть определено последовательно, если умножение является ассоциативным по степени. Например, нет необходимости различать, следует ли определять x 3 как ( xx ) x или как x ( xx ), поскольку они равны. Возведение в степень до нуля также может быть определено, если операция имеет элемент идентичности , поэтому наличие элементов идентичности полезно в контекстах со степенью ассоциативности.
Над полем в характеристике 0, алгебра сила ассоциативной тогда и только тогда , когда она удовлетворяет и , где это ассоциатор (Albert 1948).
Над бесконечным полем простой характеристики не существует конечного набора тождеств, характеризующих степенно-ассоциативность, но есть бесконечные независимые множества, как описано Гайновым (1970):
- Для : и для (
- Для : для (
- Для : для (
- Для : для (
Для вещественных степенных ассоциативных алгебр с единицей выполняется закон подстановки , который в основном утверждает, что умножение многочленов работает должным образом. Для f действительный многочлен от x и для любого a в такой алгебре определите f ( a ) как элемент алгебры, полученный в результате очевидной подстановки a в f . Тогда для любых двух таких многочленов f и g имеем ( fg ) ( a ) = f ( a ) g ( a ).
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Альберт, А. Адриан (1948). «Силовые ассоциативные кольца» . Труды Американского математического общества . 64 : 552–593. DOI : 10.2307 / 1990399 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1990399 . Руководство по ремонту 0027750 . Zbl 0033.15402 .
- Гайнов АТ (1970). «Степенно-ассоциативные алгебры над конечно-характеристическим полем». Алгебра и логика . 9 (1): 5–19. DOI : 10.1007 / BF02219846 . ISSN 0002-9947 . Руководство по ремонту 0281764 . Zbl 0208.04001 .
- Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Публикации коллоквиума. 44 . С предисловием Жака Титса . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001 .
- Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. 2 . Издательство Кембриджского университета . п. 17. ISBN 0-521-01792-0. Руководство по ремонту 1356224 . Zbl 0841.17001 .
- Шафер, Р. Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дувр. С. 128–148 . ISBN 0-486-68813-5.