В алгебре , Окубо алгебра или псевдо-алгебра октонионов представляет собой 8-мерное не-ассоциативная алгебра похожа на ту , изученной Сусуму Окубо . [1] Алгебры Окубо являются композиционными алгебрами , гибкими алгебрами ( A ( BA ) = ( AB ) A ), допустимыми алгебрами Ли и ассоциативными степенями , но не являются ассоциативными, не альтернативными алгебрами и не имеют элемента единицы.
Примером Окубо была алгебра комплексных матриц 3 × 3 с нулевым следом , произведение X и Y задается формулой aXY + bYX - Tr ( XY ) I / 3, где I - единичная матрица, а a и b удовлетворяют условию a + b = 3 ab = 1. Эрмитовы элементы образуют 8-мерную вещественную неассоциативную алгебру с делением. Аналогичная конструкция работает для любой кубической альтернативной сепарабельной алгебры над полем, содержащим примитивный кубический корень из единицы. Алгебра Окубо - это алгебра, построенная таким образом из элементов нулевого следа центральной простой алгебры степени 3 над полем. [2]
Построение алгебры Пара-Гурвица
Композиционные алгебры с единицей называются алгебрами Гурвица . [3] : 22 Если основное поле K является полем действительных чисел и N является положительно определенной , то называется алгеброй евклидова Гурвица .
Скалярное произведение
Если K имеет характеристику, отличную от 2, то билинейная форма ( a , b ) =1/2[ N ( + б ) - N ( ) - N ( б )] связан с квадратичной формой N .
Инволюция в алгебрах Гурвица
Предполагая, что A имеет мультипликативную единицу, определите инволюцию и операторы правого и левого умножения как
Очевидно является инволюцией и сохраняет квадратичную форму. Обозначения поверх подчеркивают тот факт, что комплексное и кватернионное сопряжение являются частными его случаями. Эти операторы обладают следующими свойствами:
- Инволюция - это антиавтоморфизм, т.е. a b = b a
- а а = N ( а ) 1 = а а
- L ( a ) = L ( a ) * , R ( a ) = R ( a ) * , где * обозначает сопряженный оператор относительно формы (,)
- Re ( a b ) = Re ( b a ), где Re x = ( x + x ) / 2 = ( x , 1)
- Re (( a b ) c ) = Re ( a ( b c ))
- L ( a 2 ) = L ( a ) 2 , R ( a 2 ) = R ( a ) 2 , так что A - альтернативная алгебра
Эти свойства доказываются исходя из поляризованной версии тождества ( a b , a b ) = ( a , a ) ( b , b ) :
Установка b = 1 или d = 1 дает L ( a ) = L ( a ) * и R ( c ) = R ( c ) * . Следовательно, Re ( a b ) = ( a b , 1) = ( a , b ) = ( b a , 1) = Re ( b a ) . Аналогично ( a b , c ) = ( a b , c ) = ( b , a c ) = (1, b ( a c )) = (1, ( b a ) c ) = ( b a , c ) . Следовательно, Re ( a b ) c = (( a b ) c , 1) = ( a b , c ) = ( a , c b ) = ( a ( b c ), 1) = Re ( a ( b c )) . По поляризованному тождеству N ( a ) ( c , d ) = ( a c , a d ) = ( a a c , d ), поэтому L ( a ) L ( a ) = N ( a ) . Применительно к 1 это дает в A = N ( ) . Замена a на a дает другую идентичность. Подставляя формулу для a в L ( a ) L ( a ) = L ( a a ), получаем L ( a ) 2 = L ( a 2 ) .
Алгебра Пара-Гурвица
Другая операция ∗ может быть определена в алгебре Гурвица как
- х * у = х у
Алгебра ( A , ∗) - это композиционная алгебра, в общем случае не унитальная, известная как пара-гурвицева алгебра . [2] : 484 В размерностях 4 и 8 это пара-кватернионные [4] и пара-октонионные алгебры. [3] : 40,41
Парагурвицева алгебра удовлетворяет [3] : 48
Наоборот, алгебра с невырожденной симметричной билинейной формой, удовлетворяющая этому уравнению, является либо парагурвицевой алгеброй, либо восьмимерной алгеброй псевдооктонионов . [3] : 49 Аналогично, гибкая алгебра, удовлетворяющая
является либо алгеброй Гурвица, либо пара-гурвицевой алгеброй, либо восьмимерной алгеброй псевдооктонионов. [3]
Рекомендации
- ↑ Сусуму Окубо ( 1978 )
- ^ a b Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Состав и триальность», глава 8 в Книге инволюций , стр 451–511, Colloquium Publications v 44, Американское математическое общество ISBN 0 -8218-0904-0
- ^ а б в г д Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. 2 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-47215-6. Руководство по ремонту 1356224 . Zbl 0841.17001 .
- ^ Термин «пара-кватернионы» иногда применяется к несвязанным алгебрам.
- "Okubo_algebra" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Окубо, Сусуму (1978), «Псевдокватернионные и псевдооктонионные алгебры», Hadronic Journal , 1 (4): 1250–1278, MR 0510100
- Сусуму Окубо и Дж. Маршалл Осборн (1981) "Алгебры с невырожденными ассоциативными симметричными билинейными формами, допускающими композицию", Коммуникации в алгебре 9 (12): 1233–61, MR.0618901 и 9 (20): 2015–73 MR0640611 .