Теорема о примитивном элементе

В теории поля теорема о примитивных элементах или теорема Артина о примитивных элементах - это результат, характеризующий расширения поля конечной степени, порожденные одним примитивным элементом , или простыми расширениями . Он говорит в том, что конечное расширение является простым тогда и только тогда, когда существует только конечное число промежуточных полей. В частности, конечные разделимые расширения просты, включая поля алгебраических чисел над рациональными числами и расширения, в которых оба поля конечны.

Терминология [ править ]

Позвольте быть расширением поля . Элемент является примитивным элементом для при${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ alpha \ in E}$${\ displaystyle E / F}$${\ Displaystyle Е = F (\ альфа).}$

Если такой примитивный элемент существует, то он называется простым расширением . Если расширение поля имеет конечную степень , то каждый элемент x из E можно записать в виде${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle n = [E: F]}$

${\ displaystyle x = f_ {n-1} {\ alpha} ^ {n-1} + \ cdots + f_ {1} {\ alpha} + f_ {0},}$

где для всех i и фиксировано. То есть, если это простое расширение степени n , существует такое, что множество${\ displaystyle f_ {i} \ in F}$${\ displaystyle \ alpha \ in E}$${\ displaystyle E / F}$${\ displaystyle \ alpha \ in E}$

${\ Displaystyle \ {1, \ альфа, \ ldots, {\ альфа} ^ {п-1} \}}$

является основой для Е в качестве векторного пространства над F .

Пример [ править ]

Если одна примыкает к рациональным числам два иррациональных чисел и , чтобы получить поле расширения в степени 4, можно показать , это расширение является простым, то есть для одного . Принимая , силы 1, α , α ² , & alpha ; ³ может быть расширена , как линейные комбинации из 1, , , с целыми коэффициентами. Можно решить эту систему линейных уравнений для и более , например . Это показывает, что α действительно примитивный элемент:${\ Displaystyle F = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle E = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})}$${\ Displaystyle Е = \ mathbb {Q} (\ альфа)}$${\ displaystyle \ alpha \ in E}$${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}).}$

Еще один аргумент отметить независимость 1, , , над полем рациональных чисел; это показывает, что подполе, порожденное α, не может быть подполем, порожденным или или , исчерпывающим все подполя степени 2, как это дает теория Галуа . Следовательно, должно быть все поле.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

Классическая теорема о примитивных элементах [ править ]

Позвольте быть сепарабельным расширением конечной степени. Тогда для некоторых ; то есть расширение простое и представляет собой примитивный элемент.${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E=F(\alpha )}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\displaystyle \alpha }$

Заявление о существовании [ править ]

Интерпретация теоремы изменилась с формулировкой теории Эмиля Артина , примерно в 1930 году. Со времен Галуа роль примитивных элементов заключалась в представлении поля расщепления, порожденного одним элементом. Этот (произвольный) выбор такого элемента был обойден Артином. ^[1] В то же время рассуждения о построении такого элемента отступили: теорема становится теоремой существования .

Следующая теорема Артина заменяет классическую теорему о примитивных элементах .

Теорема

Позвольте быть расширение поля конечной степени . Тогда для некоторого элемента тогда и только тогда существует только конечное число промежуточных полей K с .${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E=F(\alpha )}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\displaystyle E\supseteq K\supseteq F}$

Следствием теоремы является теорема о примитивных элементах в более традиционном смысле (где обычно негласно предполагалась отделимость):

Следствие

Позвольте быть конечной степени сепарабельного расширения . Тогда для некоторых .${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E=F(\alpha )}$${\displaystyle \alpha \in E}$

Следствие применимо к полям алгебраических чисел , т. Е. Конечным расширениям рациональных чисел Q , поскольку Q имеет характеристику 0 и, следовательно, любое конечное расширение над Q сепарабельно.

Контрпримеры [ править ]

Для несепарабельного расширения от характеристики р , тем не менее существует примитивный элемент при условии , что степень [ E  :  F ] является р: на самом деле, не может быть никакого нетривиальным промежуточным подполя , так как их степень будет факторами простого р . ${\displaystyle E/F}$

Когда [ E  :  F ] = p ² , примитивного элемента может не быть (в этом случае существует бесконечно много промежуточных полей). Простейший пример - это поле рациональных функций от двух неопределенных T и U над конечным полем с p элементами, и . Фактически, для любого α = g (T, U) в E элемент α ^p лежит в F , поэтому α является корнем , а α не может быть примитивным элементом (степени p ² над F ), а вместо этого F${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(T,U)}$${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})}$${\displaystyle f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]}$(α) - нетривиальное промежуточное поле.

Конструктивные результаты [ править ]

Как правило, набор всех примитивных элементов для конечного сепарабельного расширения E  /  F является дополнением конечного набора собственных F -подпространств  E , а именно промежуточных полей. Это утверждение ничего не говорит о случае конечных полей , для которых существует вычислительная теория, посвященная поиску генератора мультипликативной группы поля ( циклической группы ), который тем более является примитивным элементом. Где F бесконечно, принцип ячеек Метод доказательства рассматривает линейное подпространство, порожденное двумя элементами, и доказывает, что существует только конечное число линейных комбинаций

${\displaystyle \gamma =\alpha +c\beta \ }$

с c в F , которые не могут создать подполе, содержащее оба элемента:

as является сепарабельным расширением, если существует нетривиальное вложение , ограничение которого на является тождеством, которое означает и так что . Это выражение для c может принимать только разные значения. Для всех остальных значений тогда .${\displaystyle F(\alpha ,\beta )/F(\alpha +c\beta )}$${\displaystyle F(\alpha +c\beta )\subsetneq F(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \sigma :F(\alpha ,\beta )\to {\overline {F}}}$${\displaystyle F(\alpha +c\beta )}$${\displaystyle \sigma (\alpha )+c\sigma (\beta )=\alpha +c\beta }$${\displaystyle \sigma (\beta )\neq \beta }$${\displaystyle c={\frac {\sigma (\alpha )-\alpha }{\beta -\sigma (\beta )}}}$${\displaystyle [F(\alpha ):F][F(\beta ):F]}$${\displaystyle c\in F}$${\displaystyle F(\alpha ,\beta )=F(\alpha +c\beta )}$

Это почти сразу , как способ показать , как результат Артина подразумевает классический результат, а граница для числа исключительных с точки зрения количества промежуточных результатов полей (это число является то , что может быть ограничено само по теории Галуа и а априори ). Следовательно, в этом случае метод проб и ошибок является возможным практическим методом поиска примитивных элементов.

См. Также [ править ]

• Примитивный элемент (конечное поле)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Курс Дж. Милна по полям и теории Галуа
• Теорема о примитивных элементах на mathreference.com
• Теорема о примитивных элементах на сайте planetmath.org
• Теорема о примитивных элементах на сайте Кена Брауна (файл в формате pdf)