Петля муфанг

В математике , А цикл муфангов представляет собой особый вид алгебраической структуры . Он во многом похож на группу, но не обязательно должен быть ассоциативным . Петли Муфанг были введены Рут Муфанг ( 1935 ). Гладкие лупы Муфанг имеют ассоциированную алгебру, алгебру Мальцева , в некотором смысле похожую на то, как группа Ли имеет ассоциированную алгебру Ли .

Определение [ править ]

Цикл Муфанг - это цикл Q, который удовлетворяет четырем следующим тождествам для всех x , y , z в Q (двоичная операция в Q обозначается сопоставлением):

z ( x ( zy )) = (( zx ) z ) y ;
х ( z ( yz )) = (( xz ) y ) z
( zx ) ( yz ) = ( z ( xy )) z
( zx ) ( yz ) = z (( xy ) z ).

Эти идентичности известны как идентичности Муфанг .

Примеры [ править ]

Любая группа является ассоциативной петлей и, следовательно, петлей Муфанг.
Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю Муфанг при умножении октонионов.
Подмножество октонионов с единичной нормой (образующих 7-сферу в O ) замкнуто относительно умножения и, следовательно, образует петлю Муфанг.
Подмножество целочисленных октонионов с единичной нормой - это конечная петля Муфанг порядка 240.
Базисные октонионы и их аддитивные инверсии образуют конечную петлю Муфанг 16-го порядка.
Набор обратимых сплит-октонионов образует неассоциативный цикл Муфанг, как и набор сплит-октонионов с единичной нормой. В более общем смысле, набор обратимых элементов в любой алгебре октонионов над полем F образует петлю Муфанг, как и подмножество элементов единичной нормы.
Множество всех обратимых элементов в альтернативном кольцевом R образует петля муфангова называют петлю единиц в R .
Для любого поля F Пусть М ( Р ) обозначает цикл Муфанг единичной нормы элементов в (единственной) сплит-октонионов алгебры над F . Обозначим через Z центр M ( F ). Если характерное из F 2 , то Z = { е }, в противном случае Z = {± е }. Цикл Paige над F представляет собой цикл М * ( Р ) = М ( Р ) / Z . Петли Пейджа - это неассоциативные простые петли Муфанг. Всеконечные неассоциативные простые лупы Муфанг - это лупы Пейджа над конечными полями . Самая маленькая петля Пейдж M * (2) имеет порядок 120.
Большой класс неассоциативных петель Муфанг можно построить следующим образом. Пусть G - произвольная группа. Определим новый элемент u, не принадлежащий G, и пусть M ( G , 2) = G ∪ ( G u ). Произведение в M ( G , 2) дается обычным произведением элементов в G вместе с
${\ Displaystyle (гу) час = (гх ^ {- 1}) и}$
${\ displaystyle g (hu) = (hg) u}$
${\ Displaystyle (гу) (ху) = ч ^ {- 1} г.}$

Отсюда следует, что и . С указанным выше произведением M ( G , 2) является петлей Муфанг. Он ассоциативен тогда и только тогда, когда G абелева.

{\ displaystyle u ^ {2} = 1}

{\ displaystyle ug = g ^ {- 1} u}

Наименьшая неассоциативная петля Муфанг - это M ( S ₃ , 2), которая имеет порядок 12.
Ричард А. Паркер построил петлю Муфанг порядка ²¹³ , которую Конвей использовал при построении группы монстров . Цикл Паркера имеет центр порядка 2 с элементами, обозначенными 1, -1, а фактор по центру представляет собой элементарную абелеву группу порядка 2 ¹² , отождествляемую с двоичным кодом Голея . Тогда петля определяется с точностью до изоморфизма уравнениями
A ² = (−1) ^{| A | / 4}
BA = (−1) ^{| A ∩ B | / 2}AB
A ( BC ) = (−1) ^{| A ∩ B ∩ C |}( AB ) C

где | А | - количество элементов кодового слова A и т. д. Для получения дополнительной информации см. Conway, JH; Кертис, RT; Нортон, ИП; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А.: Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обыкновенные характеры для простых групп. Оксфорд, Англия.

Свойства [ править ]

Ассоциативность [ править ]

Петли Муфанг отличаются от групп тем, что они не обязательно должны быть ассоциативными . Ассоциативная петля Муфанг - это группа. Тождества Муфанг можно рассматривать как более слабые формы ассоциативности.

Устанавливая различные элементы идентичности, идентичность Муфанг подразумевает

x ( xy ) = ( xx ) y левая альтернатива тождество
( xy ) y = x ( yy ) правоальтернативное тождество
x ( yx ) = ( xy ) x гибкое тождество (см. гибкую алгебру ).

Теорема Муфанга утверждает, что когда три элемента x , y и z в петле Муфанг подчиняются ассоциативному закону: ( xy ) z = x ( yz ), тогда они генерируют ассоциативную подпетлю; то есть группа. Следствие этого является то , что все петли Муфанга ди-ассоциативной (т.е. подлупа генерируется с помощью любых двух элементов петли муфанговой ассоциативна и , следовательно , группы). В частности, петли Муфанг ассоциативны по степени , так что показатели x ⁿчетко определены. При работе с циклами Муфанг обычно опускают круглые скобки в выражениях, содержащих только два различных элемента. Например, тождества Муфанга можно однозначно записать как

z ( x ( zy )) = ( zxz ) y
(( xz ) y ) z = x ( zyz )
( zx ) ( yz ) = z ( xy ) z .

Левое и правое умножение [ править ]

Идентичность Муфанга можно записать в терминах левых и правых операторов умножения на Q . Первые две идентичности заявляют, что

${\ Displaystyle L_ {z} L_ {x} L_ {z} (y) = L_ {zxz} (y)}$
${\ Displaystyle R_ {z} R_ {y} R_ {z} (x) = R_ {zyz} (x)}$

в то время как третья личность говорит

${\ Displaystyle L_ {z} (х) R_ {z} (y) = B_ {z} (ху)}$

для всех в . Вот умножение на . Третье тождество муфангова поэтому эквивалентно утверждению , что тройка является autotopy из для всех ин . ${\ displaystyle x, y, z}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle B_ {z} = L_ {z} R_ {z} = R_ {z} L_ {z}}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle (L_ {z}, R_ {z}, B_ {z})}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle Q}$

Обратные свойства [ править ]

Все петли Муфанг обладают обратным свойством , что означает, что каждый элемент x имеет двусторонний обратный x − ^1, который удовлетворяет тождествам:

{\ Displaystyle х ^ {- 1} (ху) = у = (ух) х ^ {- 1}}

для всех x и y . Отсюда следует, что и тогда и только тогда, когда . ${\ Displaystyle (ху) ^ {- 1} = у ^ {- 1} х ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle х (yz) = е}$ ${\ Displaystyle (ху) г = е}$

Петли Муфанг универсальны среди петель с обратными свойствами; то есть, петля Q является петлей муфангова тогда и только тогда , когда каждый цикл изотопы из Q имеют обратное свойство. Из этого следует, что каждый изотоп петли петли Муфанг является петлей Муфанг.

Можно использовать инверсии, чтобы переписать левую и правую идентичности Муфанг в более удобной форме:

${\ Displaystyle (ху) z = (xz ^ {- 1}) (zyz)}$
${\ displaystyle x (yz) = (xyx) (x ^ {- 1} z).}$

Свойство Лагранжа [ править ]

Конечный цикл Q называется имеет свойство Лагранжа , если порядок каждый подлупа Q делит порядок Q . Теорема Лагранжа в теории групп утверждает, что каждая конечная группа обладает свойством Лагранжа. В течение многих лет оставался открытым вопрос, обладают ли конечные лупы Муфанг свойством Лагранжа. Вопрос был окончательно решен Александром Гришковым и Андреем Заварницыным и независимо Стивеном Гаголой III и Джонатаном Холлом в 2003 году: каждая конечная петля Муфанг действительно обладает свойством Лагранжа. В последние годы Стивен Гагола III обобщил новые результаты по теории конечных групп на лупы Муфанг.

Квазигруппы Муфанг [ править ]

Любая квазигруппа, удовлетворяющая одному из тождеств Муфанг, должна фактически иметь элемент идентичности и, следовательно, быть петлей Муфанг. Мы приводим здесь доказательство третьего тождества:

Пусть a - любой элемент Q , и пусть e - единственный элемент такой, что ae = a .

Тогда для любого x из Q ( xa ) x = ( x ( ae )) x = ( xa ) ( ex ).

Отмена дает x = ex, так что e является левым элементом идентичности.

Теперь для любых у в Q , вы = ( еу ) ( й ) = ( е ( вы )) е = ( у ^ ) е .

Отмена дает y = ye , поэтому e также является правильным элементом идентичности.

Следовательно, e - двусторонний тождественный элемент.

Доказательства первых двух тождеств несколько сложнее (Kunen 1996).

Открытые проблемы [ править ]

Проблема Филлипса - открытая проблема в теории, представленной Дж. Д. Филлипсом на Loops '03 в Праге. Он спрашивает, существует ли конечная петля Муфанг нечетного порядка с тривиальным ядром .

Напомним , что ядро цикла (или в более общем случае квазигруппе) есть множество таких , что , и удержания для всех в петле. ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle х (yz) = (ху) z}$ ${\ Displaystyle у (xz) = (yx) z}$ ${\ Displaystyle у (zx) = (yz) x}$ ${\ displaystyle y, z}$

См. Также : Проблемы теории петель и теории квазигрупп.

См. Также [ править ]

Алгебра мальцева
Петля Бола
Гирогруппа

Ссылки [ править ]

В. Д. Белоусов (2001) [1994], "Петли Муфанг" , Энциклопедия математики , EMS Press
Goodaire, Эдгар Г .; Мэй, Шон; Раман, Майтрейи (1999). Петли Муфанг порядка менее 64 . Издательство Nova Science . ISBN 0-444-82438-3.
Гагола III, Стивен (2011). «Как и почему петли Муфанг ведут себя как группы». Квазигруппы и родственные системы . 19 : 1–22.
Гришков Александр; Заварницын, Андрей (2005). «Теорема Лагранжа для луп Муфанг». Математические труды Кембриджского философского общества . 139 : 41–57. DOI : 10.1017 / S0305004105008388 .
Кунен, К. (1996). «Квазигруппы Муфанг». Журнал алгебры . 183 (1): 231–4. CiteSeerX 10.1.1.52.5356 . DOI : 10.1006 / jabr.1996.0216 .
Moufang, R. (1935), "Zur Struktur von Alternativkörpern", Math. Аня. , 110 : 416-430, DOI : 10.1007 / bf01448037 , ЛВП : 10338.dmlcz / 119719
Смит, Джонатан Д.Х. Романовская, Анна Б. (1999). Постмодернистская алгебра . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.

Внешние ссылки [ править ]

Пакет LOOPS для GAP Этот пакет содержит библиотеку, содержащую все неассоциативные циклы Moufang заказов до 81 включительно.
«Петля Муфанг» . PlanetMath .