Многолинейная карта

В линейной алгебре , полилинейная карта является функцией нескольких переменных, линейна отдельно по каждой переменной. Точнее, полилинейная карта - это функция

${\ displaystyle f \ двоеточие V_ {1} \ times \ cdots \ times V_ {n} \ to W {\ text {,}}}$

где и - векторные пространства (или модули над коммутативным кольцом ) со следующим свойством: для каждого , если все переменные, но остаются постоянными, является линейной функцией от . ^[1]${\ Displaystyle V_ {1}, \ ldots, V_ {n}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ Displaystyle f (v_ {1}, \ ldots v_ {i}, \ ldots v_ {n})}$${\ displaystyle v_ {i}}$

Полилинейное отображение одной переменной - это линейное отображение , а двух переменных - билинейное отображение . В более общем смысле, полилинейное отображение k переменных называется k -линейным отображением . Если область значений полилинейной карты - это поле скаляров, она называется полилинейной формой . Полилинейные карты и полилинейные формы являются фундаментальными объектами изучения полилинейной алгебры .

Если все переменные принадлежат одному пространству, можно рассматривать симметричные , антисимметричные и чередующиеся k -линейные отображения. Последние совпадают, если нижележащее кольцо (или поле ) имеет характеристику, отличную от двух, иначе первые два совпадают.

Примеры [ править ]

• Любая билинейная карта - это мультилинейная карта. Например, любое внутреннее произведение в векторном пространстве является полилинейной картой, как и векторное произведение векторов в .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$
• Определитель матрицы является переменным полилинейной функцией столбцов (или строк) в виде квадратной матрицы .
• Если - функция C ^k , то th производная в каждой точке ее области определения может рассматриваться как симметрично- линейная функция .${\ Displaystyle F \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle к \!}$${\ Displaystyle F \!}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle D ^ {к} \! F \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {m} \ times \ cdots \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

Координатное представление [ править ]

Позволять

${\ displaystyle f \ двоеточие V_ {1} \ times \ cdots \ times V_ {n} \ to W {\ text {,}}}$

быть полилинейным отображением между конечномерными векторными пространствами, где имеет размерность и имеет размерность . Если мы выберем основу для каждого и основу для (используя жирный шрифт для векторов), то мы можем определить набор скаляров следующим образом:${\ displaystyle V_ {i} \!}$${\ displaystyle d_ {i} \!}$${\ Displaystyle W \!}$${\ displaystyle d \!}$ ${\ displaystyle \ {{\ textbf {e}} _ {i1}, \ ldots, {\ textbf {e}} _ {id_ {i}} \}}$${\ displaystyle V_ {i} \!}$${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$${\displaystyle W\!}$${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

Тогда скаляры полностью определяют полилинейную функцию . В частности, если${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$${\displaystyle f\!}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

для , тогда${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

Пример [ править ]

Возьмем трилинейную функцию

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

где V _i = R ² , d _i = 2, i = 1,2,3 , и W = R , d = 1 .

Базисом для каждого V _i является Пусть${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

где . Другими словами, константа - это значение функции в одной из восьми возможных троек базисных векторов (поскольку есть два варианта для каждого из трех ), а именно: ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$${\displaystyle A_{ijk}}$${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

Каждый вектор может быть выражен как линейная комбинация базисных векторов${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

Значение функции в произвольном наборе из трех векторов может быть выражено как${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k}.}$

Или в развернутом виде как

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

Отношение к тензорным произведениям [ править ]

Между полилинейными отображениями существует естественное взаимно однозначное соответствие.

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

и линейные карты

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

где обозначает тензорное произведение из . Связь между функциями и задается формулой${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$${\displaystyle f\!}$${\displaystyle F\!}$

${\displaystyle F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})=f(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

Полилинейные функции на п × п матриц [ править ]

Можно рассматривать полилинейные функции на матрице размера n × n над коммутативным кольцом K с единицей как функцию строк (или, что эквивалентно, столбцов) матрицы. Пусть такая матрица и _я , 1 ≤ я ≤ п , то строки A . Тогда полилинейную функцию D можно записать как

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

удовлетворение

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

Если мы позволим представить j- ю строку единичной матрицы, мы можем выразить каждую строку a _i как сумму${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

Используя полилинейность D, перепишем D ( A ) как

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

Продолжая эту замену для каждого a _i, мы получаем для 1 ≤ i ≤ n ,

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{i}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}),}$

где, поскольку в нашем случае 1 ≤ i ≤ n ,

${\displaystyle \sum _{1\leq k_{i}\leq n}=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}}$

представляет собой серию вложенных суммирований.

Следовательно, D ( A ) однозначно определяется тем, как D действует .${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$

Пример [ править ]

В случае матриц 2 × 2 получаем

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})\,}$

Где и . Если мы ограничимся переменной функцией, тогда и . Получаем детерминантную функцию на матрицах 2 × 2:${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$${\displaystyle D(I)=1}$

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

Свойства [ править ]

• Полилинейная карта имеет нулевое значение, если один из ее аргументов равен нулю.

См. Также [ править ]

• Алгебраическая форма
• Многолинейная форма
• Однородный полином
• Однородная функция
• Тензоры

Ссылки [ править ]