Квантовая логика

Часть серии по
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой механике , квантовая логика представляет собой набор правил рассуждения о предложениях , которые принимают принципы квантовой теории во внимание. Эта область исследований и ее название произошло в 1936 году работе ^[1] по Garrett Биркгофом и Джона фон Неймана , пытавшихся примирить кажущееся несоответствие классической логики с фактами , касающимися измерения дополнительных переменных в квантовой механике, например, положение и импульс .

Квантовая логика может быть сформулирована либо как модифицированная версия логики высказываний, либо как некоммутативная и неассоциативная многозначная (MV) логика . ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Квантовая логика была предложена как правильная логика для пропозиционального вывода в целом, в первую очередь философом Хилари Патнэм , по крайней мере, на одном этапе его карьеры. Этот тезис был важным элементом в работе Патнэма 1968 года « Является ли логика эмпирической? », В которой он проанализировал эпистемологический статус правил логики высказываний. Патнэм приписывает идею о том, что аномалии, связанные с квантовыми измерениями, происходят из аномалий в логике самой физики, физику Дэвиду Финкельштейну . Однако эта идея существовала в течение некоторого времени и была возрождена несколькими годами ранее работой Джорджа Макки по представлениям групп и симметрии.

Однако более распространенный взгляд на квантовую логику состоит в том, что она обеспечивает формализм для связи наблюдаемых , фильтров подготовки системы и состояний. ^{[ необходимая цитата ]} С этой точки зрения подход квантовой логики больше напоминает C * -алгебраический подход к квантовой механике. Сходство формализма квантовой логики с системой дедуктивной логики можно тогда рассматривать скорее как любопытство, чем как факт фундаментального философского значения. Более современный подход к структуре квантовой логики состоит в том, чтобы предположить, что это диаграмма - в смысле теории категорий - классической логики (см. Дэвида Эдвардса).

Отличия от классической логики [ править ]

Квантовая логика имеет некоторые свойства , которые четко отличают его от классической логики , прежде всего, отказ от дистрибутивности из логики : ^[7]

p и ( q или r ) = ( p и q ) или ( p и r ),

где символы p , q и r - пропозициональные переменные. Чтобы проиллюстрировать, почему закон распределения не выполняется, рассмотрим частицу, движущуюся по линии, и (используя некоторую систему единиц, где приведенная постоянная Планка равна 1) пусть

p = "частица имеет импульс в интервале [0, +1/6]"

q = "частица находится в интервале [−1, 1]"

r = "частица находится в интервале [1, 3]"

Примечание . Выбор p , q и r в этом примере интуитивно понятен, но формально не верен (то есть p и ( q или r ) здесь также неверны); подробности и действительный пример см. в разделе «Квантовая логика как логика наблюдаемых» ниже.

Мы можем заметить, что:

p и ( q или r ) = истина

другими словами, импульс частицы находится в диапазоне от 0 до +1/6, а ее положение находится в диапазоне от -1 до +3. С другой стороны, утверждения « p и q » и « p и r » оба ложны, поскольку они заявляют более жесткие ограничения на одновременные значения положения и импульса, чем допускает принцип неопределенности (каждое из них имеет неопределенность 1/3, что меньше допустимого минимума 1/2). Так,

( p и q ) или ( p и r ) = ложь

Таким образом, закон распределения не работает.

Введение [ править ]

В своем классическом трактате « Математические основы квантовой механики» 1932 года Джон фон Нейман отметил, что проекции на гильбертово пространство можно рассматривать как утверждения о физических наблюдаемых. Набор принципов для манипулирования этими квантовыми предложениями был назван фон Нейманом и Биркгофом квантовой логикой в их статье 1936 года. Джордж Макки в своей книге 1963 года (также называемой « Математические основы квантовой механики» ) попытался представить набор аксиом для этой пропозициональной системы как ортодополненной решетки . Макки рассматривал элементы этого набора как возможные вопросы " да" или "нет".наблюдатель может спросить о состоянии физической системы, вопросы, которые можно решить с помощью некоторых измерений. Более того, Макки определил физическую наблюдаемую в терминах этих основных вопросов. Система аксиом Макки, тем не менее, несколько неудовлетворительна, поскольку она предполагает, что частично упорядоченное множество фактически задано как ортодополняемая замкнутая решетка подпространств сепарабельного гильбертова пространства. Константин Пирон , Гюнтер Людвиг и другие пытались дать аксиоматизацию, которая не требует таких явных отношений к решетке подпространств.

Аксиомы решетки с ортодополнениями чаще всего формулируются как алгебраические уравнения, касающиеся ч.у.м. и его операций. ^{[ необходима цитата ]} Набор аксиом, использующих вместо этого дизъюнкцию (обозначенную как ) и отрицание (обозначенную как ), выглядит следующим образом: ^[8]${\displaystyle \cup }$${\displaystyle ^{\perp }}$

• ${\displaystyle a=a^{\perp \perp }}$
• ${\displaystyle \cup }$ коммутативен и ассоциативен.
• Есть максимальный элемент , причем на любой .${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1=b\cup b^{\perp }}$${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle a\cup (a^{\perp }\cup b)^{\perp }=a}$.

Ортомодулярные решетки удовлетворяют указанные выше аксиомы и дополнительно следующая:

• Ортомодулярный закон: если тогда .${\displaystyle 1=(a^{\perp }\cup b^{\perp })^{\perp }\cup (a\cup b)^{\perp }}$${\displaystyle a=b}$

Альтернативные формулировки ^{[ необходимы пояснения ]} включают исчисления секвенции , ^{[9] [10] [11]} и системы таблиц . ^[12]

Остальная часть этой статьи предполагает , что читатель знаком с спектральной теорией из операторов самосопряжённых в гильбертовом пространстве. Однако основные идеи можно понять с помощью конечномерной спектральной теоремы.

Квантовая логика как логика наблюдаемых [ править ]

Одна семантика квантовой логики состоит в том, что квантовая логика - это логика логических наблюдаемых в квантовой механике, где наблюдаемое p связано с набором квантовых состояний, для которых p (при измерении) истинно с вероятностью 1 (это полностью характеризует наблюдаемое) . Оттуда,

• ¬p - ортогональное дополнение к p (поскольку для этих состояний вероятность наблюдения p , P ( p ) = 0),
• p ∧ q - пересечение точек p и q , а
• p ∨ q = ¬ (¬ p ∧¬ q ) относится к состояниям, которые являются суперпозицией p и q .

Таким образом, выражения в квантовой логике описывают наблюдаемые с помощью синтаксиса, напоминающего классическую логику. Однако, в отличие от классической логики, закон распределения a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) не работает при работе с некоммутирующими наблюдаемыми, такими как позиция и импульс. Это происходит потому, что измерение влияет на систему, а измерение того, выполняется ли дизъюнкция, не измеряет, какой из дизъюнктов является истинным.

В качестве примера рассмотрим простую одномерную частицу с положением, обозначенным x, и импульсом через p , и определим наблюдаемые:

• а - | p | ≤ 1 (в некоторых единицах)
• б - х <0
• с - х ≥ 0

Теперь положение и импульс являются преобразованиями Фурье друг друга, а преобразование Фурье интегрируемой с квадратом ненулевой функции с компактным носителем является целым и, следовательно, не имеет неизолированных нулей. Следовательно, не существует волновой функции, которая обращается в нуль при x ≥ 0 с P (| p | ≤1) = 1. Таким образом, a ∧ b и аналогично a ∧ c ложны, поэтому ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) ложно. Однако a ∧ ( b ∨ c ) равнои может быть правдой.

Чтобы понять больше, пусть p ₁ и p ₂ будут импульсами для ограничения волновой функции частицы до x <0 и x ≥ 0 соответственно (с нулевой волновой функцией вне ограничения). Позвольте быть ограничением | p | до импульсов, которые (по абсолютной величине)> 1.${\displaystyle |p|\!\upharpoonright _{>1}}$

( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) соответствует состояниям с и (это верно, даже если мы определили p по- другому, чтобы сделать такие состояния возможными; также a ∧ b соответствует и ). В качестве оператора , и ненулевое значение, и может помешать получению нуля . Такое вмешательство является ключом к богатству квантовой логики и квантовой механики.${\displaystyle |p_{1}|\!\upharpoonright _{>1}=0}$${\displaystyle |p_{2}|\!\upharpoonright _{>1}=0}$${\displaystyle |p_{1}|\!\upharpoonright _{>1}=0}$${\displaystyle p_{2}=0}$${\displaystyle p=p_{1}+p_{2}}$${\displaystyle |p_{1}|\!\upharpoonright _{>1}}$${\displaystyle |p_{2}|\!\upharpoonright _{>1}}$${\displaystyle |p|\!\upharpoonright _{>1}}$

Решетка высказываний классической системы [ править ]

Так называемые гамильтоновы формулировки классической механики состоят из трех компонентов: состояний , наблюдаемых и динамики . В простейшем случае одиночной частицы, движущейся в R ³ , пространство состояний - это пространство положения-импульса R ⁶ . Мы просто отметим здесь, что наблюдаемая - это некоторая действительная функция f в пространстве состояний. Примеры наблюдаемых - положение, импульс или энергия частицы. Для классических систем значение f ( x ), то есть значение f для некоторого конкретного состояния системы x, получается путем измерения f . В положении , касающееся классическая систему формируется из основных утверждений вида

«Измерение f дает значение в интервале [ a , b ] для некоторых действительных чисел a , b ».

Из этой характеристики предложений в классических системах легко следует, что соответствующая логика идентична логике некоторой булевой алгебры подмножеств пространства состояний. Под логикой в ​​этом контексте мы подразумеваем правила, которые связывают операции над множеством и отношения упорядочения, такие как законы де Моргана . Они аналогичны правилам, связывающим булевы конъюнктивы и материальную импликацию в классической логике высказываний. По техническим причинам мы также будем предполагать, что алгебра подмножеств пространства состояний - это алгебра всех борелевских множеств . Набор предложений упорядочен естественным порядком множеств и имеет операцию дополнения. В терминах наблюдаемых дополнение предложения { f ≥ a} равно { f < a }.

Мы резюмируем эти замечания следующим образом: Система предложений классической системы представляет собой решетку с выделенной операцией ортодополнения : решеточные операции встречи и соединения - это соответственно пересечение множеств и объединение множеств. Операция ортодополнения - это набор дополнений. Более того, эта решетка является секвенциально полной в том смысле, что любая последовательность { E _i } _i элементов решетки имеет точную верхнюю границу, а именно теоретико-множественное объединение:

${\displaystyle \operatorname {LUB} (\{E_{i}\})=\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}.}$

Решетка высказываний квантово-механической системы [ править ]

В пространстве Гильберта формулировке квантовой механики , как представленный фон Нейман, физические наблюдаемый представляются некоторым (возможно , неограниченным) плотно заданного самосопряженным оператор А в гильбертовом пространстве H . Имеет спектральное разложение, которое является проекцией многозначной меры Е , определенные на борелевских подмножествах R . В частности, для любой ограниченной борелевской функции f на R можно сделать следующее расширение f на операторы:

${\displaystyle f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\,d\operatorname {E} (\lambda ).}$

В случае, если f является индикаторной функцией интервала [ a , b ], оператор f ( A ) является самосопряженной проекцией и может быть интерпретирован как квантовый аналог классического предложения

• Измерение A дает значение в интервале [ a , b ].

Это предполагает следующую квантово-механическую замену ортодополняемой решетки предложений в классической механике. По сути, это Аксиома VII Макки :

• Ортодополненная решетка Q предложений квантово-механической системы - это решетка замкнутых подпространств комплексного гильбертова пространства H, где ортодополнение V является ортогональным дополнением V ^⊥ .

Q также является секвенциально полным: любая попарно непересекающаяся последовательность { V _i } _i элементов Q имеет точную верхнюю границу. Здесь дизъюнктность W ₁ и W ₂ означает, что W ₂ является подпространством W ₁ ^⊥ . Точная верхняя грань { V _i } _i - это замкнутая внутренняя прямая сумма.

В дальнейших мы идентифицируем элементы Q с самосопряжёнными проекциями на гильбертовом пространстве H .

Структура Q сразу указывает на отличие от структуры частичного порядка классической системы высказываний. В классическом случае, учитывая предложение p , уравнения

${\displaystyle I=p\vee q}$

${\displaystyle 0=p\wedge q}$

имеют ровно одно решение, а именно теоретико-множественное дополнение к p . В этих уравнениях I относится к атомарному утверждению, которое тождественно истинно, и 0 к атомарному утверждению, которое тождественно ложно. В случае решетки проекций существует бесконечно много решений вышеуказанных уравнений (любое замкнутое алгебраическое дополнение к p решает его; оно не обязательно должно быть ортодополнением).

Сделав эти предварительные замечания, мы перевернем все вокруг и попытаемся определить наблюдаемые в рамках проекционной решетки и, используя это определение, установим соответствие между самосопряженными операторами и наблюдаемыми: наблюдаемая Макки является счетно-аддитивным гомоморфизмом из ортодополняемой решетки Бореля. подмножества R на Q . Сказать, что отображение φ является счетно-аддитивным гомоморфизмом, означает, что для любой последовательности { S _i } _i попарно непересекающихся борелевских подмножеств в R , {φ ( S _i )} _i являются попарно ортогональными проекциями и

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (S_{i}).}$

Эффективно, то, Макка наблюдаемым является проекция-значной мера на R .

Теорема . Между наблюдаемыми Макки и плотно определенными самосопряженными операторами на H существует взаимно однозначное соответствие .

Таково содержание спектральной теоремы, сформулированной в терминах спектральных мер .

Статистическая структура [ править ]

Представьте себе лабораторию судебной экспертизы, в которой есть какое-то устройство для измерения скорости пули, выпущенной из ружья. В тщательно контролируемых условиях температуры, влажности, давления и т. Д. Из одного и того же пистолета производятся многократные выстрелы и измерения скорости. Это дает некоторое распределение скоростей. Хотя мы не получим точно такое же значение для каждого отдельного измерения, для каждого кластера измерений мы ожидаем, что эксперимент приведет к одинаковому распределению скоростей. В частности, мы можем ожидать присвоения распределения вероятностей таким предложениям, как { a ≤ speed ≤ b}. Это естественным образом приводит к предположению, что в контролируемых условиях подготовки измерение классической системы может быть описано вероятностной мерой в пространстве состояний. Та же самая статистическая структура присутствует и в квантовой механике.

Квантовая вероятностная мера является функция Р , определенная на Q со значениями в [0,1], что Р (0) = 0, P (I) = 1 , и если { Е _я } _я представляет собой последовательность попарно ортогональных элементов Q тогда

${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(\sum _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {P} (E_{i}).}$

Следующая весьма нетривиальная теорема принадлежит Эндрю Глисону :

Теорема . Предположим, что Q - сепарабельное гильбертово пространство комплексной размерности не менее 3. Тогда для любой квантовой вероятностной меры P на Q существует единственный оператор класса следов S такой, что

${\displaystyle \operatorname {P} (E)=\operatorname {Tr} (SE)}$

для любой самосопряженной проекции Е в Q .

Оператор S обязательно неотрицателен (т.е. все собственные значения неотрицательны) и имеет след 1. Такой оператор часто называют оператором плотности .

Физики обычно рассматривают оператор плотности как представленный (возможно, бесконечной) матрицей плотности относительно некоторого ортонормированного базиса.

Для получения дополнительной информации о статистике квантовых систем см. Квантовую статистическую механику .

Автоморфизмы [ править ]

Автоморфизм из Q представляет собой взаимно однозначное отображение α: Q → Q , который сохраняет orthocomplemented структуру Q , то есть

${\displaystyle \alpha \!\left(\sum _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (E_{i})}$

для любой последовательности { E _i } _i попарно ортогональных самосопряженных проекций. Отметим, что это свойство влечет монотонность α. Если P представляет собой квантовая вероятностная мера на Q , то Е → α ( Е ) также является квантовым вероятностной мерой на Q . По теореме Глисона, характеризующей квантовые вероятностные меры, процитированные выше, любой автоморфизм α индуцирует отображение α * на операторах плотности по следующей формуле:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\alpha ^{*}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha (E)).}$

Отображение а * биективно и сохраняет выпуклые комбинации операторов плотности. Это означает

${\displaystyle \alpha ^{*}(r_{1}S_{1}+r_{2}S_{2})=r_{1}\alpha ^{*}(S_{1})+r_{2}\alpha ^{*}(S_{2})\quad }$

всякий раз, когда 1 = r ₁ + r ₂ и r ₁ , r ₂ являются неотрицательными действительными числами. Теперь воспользуемся теоремой Ричарда В. Кадисона :

Теорема . Предположим, что β - биективное отображение операторов плотности в операторы плотности, сохраняющее выпуклость. Тогда существует оператор U в гильбертовом пространстве, который является либо линейным, либо сопряженно-линейным, сохраняет скалярное произведение и такой, что

${\displaystyle \beta (S)=USU^{*}}$

для каждого оператора плотности S . В первом случае мы говорим U унитарным, во втором случае U антиунитарным. ^{[ требуется разъяснение ]}

Замечание . Это примечание включено только для технической точности и не должно волновать большинство читателей. Приведенный выше результат прямо не сформулирован в статье Кадисона, но может быть сведен к нему, если сначала отметить, что β продолжается до положительного сохраняющего след отображение на операторах класса следов, затем применить двойственность и, наконец, применить результат из статьи Кадисона.

Оператор U не совсем уникален; если r - комплексный скаляр модуля 1, то r U будет унитарным или антиунитарным, если U является и будет реализовывать тот же автоморфизм. Фактически, это единственная возможная двусмысленность.

Отсюда следует, что автоморфизмы Q находятся в биективном соответствии с унитарными или антиунитарными операторами по модулю умножения на скаляры по модулю 1. Более того, мы можем рассматривать автоморфизмы двумя эквивалентными способами: как действующие на состояния (представленные как операторы плотности) или как действующие на Вопрос .

Нерелятивистская динамика [ править ]

В нерелятивистских физических системах нет двусмысленности в отношении эволюции во времени, поскольку существует глобальный параметр времени. Более того, изолированная квантовая система развивается детерминированным образом: если система находится в состоянии S в момент времени t, то в момент времени s  >  t система находится в состоянии F _{s , t} ( S ). Кроме того, мы предполагаем

• Зависимость обратима: операторы F _{s , t} биективны.
• Зависимость однородная: F _{s , t} = F _{s  -  t , 0} .
• Зависимость сохраняет выпуклость: то есть каждое F _{s , t} ( S ) сохраняет выпуклость.
• Зависимость слабо непрерывна: отображение R → R задается т → Tr (F _{сек , т} ( S ) Е ) непрерывно для каждого Е в Q .

По теореме Кадисона существует 1-параметрическое семейство унитарных или антиунитарных операторов { U _t } _t такое, что

${\displaystyle \operatorname {F} _{s,t}(S)=U_{s-t}SU_{s-t}^{*}}$

Фактически,

Теорема . При сделанных выше предположениях существует сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов { U _t } _t такая, что выполняется указанное выше уравнение.

Отметим, что из единственности теоремы Кадисона легко следует, что

${\displaystyle U_{t+s}=\sigma (t,s)U_{t}U_{s}}$

где σ (t, s) имеет модуль 1. Теперь квадрат антиунитарной единицы унитарен, так что все U _t унитарны. Дальнейшие рассуждения показывают, что σ (t, s) можно выбрать равным 1 (путем модификации каждого U _t скаляром модуля 1.)

Чистые состояния [ править ]

Выпуклая комбинация статистических состояний S ₁ и S ₂ представляет собой состояние формы S = p ₁ S ₁ + p ₂ S _2, где p ₁ , p ₂ неотрицательны и p ₁ + p ₂ = 1. Учитывая статистическое состояние системы, заданное лабораторными условиями, использованными для ее приготовления, выпуклую комбинацию S можно рассматривать как состояние, сформированное следующим образом: подбросить смещенную монету с вероятностями исхода p ₁ , p₂ и в зависимости от результата выбрать систему, подготовленную к S ₁ или S ₂

Операторы плотности образуют выпуклое множество. Выпуклое множество операторов плотности имеет крайние точки ; это операторы плотности, заданные проекцией на одномерное пространство. Чтобы увидеть, что любая крайняя точка является такой проекцией, заметим, что по спектральной теореме S может быть представлена ​​диагональной матрицей; так как S неотрицательна, все элементы неотрицательны и поскольку S имеет след 1, диагональные элементы должны складываться до 1. Теперь, если случается, что диагональная матрица имеет более одного ненулевого элемента, ясно, что мы можно выразить его как выпуклую комбинацию других операторов плотности.

Крайние точки множества операторов плотности называются чистыми состояниями . Если S - проекция на 1-мерное пространство, порожденное вектором ψ нормы 1, то

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SE)=\langle E\psi |\psi \rangle }$

для любых Е в Q . На физическом жаргоне, если

${\displaystyle S=|\psi \rangle \langle \psi |,}$

где ψ имеет норму 1, то

${\displaystyle \operatorname {Tr} (SE)=\langle \psi |E|\psi \rangle .}$

Таким образом , чистые состояния могут быть идентифицированы с лучами в гильбертовом пространстве H .

Процесс измерения [ править ]

Рассмотрим квантовую механическую систему с решетки Q , которая находится в некотором статистическом состоянии , заданной оператором плотности S . По сути, это означает ансамбль систем, определенных повторяющимся процессом лабораторной подготовки. Результат кластера измерений предназначено для определения значения истинности предложений Е , так же , как и в классическом случае, распределение вероятностей истинности значений Т и Р . Скажем вероятности р для Т и ц = 1 -  р для  F . Согласно предыдущему разделу p = Tr ( S  E ) иq = Tr ( S  ( I  -  E )).

Возможно, самое фундаментальное различие между классическими и квантовыми системами заключается в следующем: независимо от того, какой процесс используется для определения E сразу после измерения, система будет находиться в одном из двух статистических состояний:

• Если результат измерения T

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {Tr} (ES)}}ESE.}$

• Если результат измерения F

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {Tr} ((I-E)S)}}(I-E)S(I-E).}$

(Мы предоставляем читателю рассмотрение вырожденных случаев, когда знаменатели могут быть равны 0.) Теперь мы сформируем выпуклую комбинацию этих двух ансамблей, используя относительные частоты p и q . Таким образом, мы получаем результат, что процесс измерения, примененный к статистическому ансамблю в состоянии S, дает другой ансамбль в статистическом состоянии:

${\displaystyle \operatorname {M} _{E}(S)=ESE+(I-E)S(I-E).}$

Мы видим, что чистый ансамбль после измерения становится смешанным. Измерение, как описано выше, является частным случаем квантовых операций .

Ограничения [ править ]

Квантовая логика, производная от логики высказываний, обеспечивает удовлетворительную основу для теории обратимых квантовых процессов. Примерами таких процессов являются преобразования ковариации, относящиеся к двум системам отсчета, такие как изменение параметра времени или преобразования специальной теории относительности. Квантовая логика также обеспечивает удовлетворительное понимание матриц плотности. Квантовая логика может быть расширена для объяснения некоторых видов измерительных процессов, соответствующих ответам на вопросы типа «да-нет» о состоянии квантовой системы. Однако для более общих видов операций измерения (то есть квантовых операций) необходима более полная теория процессов фильтрации. Такая теория квантовой фильтрации была разработана в конце 1970-х и 1980-х годах Белавкиным ^[13].[14] (см. Также Бутен и др. ^[15] ). Подобный подход обеспечиваетсяформализмом последовательной истории . С другой стороны, квантовая логика, производная от многозначной логики, расширяет диапазон ее применимости к необратимым квантовым процессам или «открытым» квантовым системам.

В любом случае эти формализмы квантовой логики должны быть обобщены, чтобы иметь дело с супергеометрией (которая необходима для работы с ферми-полями) и некоммутативной геометрией (которая необходима в теории струн и теории квантовой гравитации). Обе эти теории используют частичную алгебру с «интегралом» или «следом». Элементы частичной алгебры не наблюдаемы; вместо этого «след» дает «функции зеленого цвета», которые генерируют амплитуды рассеяния. Таким образом, получается локальная теория S-матрицы (см. Д. Эдвардс).

В 2004 году Пракаш Панангаден описал, как уловить кинематику квантовой каузальной эволюции с помощью System BV, логики глубокого вывода, первоначально разработанной для использования в теории структурных доказательств . ^[16] Алессио Гульельми , Лутц Штрасбургер и Ричард Блюте также проделали работу в этой области. ^[17]

См. Также [ править ]

• Линейная логика
• Математическая формулировка квантовой механики
• Многозначная логика
• Векторная логика
• Теория квази-множеств
• Формализм HPO (подход к временной квантовой логике)
• Квантовая теория поля
• Теорема солера
• Квантовый байесовство
• Квантовое познание
• Квантовая вероятность

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• С. Ауян, Как возможна квантовая теория поля? , Oxford University Press, 1995.
• Ф. Байен, М. Флато, К. Фронсдал, А. Лихнерович и Д. Штернхаймер, Теория деформации и квантование I, II , Ann. Phys. (NY), 111 (1978) стр. 61–110, 111–151.
• Биркгоф Г., Фон Нейман Дж . Логика квантовой механики , Annals of Mathematics, Vol. 37, стр. 823–843, 1936.
• Д. Коэн, Введение в гильбертово пространство и квантовую логику , Springer-Verlag, 1989. Это подробное, но элементарное и хорошо иллюстрированное введение, подходящее для продвинутых студентов.
• ML Далла Кьяра . Р. Джунтини, Г. Серджоли, "Вероятность в квантовых вычислениях и в квантовой вычислительной логике". Математические структуры в компьютерных науках, ISSN 0960-1295 , том 24, выпуск 3, Cambridge University Press (2014). 
• Дэвид Эдвардс, Математические основы квантовой механики , Synthese, том 42, номер 1 / сентябрь 1979 г., стр. 1–70.
• Д. Эдвардс, Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия, Часть I: Теории поля на решетке , International J. of Theor. Phys., Vol. 20, № 7 (1981).
• Д. Финкельштейн , Материя, пространство и логика , Бостонские исследования в области философии науки Vol. V, 1969 г.
• А. Глисон , Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства , Журнал математики и механики, 1957.
• Р. Кадисон , Изометрия операторных алгебр , Annals математики, Vol. 54, с. 325–338, 1951.
• Людвиг Г., Основы квантовой механики , Springer-Verlag, 1983.
• Дж. Макки , Математические основы квантовой механики , У. А. Бенджамин, 1963 (перепечатка в мягкой обложке, изданная Dover 2004).
• Дж. Фон Нейман, Математические основы квантовой механики , Princeton University Press, 1955. Перепечатано в мягкой обложке.
• Р. Омнес, « Понимание квантовой механики» , Princeton University Press, 1999. Чрезвычайно ясное обсуждение некоторых логических и философских вопросов квантовой механики с пристальным вниманием к истории предмета. Также обсуждает последовательные истории.
• Н. Папаниколау, Формальные рассуждения о квантовых системах: обзор , ACM SIGACT News, 36 (3), стр. 51–66, 2005.
• К. Пирон , Основы квантовой физики , Бенджамин В.А., 1976.
• Х. Патнэм , логика эмпирическая? , Бостонские исследования в области философии науки Vol. V, 1969 г.
• Х. Вейль, Теория групп и квантовая механика , Dover Publications, 1950.

Внешние ссылки [ править ]

Поищите квантовую логику в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Квантовая логика в nLab
• Вилс, Александр. «Квантовая логика и теория вероятностей» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• «Квантовая логика в историко-философской перспективе» . Интернет-энциклопедия философии .
• Исследователь квантовой логики в Metamath