Йорданова алгебра

В абстрактной алгебре , йорданова алгебра является неассоциативной алгеброй над полем которой умножение удовлетворяет следующие аксиомы:

1. ${\ displaystyle xy = yx}$( коммутативный закон)
2. ${\ Displaystyle (ху) (хх) = х (у (хх))}$ (Тождество Иордании).

Произведение двух элементов x и y в йордановой алгебре также обозначается x ∘ y , в частности, чтобы избежать путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры .

Из аксиом следует ^[1], что йорданова алгебра ассоциативна по степеням, что означает, что это не зависит от того, как мы заключили это выражение в скобки. Из них также следует ^[2], что для всех натуральных чисел m и n . Таким образом, мы можем эквивалентно определить йорданову алгебру как коммутативную ассоциативную по степеням алгебру, такую, что для любого элемента операции умножения на степени коммутируют.${\ Displaystyle х ^ {п} = х \ cdots х}$${\ displaystyle x ^ {m} (x ^ {n} y) = x ^ {n} (x ^ {m} y)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х ^ {п}}$

Йордановы алгебры были впервые введены Паскуалем Джорданом  ( 1933 ) для формализации понятия алгебры наблюдаемых в квантовой механике . Первоначально они назывались «r-числовыми системами», но были переименованы в «йордановы алгебры» Абрахамом Адрианом Альбертом  ( 1946 ), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

Специальные йордановы алгебры [ править ]

Учитывая ассоциативную алгебру A (не характеристики 2), можно построить йорданову алгебру A ^+, используя то же самое основное векторное пространство сложения. Сначала заметим, что ассоциативная алгебра является йордановой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Если он не коммутативен, мы можем определить новое умножение на A, чтобы сделать его коммутативным и фактически сделать его йордановой алгеброй. Новое умножение x ∘ y - это произведение Жордана :

${\ displaystyle x \ circ y = {\ frac {xy + yx} {2}}.}$

Это определяет йордановую алгебру A ⁺ , и мы называем эти йордановы алгебры, а также любые подалгебры этих йордановых алгебр специальными йордановыми алгебрами . Все остальные йордановы алгебры называются исключительными йордановыми алгебрами . Теорема Ширшова – Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной. ^{[3] В} связи с этим теорема Макдональда утверждает, что любой многочлен от трех переменных, который имеет степень один по одной из переменных и который равен нулю в каждой специальной йордановой алгебре, обращается в нуль в каждой йордановой алгебре. ^[4]

Эрмитовы йордановы алгебры [ править ]

Если ( A , σ ) ассоциативная алгебра с инволюцией σ , то из σ ( x ) = x и σ ( y ) = y следует, что

${\ Displaystyle \ sigma (ху + ух) = ху + ух.}$

Таким образом, множество всех элементов, зафиксированных инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образуют подалгебру в A ^+, которую иногда обозначают H ( A , σ ).

Примеры [ править ]

1. Множество самосопряженных вещественных, комплексных или кватернионных матриц с умножением

${\ Displaystyle (ху + ух) / 2}$

образуют специальную йорданову алгебру.

2. Набор самосопряженных матриц 3 × 3 над октонионами , снова с умножением

${\ Displaystyle (ху + ух) / 2,}$

является 27-мерной исключительной йордановой алгеброй (она исключительна, потому что октонионы не ассоциативны). Это был первый пример алгебры Альберта . Его группа автоморфизмов - это исключительная группа Ли F₄ . Поскольку над комплексными числами это единственная простая исключительная йорданова алгебра с точностью до изоморфизма ^[5], ее часто называют «исключительной йордановой алгеброй». Над действительными числами существует три класса изоморфизма простых исключительных йордановых алгебр. ^[5]

Выводы и структурная алгебра [ править ]

Вывод йордановой алгебры А является эндоморфизмом D из A такой , что Д ( х ) = Д ( х ) у + XD ( у ). Выводы образуют алгебру Ли der ( A ). Тождество Жордана означает, что если x и y являются элементами A , то эндоморфизм, переводящий z в x ( yz ) - y ( xz ), является производным. Таким образом, прямая суммаИ дер ( ) может быть превращено в алгебре Ли, называется структура алгебры из А , ул ( A ).

Простой пример - эрмитовы йордановы алгебры H ( A , σ ). В этом случае любой элемент x из A с σ ( x ) = - x определяет дифференцирование. Во многих важных примерах, структура алгебра Н ( А , сг ) является .

Выводные и структурные алгебры также являются частью конструкции Титсом магического квадрата Фрейденталя .

Формально вещественные йордановы алгебры [ править ]

Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально реальной, если она удовлетворяет тому свойству, что сумма n квадратов может исчезнуть только в том случае, если каждый из них обращается в нуль индивидуально. В 1932 году Джордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, заявив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально реальной алгеброй, которая является коммутативной ( xy = yx ) и ассоциативной по степеням (закон ассоциации выполняется для произведений, содержащих только x , поэтому что мощности любого элемента x определены однозначно). Он доказал, что любая такая алгебра является йордановой алгеброй.

Не всякая йорданова алгебра формально реальна, но Йордан, фон Нейман и Вигнер (1934) классифицировали конечномерные формально вещественные йордановы алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами . Всякая формально вещественная йорданова алгебра может быть записана как прямая сумма так называемых простых алгебр , которые нетривиальным образом сами по себе не являются прямыми суммами. В конечных размерностях простые формально вещественные йордановы алгебры делятся на четыре бесконечных семейства вместе с одним исключительным случаем:

• Йорданова алгебра самосопряженных вещественных матриц размера n × n , как указано выше.
• Йорданова алгебра самосопряженных комплексных матриц размера n × n , как указано выше.
• Йорданова алгебра самосопряженных кватернионных матриц размера n × n . как указано выше.
• Йорданова алгебра, свободно порожденная R ⁿ с соотношениями

  ${\ displaystyle x ^ {2} = \ langle x, x \ rangle}$

где правая часть определяется с помощью обычного скалярного произведения на R ⁿ . Иногда это называют спин-фактором или йордановой алгеброй типа Клиффорда .

• Йорданова алгебра самосопряженных октонионных матриц 3 × 3, как и выше (исключительная йорданова алгебра, называемая алгеброй Альберта ).

Из этих возможностей пока кажется, что природа использует только комплексные матрицы n × n в качестве алгебр наблюдаемых. Однако спиновые факторы играют роль в специальной теории относительности, и все формально вещественные йордановы алгебры связаны с проективной геометрией .

Разложение Пирса [ править ]

Если e - идемпотент в йордановой алгебре A ( e ²  =  e ) и R - операция умножения на e , то

• R (2 R  - 1) ( R  - 1) = 0

поэтому единственными собственными значениями R являются 0, 1/2, 1. Если йорданова алгебра A конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой подпространств A  =  A ₀ ( e ) ⊕  A _1/2 ( e ) ⊕  A ₁ ( e ) из трех собственных подпространств. Это разложение было впервые рассмотрено Джорданом, фон Нейманом и Вигнером (1934) для вполне вещественных йордановых алгебр. Позже она была изучена в полной общности Альберта (1947) и называется разложение Пирса из Aотносительно идемпотента  e . ^[6]

Обобщения [ править ]

Бесконечномерные йордановы алгебры [ править ]

В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и первичные невырожденные) йордановы алгебры. Они либо эрмитовского, либо клиффордского типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Альберта размерности 27.

Алгебры йордановых операторов [ править ]

Теория операторных алгебр была распространена на йордановы операторные алгебры .

Аналогами C * алгебр являются алгебры JB, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами . Норма на вещественной йордановой алгебре должна быть полной и удовлетворять аксиомам:

${\ displaystyle \ displaystyle {\ | a \ circ b \ | \ leq \ | a \ | \ cdot \ | b \ |, \, \, \, \ | a ^ {2} \ | = \ | a \ | ^ {2}, \, \, \, \ | a ^ {2} \ | \ leq \ | a ^ {2} + b ^ {2} \ |.}}$

Эти аксиомы гарантируют, что йорданова алгебра формально реальна, поэтому, если сумма квадратов членов равна нулю, эти члены должны быть равны нулю. Комплексификации алгебр JB называются йордановыми алгебрами C * или алгебрами JB *. Они широко использовались в сложной геометрии для расширения йордановой алгебраической трактовки Кохера ограниченных симметрических областей до бесконечных измерений. Не все алгебры JB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, как в конечномерном пространстве. Исключительная алгебра Альберта - обычное препятствие.

Аналог йордановой алгебры алгебр фон Неймана играют алгебры JBW. Оказывается, это алгебры JB, которые, как и банаховы пространства, являются пространствами, сопряженными к банаховым пространствам. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на алгебры JBW. В частности, факторы JBW - с центром, приведенным к R - полностью понимаются в терминах алгебр фон Неймана. Помимо исключительной алгебры Альберта , все факторы JWB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутые в слабой операторной топологии . Из них спиновые факторы могут быть очень просто построены из реальных гильбертовых пространств. Все остальные факторы JWB являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана.или ее подалгебра неподвижных точек при 2 * -антиаутоморфизме фактора фон Неймана. ^[7]

Джордан кольца [ править ]

Жордановое кольцо - это обобщение йордановых алгебр, требующее только, чтобы жордановое кольцо находилось над общим кольцом, а не над полем. В качестве альтернативы можно определить жордановое кольцо как коммутативное неассоциативное кольцо, которое соблюдает тождество Жордана.

Иордановы супералгебры [ править ]

Иорданские супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским; это -градуированные алгебры, где - йорданова алгебра и имеет «лиевидное» произведение со значениями в . ^[8]${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle J_ {0} \ oplus J_ {1}}$${\ displaystyle J_ {0}}$${\ displaystyle J_ {1}}$${\ displaystyle J_ {0}}$

Любая -градуированная ассоциативная алгебра становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$${\ displaystyle A_ {0} \ oplus A_ {1}}$

${\ displaystyle \ {x_ {i}, y_ {j} \} = x_ {i} y_ {j} + (- 1) ^ {ij} y_ {j} x_ {i} \.}$

Йордановы простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Кацем (1977) . Они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности и .${\ displaystyle K_ {3}}$${\ displaystyle K_ {10}}$

J-структуры [ править ]

Концепция J-структуры была введена Спрингером (1973) для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, взявших инверсию Йордана в качестве базовой операции и тождество Хуа в качестве основного отношения. По характеристике, отличной от 2, теория J-структур по существу такая же, как и у йордановых алгебр. harvtxt error: no target: CITEREFSpringer1973 (help)

Квадратичные йордановы алгебры [ править ]

Квадратичные йордановы алгебры являются обобщением (линейных) йордановых алгебр, введенных Кевином МакКриммоном ( 1966 ). Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Имеется единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящих от характеристики: в характеристике, не равной 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

См. Также [ править ]

• Алгебра Фрейденталя
• Тройная система Иордана
• Иорданская пара
• Конструкция Кантора – Кохера – Титса.
• Сорт Скорца

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Альберт, А. Адриан (1946), "О Жордана алгебры линейных преобразований", Труды Американского математического общества , 59 (3): 524-555, дой : 10,1090 / S0002-9947-1946-0016759-3 , ISSN  0002 -9947 , JSTOR  1990270 , Руководство по ремонту  0016759
• Альберт, А. Адриан (1947), "Теория структуры для йордановых алгебр", Анналы математики , второй серии 48 (3): 546-567, DOI : 10,2307 / 1969128 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1969128 , MR  0021546
• Джон К. Баэз , Октонионы , Раздел 3: Проективная октонионная геометрия, Бюлл. Амер. Математика. Soc. 39 (2002), 145-205 . Онлайн-версия HTML .
• Faraut, J .; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0198534779
• Hanche-Olsen, H .; Стёрмер, Э. (1984), Йордановы операторные алгебры , Монографии и исследования по математике, 21 , Pitman, ISBN 0273086197
• Джейкобсон, Натан (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. XXXIX, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR  0251099
• Jordan, Pascual (1933), "Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik", Nachr. Акад. Wiss. Гёттинген. Математика. Phys. Kl. I , 41 : 209–217
• Jordan, P .; фон Нейман, J .; Вигнера, Е. (1934), "Об алгебраической обобщения квантово - механического формализма", Анналы математики , 35 (1): 29-64, DOI : 10,2307 / 1968117 , JSTOR  1968117
• Каца, Victor G (1977), "Классификация простых Z-градуированных супералгебр Ли и простых йордановых супералгебр", Связь в алгебре , 5 (13): 1375-1400, DOI : 10,1080 / 00927877708822224 , ISSN  0092-7872 , MR  0498755
• МакКриммон, Кевин (1966), "Общая теория жордановых колец", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 56 : 1072-1079, DOI : 10.1073 / pnas.56.4.1072 , JSTOR  57792 , МР  0202783 , КУП  220000 , PMID  16591377 , Zbl  +0139,25502
• Маккриммон, Kevin (2004), Вкус Иордания алгебр , Universitext, Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , да : 10,1007 / b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9, MR  2014924 , Zbl  1044.17001 , Errata
• Ичиро Сатаке, Алгебраические структуры симметричных областей , Издательство Принстонского университета, 1980, ISBN 978-0-691-08271-4 . Рассмотрение 
• Шафер, Ричард Д. (1996), Введение в неассоциативные алгебры , Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl  0145.25601
• Жевлаков, К.А.; Слинько AM; Шестаков, ИП; Ширшов А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN 0-12-779850-1. Руководство по ремонту  0518614 . Zbl  0487.17001 .
• Слинько, AM (2001) [1994], "Йорданова алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Спрингер, Тонни А. (1998) [1973], Йордановы алгебры и алгебраические группы , Классика в математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-61970-0 , ISBN 978-3-540-63632-8, Руководство по ремонту  1490836 , Zbl  1024.17018
• Спрингер, Тонни А .; Велдкамп, Фердинанд Д. (2000) [1963], Octonions, йордановы алгебры и исключительные группы , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-12622-6 , ISBN 978-3-540-66337-9, Руководство по ремонту  1763974
• Апмайер, Х. (1985), Симметричные банаховы многообразия и йордановы C ∗ -алгебры , North-Holland Mathematics Studies, 104 , ISBN 0444876510
• Апмайер, Х. (1987), Йордановы алгебры в анализе, теории операторов и квантовой механике , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 67 , American Mathematical Society, ISBN 082180717X

Дальнейшее чтение [ править ]

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Colloquium Publications, 44 , с предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl  0955,16001

Внешние ссылки [ править ]

• Йорданова алгебра в PlanetMath
• Жорданов-банахова и жорданова-ли алгебры в PlanetMath