Объем н- шарика

Графики объемов  ( V ) и площадей  ( S ) n -шаров радиуса 1. В файле SVG наведите указатель мыши на точку, чтобы выделить ее и ее значение.

В геометрии , А шар представляет собой область в пространстве , включающее все точки в пределах фиксированного расстояния от заданной точки; то есть это область, окруженная сферой или гиперсферой . П -шар шар в п - мерном евклидовом пространстве . Объем блока п -шаром является важным выражением , которое происходит в формулах по всей математике; он обобщает понятие объема, заключенного в сфере в трехмерном пространстве.

Формулы [ править ]

Том [ править ]

П - мерный объем евклидова шара радиуса R в п - мерном евклидовом пространстве: ^[1]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n},}$

где Γ является Leonhard Euler «s гамма - функция . Гамма-функция расширяет факториальную функцию до нецелочисленных аргументов. Он удовлетворяет Γ ( n ) = ( n - 1)! если n - натуральное число и Γ ( n +1/2) = ( п -1/2) · ( П -3/2) ·… · 1/2· Π ^1/2, если n - целое неотрицательное число.

Альтернативные формы [ править ]

Использование явных формул для конкретных значений гамма-функции в целых и полуцелых числах дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют оценки гамма-функции. Вместо этого они могут быть выражены в терминах двойного факториала , который определяется как 0 !! : = 1 и п > 0 ,

${\displaystyle n!!:=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots (2-(n\operatorname {mod} 2))}$

где последний множитель равен 2, если n четное, и 1, если n нечетное. Таким образом, для нечетного целого числа 2 k + 1 это становится ${\displaystyle 2-(n\operatorname {mod} 2)}$

(2 к + 1) !! = 1 · 3 · 5 · · (2 k - 1) · (2 k + 1) .

Формула объема может быть выражена как:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},\\V_{2k+1}(R)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}\end{aligned}}}$

которые можно объединить в одну формулу:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {(2\pi )^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }R^{n}}{n!!}}\cdot (1+(n\operatorname {mod} 2))={\frac {(\pi /2)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{n!!}}(2R)^{n}}$

Вместо того чтобы выражать объем V шара через его радиус R , формулу можно перевернуть, чтобы выразить радиус как функцию объема:

${\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)^{\frac {1}{n}}}{\sqrt {\pi }}}V^{\frac {1}{n}}.}$

Эту формулу также можно разделить на четные и нечетные случаи, используя факториалы и двойные факториалы вместо гамма-функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{2k}(V)&={\frac {(k!V)^{\frac {1}{2k}}}{\sqrt {\pi }}},\\R_{2k+1}(V)&=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k}}}\right)^{\frac {1}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

Рекурсии [ править ]

Объем удовлетворяет нескольким рекурсивным формулам. Эти формулы могут быть доказаны напрямую или как следствия общей формулы объема, приведенной выше. Проще всего сформулировать формулу для объема n- шара через объем ( n - 2) -шара того же радиуса:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R).}$

Также существует формула для объема n- шара через объем ( n - 1) -шара того же радиуса:

${\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}V_{n-1}(R).}$

Использование явных формул для гамма-функции снова показывает, что формула одномерной рекурсии также может быть записана как:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}}V_{2k-1}(R),\\[10px]V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_{2k}(R).\end{aligned}}}$

Радиус n- шара объема V может быть рекурсивно выражен через радиус ( n - 1) -шара или ( n - 2) -шара. Эти формулы могут быть получены из явной формулы для R _n ( V ), приведенной выше.

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(V)&={\frac {\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{1/n}}{\Gamma ({\frac {n-1}{2}}+1)^{1/(n-1)}}}V^{-1/(n(n-1))}R_{n-1}(V),\\R_{n}(V)&=\left({\frac {n}{2}}\right)^{1/n}\left(V\cdot \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\right)^{-2/(n(n-2))}R_{n-2}(V).\end{aligned}}}$

Использование явных формул для гамма-функции показывает, что формула одномерной рекурсии эквивалентна

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{2k}(V)&={\frac {(2^{k}k!)^{1/(2k)}}{(2k-1)!!^{1/(2k-1)}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/(4k-2)}V^{-1/(2k(2k-1))}R_{2k-1}(V)\\&={\frac {{\big (}(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2{\big )}^{1/(2k)}}{{\big (}(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1{\big )}^{1/(2k-1)}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/(4k-2)}V^{-1/(2k(2k-1))}R_{2k-1}(V),\\R_{2k+1}(V)&={\frac {(2k+1)!!^{1/(2k+1)}}{(2^{k}k!)^{1/(2k)}}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{1/(4k+2)}V^{-1/((2k+1)2k)}R_{2k}(V)\\&={\frac {{\big (}(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1{\big )}^{1/(2k+1)}}{{\big (}(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2{\big )}^{1/(2k)}}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{1/(4k+2)}V^{-1/((2k+1)2k)}R_{2k}(V),\\\end{aligned}}}$

и что формула двумерной рекурсии эквивалентна

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{2k}(V)&=k^{1/(2k)}(V\cdot (k-1)!)^{-1/(2(k-1)k)}R_{2k-2}(V)\\&=k^{1/(2k)}(V\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1)^{-1/(2(k-1)k)}R_{2k-2}(V),\\R_{2k+1}(V)&=(2k+1)^{1/(2k+1)}\left(V\cdot (2k-1)!!{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\right)^{-2/(4k^{2}-1)}R_{2k-1}(V)\\&=(2k+1)^{1/(2k+1)}\left(V\cdot (2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\right)^{-2/(4k^{2}-1)}R_{2k-1}(V).\end{aligned}}}$

Определение рекуррентного отношения

${\displaystyle f_{n}\doteq 2f_{n-2}/n}$

где и можно выразить объемы и поверхности -шаров как${\displaystyle f_{0}\doteq 1}$${\displaystyle f_{1}\doteq 2}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle V_{n}(R)=\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }f_{n}R^{n}}$

${\displaystyle S_{n}(R)=n\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }f_{n}R^{n-1}}$

${\displaystyle n=5}$это последний нечетный где .${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{n}>f_{n-1}}$

Низкие размеры [ править ]

Для малых размеров эти формулы объема и радиуса упрощаются до следующего.

Измерение	Объем шара радиуса R	Радиус шара объемом V
0	${\displaystyle 1}$	(все 0-шары имеют объем 1)
1	${\displaystyle 2R}$	${\displaystyle {\frac {V}{2}}=0.5\times V}$
2	${\displaystyle \pi R^{2}\approx 3.142\times R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {V^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.564\times V^{\frac {1}{2}}}$
3	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}\approx 4.189\times R^{3}}$	${\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.620\times V^{\frac {1}{3}}}$
4	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}\approx 4.935\times R^{4}}$	${\displaystyle {\frac {(2V)^{\frac {1}{4}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.671\times V^{\frac {1}{4}}}$
5	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}\approx 5.264\times R^{5}}$	${\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{\frac {1}{5}}\approx 0.717\times V^{\frac {1}{5}}}$
6	${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}\approx 5.168\times R^{6}}$	${\displaystyle {\frac {(6V)^{\frac {1}{6}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.761\times V^{\frac {1}{6}}}$
7	${\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}\approx 4.725\times R^{7}}$	${\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{\frac {1}{7}}\approx 0.801\times V^{\frac {1}{7}}}$
8	${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}\approx 4.059\times R^{8}}$	${\displaystyle {\frac {(24V)^{\frac {1}{8}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.839\times V^{\frac {1}{8}}}$
9	${\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}\approx 3.299\times R^{9}}$	${\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{\frac {1}{9}}\approx 0.876\times V^{\frac {1}{9}}}$
10	${\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}\approx 2.550\times R^{10}}$	${\displaystyle {\frac {(120V)^{\frac {1}{10}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.911\times V^{\frac {1}{10}}}$
11	${\displaystyle {\frac {64\pi ^{5}}{10395}}R^{11}\approx 1.884\times R^{11}}$	${\displaystyle \left({\frac {10395V}{64\pi ^{5}}}\right)^{\frac {1}{11}}\approx 0.944\times V^{\frac {1}{11}}}$
12	${\displaystyle {\frac {\pi ^{6}}{720}}R^{12}\approx 1.335\times R^{12}}$	${\displaystyle {\frac {(720V)^{\frac {1}{12}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.976\times V^{\frac {1}{12}}}$
13	${\displaystyle {\frac {128\pi ^{6}}{135135}}R^{13}\approx 0.911\times R^{13}}$	${\displaystyle \left({\frac {135135V}{128\pi ^{6}}}\right)^{\frac {1}{13}}\approx 1.007\times V^{\frac {1}{13}}}$
14	${\displaystyle {\frac {\pi ^{7}}{5040}}R^{14}\approx 0.599\times R^{14}}$	${\displaystyle {\frac {(5040V)^{\frac {1}{14}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 1.037\times V^{\frac {1}{14}}}$
15	${\displaystyle {\frac {256\pi ^{7}}{2027025}}R^{15}\approx 0.381\times R^{15}}$	${\displaystyle \left({\frac {2027025V}{256\pi ^{7}}}\right)^{\frac {1}{15}}\approx 1.066\times V^{\frac {1}{15}}}$
п	V n ( R )	R n ( В )

Высокие размеры [ править ]

Предположим, что R зафиксировано. Тогда объем n- шара радиуса R стремится к нулю, когда n стремится к бесконечности. Это можно показать с помощью формулы двумерной рекурсии. На каждом шаге новый коэффициент, умножаемый на объем, пропорционален 1 / n , где коэффициент пропорциональности 2π R ² не зависит от n . В конце концов, n настолько велико, что новый коэффициент меньше 1. С этого момента объем n-шар должен уменьшаться хотя бы геометрически, а потому стремится к нулю. Вариант этого доказательства использует формулу одномерной рекурсии. Здесь новый коэффициент пропорционален частному гамма-функции. Неравенство Гаучи ограничивает это частное выше ^{величиной} n ^−1/2 . Аргумент, как и прежде, завершается показом, что объемы уменьшаются по крайней мере геометрически.

Более точное описание поведения объема при больших размерах можно получить с помощью приближения Стирлинга . Отсюда следует асимптотическая формула :

${\displaystyle V_{n}(R)\sim {\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}\left({\frac {2\pi e}{n}}\right)^{\frac {n}{2}}R^{n}.}$

Ошибка в этом приближении составляет 1 + O ( n ⁻¹ ) . Приближение Стирлинга фактически является заниженной оценкой гамма-функции, поэтому приведенная выше формула является верхней границей. Это дает еще одно доказательство того, что объем шара уменьшается экспоненциально: когда n достаточно велико, множитель R √ 2π e / n меньше единицы, и тогда применяется тот же аргумент, что и раньше.

Если вместо этого V фиксируется, пока n велико, то снова в приближении Стирлинга радиус n- шара объема V приблизительно равен

${\displaystyle R_{n}(V)\sim (\pi n)^{\frac {1}{2n}}{\sqrt {\frac {n}{2\pi e}}}V^{\frac {1}{n}}.}$

Это выражение является нижней границей для R _n ( V ) , и ошибка снова составляет 1 + O ( n ^-1 ) . С увеличением n R _n ( V ) растет как${\displaystyle \Theta ({\sqrt {n}}).}$

Связь с площадью [ править ]

Обозначим через A _n ( R ) площадь поверхности n -сферы радиуса R в ( n +1) -мерном евклидовом пространстве. П -сферы является границей ( п + 1) -шар радиуса R . ( П + 1) -шар является объединением концентрических сфер, и , следовательно , площадь поверхности и объем связаны:

${\displaystyle A_{n}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n+1}(R).}$

Комбинируя это с явной формулой для объема ( n + 1) -шара, получаем

${\displaystyle A_{n}(R)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}}}R^{n}.}$

Площадь поверхности также может быть выражена как:${\displaystyle A_{n}(R)}$

${\displaystyle A_{n}(R)={\frac {(2\pi )^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }R^{n}}{(n-1)!!}}\cdot (2-(n\operatorname {mod} 2))=2{\frac {(\pi /2)^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}{(n-1)!!}}(2R)^{n}}$

Поскольку объем пропорционален степени радиуса, указанное выше соотношение приводит к простому уравнению, связывающему площадь поверхности n- шара и объем ( n + 1) -шара. Применяя формулу двумерной рекурсии, она также дает уравнение, связывающее площадь поверхности n -шара и объем ( n - 1) -шара. Эти формулы вместе с объемом и площадью поверхности нульмерных шаров можно использовать как систему рекуррентных соотношений для объемов и площадей поверхности шаров:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}(R)&=1,\\A_{0}(R)&=2,\\V_{n+1}(R)&={\frac {R}{n+1}}A_{n}(R),\\A_{n+1}(R)&=(2\pi R)V_{n}(R).\end{aligned}}}$

Размер, увеличивающий объем шара фиксированного радиуса [ править ]

Предположим, что R - фиксированное положительное действительное число, и рассмотрим объем V _n ( R ) как функцию положительной целочисленной размерности n . Поскольку объем шара с фиксированным положительным радиусом стремится к нулю при n → ∞ , максимальный объем достигается при некотором значении n . Измерение , в котором это происходит , зависит от радиуса R .

Чтобы найти n, для которого происходит максимум, интерполируйте функцию на все действительные x > 0 , определив${\displaystyle n\mapsto V_{n}(R)}$

${\displaystyle V(x,R)={\frac {\pi ^{\frac {x}{2}}}{\Gamma \left({\frac {x}{2}}+1\right)}}R^{x}.}$

Когда x не является положительным целым числом, эта функция не имеет очевидной геометрической интерпретации. Однако он гладкий, поэтому для нахождения максимумов можно использовать методы исчисления.

Экстремумы V ( x , R ) при фиксированном R могут возникать только в критических точках или на границах x → 0 ⁺ и x → ∞ . Поскольку логарифм монотонно увеличивается, критические точки такие же, как и точки его логарифма. Производная по x равна${\displaystyle V(x,R)}$${\displaystyle \log V(x,R)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\big (}\log V(x,R){\big )}={\frac {\log \pi }{2}}+\log R-{\frac {1}{2}}\psi \left({\frac {x}{2}}+1\right),}$

где ψ является функцией дигамма , то логарифмическая производная от гамма - функции . Следовательно, критические точки V ( x , R ) находятся в решениях

${\displaystyle \psi \left({\frac {x}{2}}+1\right)=\log \pi +2\log R.}$

Поскольку гамма-функция является логарифмически выпуклой на положительной действительной оси, дигамма-функция там монотонно возрастает, поэтому указанное выше уравнение имеет не более одного решения. Потому что и существует по крайней мере одно положительное реальное решение. Следовательно, указанное выше уравнение имеет единственное решение. Обозначая решение через x ₀ , имеем${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0^{+}}\psi (x)=-\infty }$${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to \infty }\psi (x)=+\infty }$

${\displaystyle x_{0}=2\psi ^{-1}(\log \pi +2\log R)-2.}$

Монотонность дигамма-функции вдоль положительной вещественной оси далее означает, что V ( x , R ) увеличивается для всех x < x ₀ и уменьшается для всех x > x ₀ . Отсюда следует, что x ₀ - единственный максимизатор V ( x , R ) и что максимизатор n ↦ V _n ( R ) содержится в множестве . Если x ₀${\displaystyle \{\lfloor x_{0}\rfloor ,\lceil x_{0}\rceil \}}$является целым числом, то этот набор имеет только один элемент, и этот элемент является единственным максимизатором как V ( x , R ), так и V _n ( R ) . В противном случае набор состоит из двух элементов, и либо V _n ( R ) принимает свой уникальный максимум на одном из двух элементов в наборе, либо V _n ( R ) максимизируется на обоих этих элементах.

Более явные, хотя и менее точные оценки могут быть получены путем ограничения дигамма-функции. Для y > 1 дигамма-функция удовлетворяет: ^[2]

${\displaystyle \log \left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)<\psi (y)<\log(y+e^{-\gamma }-1),}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони . Применяя эти оценки с y =х ₀/2+ 1 дает

${\displaystyle \log \left({\tfrac {x_{0}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\right)<\psi \left({\tfrac {x_{0}}{2}}+1\right)=\log \pi +2\log R<\log \left({\tfrac {x_{0}}{2}}+e^{-\gamma }\right),}$

откуда

${\displaystyle 2\pi R^{2}-2e^{-\gamma }<x_{0}<2\pi R^{2}-1.}$

Следовательно, максимум V _n ( R ) достигается для некоторого целого n такого, что

${\displaystyle \lfloor 2\pi R^{2}-2e^{-\gamma }\rfloor \leq n\leq \lceil 2\pi R^{2}-1\rceil .}$

Чтобы найти максимум V _n ( R ) , достаточно максимизировать его по всем n в этом интервале. Потому что этот интервал содержит не более трех целых чисел, а часто только два.${\displaystyle |2e^{-\gamma }-1|<0.2}$

Например, когда R = 1 , эти границы означают, что максимальный объем достигается для некоторого n, для которого 5.08⌋ ≤ n ≤ 5.28⌉ , то есть для n = 5 или n = 6 . Изучение приведенной выше таблицы показывает, что это достигается на нижней границе в размерности n = 5 . При R = 1,1 границы равны ⌊6,48⌋ ≤ n ≤ ⌈6.60⌉ , а максимум достигается на верхней границе, то есть при n = 7 . Наконец, если , то оценки 5.90⌊ ≤ n ≤ ⌈6.02⌉${\displaystyle R=\exp(11/12-\gamma /2)/{\sqrt {\pi }}\approx 1.057}$, поэтому интервал возможных n содержит три целых числа, а максимум как V _n ( R ), так и V ( x , R ) достигается при целом числе x ₀ = 6 .

Доказательства [ править ]

Есть много доказательств приведенных выше формул.

Объем пропорционален n- й степени радиуса [ править ]

Важным шагом в нескольких доказательствах об объемах n -шаров, и, кроме того, весьма полезным фактом, является то, что объем n -шара радиуса R пропорционален R ⁿ :

${\displaystyle V_{n}(R)\propto R^{n}.}$

Константа пропорциональности - это объем единичного шара.

Это частный случай общего факта об объемах в n -мерном пространстве: если K - тело (измеримое множество) в этом пространстве, а RK - тело, полученное растяжением во всех направлениях на коэффициент R, то объем RK равен R ^п раз превышает объем K . Это прямое следствие формулы замены переменных:

${\displaystyle V(RK)=\int _{RK}dx=\int _{K}R^{n}\,dy=R^{n}V(K)}$

где dx = dx ₁ … dx _n и сделана замена x = Ry .

Другое доказательство вышеуказанного соотношения, которое позволяет избежать многомерного интегрирования, использует индукцию: базовый случай - n = 0 , где пропорциональность очевидна. Для индуктивного случая предположим, что пропорциональность верна в размерности n - 1 . Обратите внимание, что пересечение n -шара с гиперплоскостью является ( n - 1) -шаром. Когда объем n -шаров записывается как интеграл объемов ( n - 1) -шаров:

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{-R}^{R}V_{n-1}\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)\,dx,}$

с помощью индуктивного предположения можно удалить множитель R из радиуса ( n - 1) -шара, чтобы получить:

${\displaystyle V_{n}(R)=R^{n-1}\int _{-R}^{R}V_{n-1}\left({\sqrt {1-\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}}}\right)\,dx.}$

Сделав замену переменных t =Икс/р приводит к:

${\displaystyle V_{n}(R)=R^{n}\int _{-1}^{1}V_{n-1}\left({\sqrt {1-t^{2}}}\right)\,dt=R^{n}V_{n}(1),}$

который демонстрирует соотношение пропорциональности в размерности n . По индукции соотношение пропорциональности верно во всех измерениях.

Формула двумерной рекурсии [ править ]

Доказательство формулы рекурсии, связывающей объем n -шара и ( n - 2) -шара, можно дать, используя формулу пропорциональности, приведенную выше, и интегрирование в цилиндрических координатах . Зафиксируйте плоскость через центр мяча. Пусть r обозначает расстояние между точкой на плоскости и центром сферы, а θ обозначает азимут. Пересечение n- шара с ( n - 2) -мерной плоскостью, определяемой фиксированием радиуса и азимута, дает ( n - 2) -бол радиуса √ R ² - r² . Таким образом, объем шара может быть записан как повторный интеграл объемов(n- 2)-шаров по возможным радиусам и азимутам:

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}V_{n-2}\left({\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\right)\,r\,dr\,d\theta ,}$

Азимутальную координату можно сразу же интегрировать. Применение соотношения пропорциональности показывает, что объем равен:

${\displaystyle V_{n}(R)=2\pi V_{n-2}(R)\int _{0}^{R}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{\frac {n-2}{2}}\,r\,dr.}$

Интеграл можно вычислить, сделав замену u = 1 - (р/р)²
получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}(R)&=2\pi V_{n-2}(R)\cdot \left[-{\frac {R^{2}}{n}}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\right]_{r=0}^{r=R}\\&={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R),\end{aligned}}}$

которая является формулой двумерной рекурсии.

Тот же метод можно использовать для индуктивного доказательства формулы объема. Базовыми случаями индукции являются 0-шар и 1-шар, которые можно проверить непосредственно, используя факты Γ (1) = 1 и Γ (3/2знак равно 1/2 · Γ (1/2знак равно √ π/2. Индуктивный шаг аналогичен описанному выше, но вместо применения пропорциональности к объемам ( n - 2) -шаров применяется индуктивное предположение.

Формула одномерной рекурсии [ править ]

Отношение пропорциональности также можно использовать для доказательства формулы рекурсии, связывающей объемы n- шара и ( n - 1) -шара. Как и в доказательстве формулы пропорциональности, объем n -шара можно записать в виде интеграла по объемам ( n - 1) -шаров. Однако вместо замены можно применить соотношение пропорциональности к объемам ( n - 1) -шаров в подынтегральном выражении:

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\int _{-R}^{R}\left(1-\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}\,dx.}$

Подынтегральная функция является четной функцией , поэтому в силу симметрии интервал интегрирования может быть ограничен до [0, R ] . На интервале [0, R ] можно применить замену u = (Икс/р)²
. Это преобразует выражение в:

${\displaystyle V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \int _{0}^{1}(1-u)^{\frac {n-1}{2}}u^{-{\frac {1}{2}}}\,du}$

Интеграл - это значение известной специальной функции, называемой бета-функцией Β ( x, y ) , а объем в терминах бета-функции равен:

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot \mathrm {B} \left({\tfrac {n+1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Бета-функция может быть выражена через гамма-функцию почти так же, как факториалы связаны с биномиальными коэффициентами . Применение этого отношения дает:

${\displaystyle V_{n}(R)=V_{n-1}(R)\cdot R\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.}$

Используя значение Γ (1/2) = √ π дает формулу одномерной рекурсии:

${\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}V_{n-1}(R).}$

Как и в случае двумерной рекурсивной формулы, тот же метод можно использовать для индуктивного доказательства формулы объема.

Прямое интегрирование в сферических координатах [ править ]

Объем n-шара может быть вычислен путем интегрирования элемента объема в сферических координатах . Сферическая система координат имеет радиальную координату r и угловые координаты φ ₁ ,…, φ _{n - 1} , где область определения каждого φ, кроме φ _{n - 1,} равна [0, π) , а область определения φ _{n - 1} - [ 0, 2π) . Сферический объемный элемент:${\displaystyle V_{n}(R)}$

${\displaystyle dV=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1},}$

а объем - это интеграл этой величины по r между 0 и R и всеми возможными углами:

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}\int _{0}^{\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{n-1}\cdots d\varphi _{1}\,dr.}$

Каждый из множителей подынтегрального выражения зависит только от одной переменной, поэтому повторный интеграл можно записать как произведение интегралов:

${\displaystyle V_{n}(R)=\left(\int _{0}^{R}r^{n-1}\,dr\right)\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\,d\varphi _{1}\right)\cdots \left(\int _{0}^{2\pi }d\varphi _{n-1}\right).}$

Интеграл по радиусу равен R ⁿ/п. Интервалы интегрирования по угловым координатам можно симметрично изменить на [0,π/2] :

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\left(2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\,d\varphi _{1}\right)\cdots \left(4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\varphi _{n-1}\right).}$

Каждый из оставшихся интегралов теперь представляет собой конкретное значение бета-функции:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}\mathrm {B} \left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\mathrm {B} \left({\frac {n-2}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\cdots \mathrm {B} \left(1,{\frac {1}{2}}\right)\cdot 2\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).}$

Бета-функции можно переписать в терминах гамма-функций:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {R^{n}}{n}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n-2}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\cdots {\frac {\Gamma \left(1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}\cdot 2{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left(1\right)}}.}$

Этот продукт телескопы. Комбинируя это со значениями Γ (1/2) = √ π и Γ (1) = 1, а функциональное уравнение z Γ ( z ) = Γ ( z + 1) приводит к:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{n\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.}$

Гауссовские интегралы [ править ]

Формула объема может быть доказана непосредственно с помощью гауссовских интегралов . Рассмотрим функцию:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right).}$

Эта функция является как инвариантной относительно вращения, так и произведением функций одной переменной каждая. Используя тот факт, что это произведение, и формула для интеграла Гаусса дает:

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\,dV=\prod _{i=1}^{n}\left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}x_{i}^{2}\right)\,dx_{i}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}},}$

где dV - элемент n- мерного объема. Используя вращательную инвариантность, тот же самый интеграл можно вычислить в сферических координатах:

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f\,dV=\int _{0}^{\infty }\int _{S^{n-1}(r)}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,dA\,dr,}$

где S ^{n - 1} ( r ) - это ( n - 1) -сфера радиуса r, а dA - элемент площади (эквивалентно ( n - 1) -мерный элемент объема). Площадь поверхности сферы удовлетворяет уравнению пропорциональности, аналогичному уравнению для объема шара: если A _{n - 1} ( r ) - площадь поверхности ( n - 1) -сферы радиуса r , то:

${\displaystyle A_{n-1}(r)=r^{n-1}A_{n-1}(1).}$

Применение этого к вышеприведенному интегралу дает выражение:

${\displaystyle (2\pi )^{\frac {n}{2}}=\int _{0}^{\infty }\int _{S^{n-1}(r)}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,dA\,dr=A_{n-1}(1)\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,r^{n-1}\,dr.}$

Подставляя t =r ²/2:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}r^{2}\right)\,r^{n-1}\,dr=2^{(n-2)/2}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{(n-2)/2}\,dt.}$

Интеграл справа - это гамма-функция, вычисленная при п/2.

Объединение двух результатов показывает, что:

${\displaystyle A_{n-1}(1)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

Чтобы получить объем n- шара радиуса R из этой формулы, проинтегрируйте площадь поверхности сферы радиуса r для 0 ≤ r ≤ R и примените функциональное уравнение z Γ ( z ) = Γ ( z + 1) :

${\displaystyle V_{n}(R)=\int _{0}^{R}{\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,r^{n-1}\,dr={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{n\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}R^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}.}$

Геометрическое доказательство [ править ]

Соотношения и, следовательно, объемы n -шаров и площади n- сфер также могут быть получены геометрически. Как отмечалось выше, поскольку шар радиуса получается из единичного шара путем изменения масштаба во всех направлениях во времени, он пропорционален , что подразумевает . Кроме того, поскольку шар представляет собой объединение концентрических сфер, и увеличение радиуса на ε соответствует оболочке толщиной ε . Таким образом ,; эквивалентно .${\textstyle V_{n+1}(R)={\frac {R}{n+1}}A_{n}(R)}$${\displaystyle A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_{n}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V_{n}(R)}$${\displaystyle R^{n}}$${\textstyle {\frac {dV_{n}(R)}{dR}}={\frac {n}{R}}V_{n}(R)}$${\textstyle A_{n-1}(R)={\frac {dV_{n}(R)}{dR}}}$${\textstyle V_{n}(R)={\frac {R}{n}}A_{n-1}(R)}$${\textstyle V_{n+1}(R)={\frac {R}{n+1}}A_{n}(R)}$

${\displaystyle A_{n+1}(R)=(2\pi R)V_{n}(R)}$следует из существования сохраняющей объем биекции между единичной сферой и :${\displaystyle S_{n+1}}$${\displaystyle S_{1}\times B_{n}}$

${\displaystyle (x,y,{\vec {z}})\rightarrow \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\vec {z}}\right)}$

( является n -набором; мы игнорируем множества меры 0). Объем сохраняется , потому что в каждой точке, отличие от изометрии является растяжение в ху плоскости (в раз в направлении постоянной ) , что точно соответствует сжатие в направлении градиента от на (соответствующие углы равны). Для получения , аналогичный аргумент был первоначально сделан Архимедом в на сферу и цилиндр .${\displaystyle {\vec {z}}}$${\displaystyle |(x,y,{\vec {z}})|=1}$${\textstyle 1/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle |{\vec {z}}|}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{2}}$

Шары в L ^p норм [ править ]

Имеются также явные выражения для объемов шаров в нормах L p . Л ^р норма вектора х = ( х ₁ , ..., х _п ) в R ^п является:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},}$

а шар L ^p - это набор всех векторов, норма L ^p которых меньше или равна фиксированному числу, называемому радиусом шара. Случай р = 2 является стандартным евклидовым функции расстояния, но и другие значения р возникают в различных контекстах , такие как теория информации , теория кодирования , и размерная регуляризация .

Объем шара L ^p радиуса R равен:

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)={\frac {\left(2\Gamma \left({\frac {1}{p}}+1\right)R\right)^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{p}}+1\right)}}.}$

Эти объемы удовлетворяют рекуррентному соотношению, аналогичному одномерному повторению для p = 2 :

${\displaystyle V_{n}^{p}(R)=\left(2\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}+1\right)R\right){\frac {\Gamma \left({\frac {n-1}{p}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{p}}+1\right)}}V_{n-1}^{p}(R).}$

При p = 2 восстанавливается рекуррентность объема евклидова шара, поскольку 2Γ (3/2) = √ π .

Например, в случаях p = 1 ( норма такси ) и p = ∞ ( максимальная норма ) объемы составляют:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}^{1}(R)&={\frac {2^{n}}{n!}}R^{n},\\V_{n}^{\infty }(R)&=(2R)^{n}.\end{aligned}}}$

Это согласуется с элементарными расчетами объемов кросс-политопов и гиперкубов .

Связь с площадью [ править ]

Для большинства значений р , площади поверхности, , из L ^р сферы радиуса R (граница с L ^р шара радиуса R ) не может быть вычислена путем дифференцирования объема в L ^р шара относительно его радиуса. В то время как объем может быть выражен как интеграл по площадям поверхности с использованием формулы coarea, формула coarea содержит поправочный коэффициент, который учитывает, как p- норма изменяется от точки к точке. При p = 2 и p = ∞ этот множитель равен единице. Однако если p = 1${\displaystyle A_{n}^{p}(R)}$тогда поправочный коэффициент равен √ n : площадь поверхности сферы L ¹ радиуса R в R ⁿ в √ n раз больше производной объема шара L ¹ . Проще всего это можно увидеть, применив теорему о расходимости к векторному полю F (x) = x, чтобы получить

${\displaystyle nV_{n}^{1}(R)=}$${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(|x_{1}|+\cdots +|x_{n}|)\,dS}$ ${\displaystyle ={\frac {R}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \,dS}$ ${\displaystyle ={\frac {R}{\sqrt {n}}}A_{n}^{1}(R)}$.

Для других значений p константа представляет собой сложный интеграл.

Обобщения [ править ]

Формулу объема можно обобщить еще больше. Для положительных действительных чисел p ₁ ,…, p _n определите единичный ( p ₁ ,…, p _n ) шар как:

${\displaystyle B_{p_{1},\ldots ,p_{n}}=\left\{x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}:\vert x_{1}\vert ^{p_{1}}+\cdots +\vert x_{n}\vert ^{p_{n}}\leq 1\right\}.}$

Объем этого шара известен со времен Дирихле: ^[3]

${\displaystyle V(B_{p_{1},\ldots ,p_{n}})=2^{n}{\frac {\Gamma \left(1+{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \Gamma \left(1+{\frac {1}{p_{n}}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{p_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}}}\right)}}.}$

См. Также [ править ]

• n- сфера
• Упаковка сфер
• Граница Хэмминга

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вывод в гиперсферических координатах (на французском языке)
• Гиперсфера на Wolfram MathWorld
• Объем гиперсферы по математике