Частные значения гамма-функции

Гамма - функция является важной специальной функцией в математике . Его конкретные значения могут быть выражены в закрытой форме для целочисленных и полуцелых аргументов, но в целом не известны простые выражения для значений в рациональных точках. Другие дробные аргументы могут быть аппроксимированы эффективными бесконечными произведениями, бесконечными рядами и рекуррентными соотношениями.

Целые и полуцелые числа [ править ]

Для положительных целочисленных аргументов гамма-функция совпадает с факториалом . То есть,

${\ Displaystyle \ Гамма (п) = (п-1) !,}$

и поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=1,\\\Gamma (2)&=1,\\\Gamma (3)&=2,\\\Gamma (4)&=6,\\\Gamma (5)&=24,\end{aligned}}}$

и так далее. Для целых неположительных чисел гамма-функция не определена.

Для положительных полуцелых чисел значения функции задаются в точности как

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(n-2)!!}{2^{\frac {n-1}{2}}}}\,,}$

или, что эквивалентно, для неотрицательных целых значений  n :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\end{aligned}}}$

где н !! обозначает двойной факториал . Особенно,

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 1.772\,453\,850\,905\,516\,0273\,,}$	OEIS :  A002161
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 0.886\,226\,925\,452\,758\,0137\,,}$	OEIS :  A019704
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 1.329\,340\,388\,179\,137\,0205\,,}$	OEIS :  A245884
${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 3.323\,350\,970\,447\,842\,5512\,,}$	OEIS :  A245885

и с помощью формулы отражения ,

${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx -3.544\,907\,701\,811\,032\,0546\,,}$	OEIS :  A019707
${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx 2.363\,271\,801\,207\,354\,7031\,,}$	OEIS :  A245886
${\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {5}{2}}\right)\,}$	${\displaystyle =-{\tfrac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\,}$	${\displaystyle \approx -0.945\,308\,720\,482\,941\,8812\,,}$	OEIS :  A245887

Общий рациональный аргумент [ править ]

По аналогии с полуцелой формулой,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{p}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{p}}\right){\frac {{\big (}pn-(p-1){\big )}!^{(p)}}{p^{n}}}\end{aligned}}}$

где п ! ^{( p )} обозначает p- й мультифакториал числа n . Численно

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337}$ OEIS :  A073005

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119}$ OEIS :  A068466

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532}$ OEIS :  A175380

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043}$ OEIS :  A175379

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377}$ OEIS :  A220086

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047}$ OEIS :  A203142 .

Неизвестно, трансцендентны ли эти константы вообще, но Γ (1/3) и Γ (1/4) трансцендентность была показана Г.В. Чудновским . Γ (1/4) / ⁴ √ π также давно известно как трансцендентность, и Юрий Нестеренко в 1996 году доказал, что Γ (1/4) , Π и е ^π являются алгебраически независимы .

Число Γ (1/4) связана с постоянной Гаусса G соотношением

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}},}$

и Грамейн предположил, что

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}$

где δ - постоянная Массера – Грамейна OEIS :  A086058 , хотя численные результаты Melquiond et al. указывает, что это предположение неверно. ^[1]

Борвейн и Цукер обнаружили, что Γ (п/24) можно алгебраически выразить через π , K ( k (1)) , K ( k (2)) , K ( k (3)) и K ( k (6)), где K ( k ( N )) является полным эллиптическим интегралом первого рода . Это позволяет эффективно аппроксимировать гамма-функцию рациональных аргументов с высокой точностью, используя квадратично сходящиеся итерации среднего арифметического и геометрического . Для Γ (1/5) или другие знаменатели.

В частности, где AGM () - среднее арифметико-геометрическое , имеем ^[2]

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.}$

Другие формулы включают бесконечные произведения

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}$

и

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}$

где является постоянной Glaisher-Kinkelin и G является постоянной каталана .

Следующие два представления для Γ (3/4) были даны И. Мезё ^[3]

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}$

и

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}$

где ϑ ₁ и ϑ ₄ - две тэта-функции Якоби .

Продукты [ править ]

Некоторые идентификаторы продукта включают:

${\displaystyle \prod _{r=1}^{2}\Gamma \left({\tfrac {r}{3}}\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\approx 3.627\,598\,728\,468\,435\,7012}$ OEIS :  A186706

${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)={\sqrt {2\pi ^{3}}}\approx 7.874\,804\,972\,861\,209\,8721}$ OEIS :  A220610

${\displaystyle \prod _{r=1}^{4}\Gamma \left({\tfrac {r}{5}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{\sqrt {5}}}\approx 17.655\,285\,081\,493\,524\,2483}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}}\right)=4{\sqrt {\frac {\pi ^{5}}{3}}}\approx 40.399\,319\,122\,003\,790\,0785}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{6}\Gamma \left({\tfrac {r}{7}}\right)={\frac {8\pi ^{3}}{\sqrt {7}}}\approx 93.754\,168\,203\,582\,503\,7970}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{7}\Gamma \left({\tfrac {r}{8}}\right)=4{\sqrt {\pi ^{7}}}\approx 219.828\,778\,016\,957\,263\,6207}$

В целом:

${\displaystyle \prod _{r=1}^{n}\Gamma \left({\tfrac {r}{n+1}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{n+1}}}}$

Из этих продуктов можно вывести другие значения, например, из предыдущих уравнений для , и можно вывести:${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)}$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{4}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}$

Другие рациональные отношения включают

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}}+{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}$^[4]

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}$

и многие другие соотношения для Γ (п/d), где знаменатель d делит 24 или 60. ^[5]

Гамма-факторы с алгебраическими значениями должны быть «сбалансированы» в том смысле, что сумма аргументов одинакова (по модулю 1) для знаменателя и числителя.

Более сложный пример:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {11}{42}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{21}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {8\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right){\sqrt {\sin \left({\frac {\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {5\pi }{21}}\right)}}}{2^{\frac {1}{42}}3^{\frac {9}{28}}7^{\frac {1}{3}}}}}$^[6]

Воображаемые и сложные аргументы [ править ]

Гамма-функция в мнимой единице i = √ −1 дает OEIS :  A212877 , OEIS :  A212878 :

${\displaystyle \Gamma (i)=(-1+i)!\approx -0.1549-0.4980i.}$

Она также может быть дана в терминах Barnes G -функции :

${\displaystyle \Gamma (i)={\frac {G(1+i)}{G(i)}}=e^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.}$

Как ни странно, в приведенной ниже интегральной оценке фигурирует: ^[7]${\displaystyle \Gamma (i)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\{\cot(x)\}\,dx=1-{\frac {\pi }{2}}+{\frac {i}{2}}\log \left({\frac {\pi }{\sinh(\pi )\Gamma (i)^{2}}}\right).}$

Здесь обозначает дробную часть .${\displaystyle \{\cdot \}}$

Благодаря формуле отражения Эйлера и тому факту, что у нас есть выражение для квадрата модуля гамма-функции, вычисленной на мнимой оси:${\displaystyle \Gamma ({\bar {z}})={\bar {\Gamma }}(z)}$

${\displaystyle \left|\Gamma (i\kappa )\right|^{2}={\frac {\pi }{\kappa \sinh(\pi \kappa )}}}$

Таким образом, указанный выше интеграл относится к фазе .${\displaystyle \Gamma (i)}$

Гамма-функция с другими сложными аргументами возвращает

${\displaystyle \Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.498-0.155i}$

${\displaystyle \Gamma (1-i)=-i\Gamma (-i)\approx 0.498+0.155i}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995-0.763\,313\,8287\,i}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995+0.763\,313\,8287\,i}$

${\displaystyle \Gamma (5+3i)\approx 0.016\,041\,8827-9.433\,293\,2898\,i}$

${\displaystyle \Gamma (5-3i)\approx 0.016\,041\,8827+9.433\,293\,2898\,i.}$

Другие константы [ править ]

Гамма-функция имеет локальный минимум на положительной вещественной оси

${\displaystyle x_{\min }=1.461\,632\,144\,968\,362\,341\,262\ldots \,}$ OEIS :  A030169

со значением

${\displaystyle \Gamma \left(x_{\min }\right)=0.885\,603\,194\,410\,888\ldots \,}$ OEIS :  A030171 .

Интегрирование обратной гамма-функции вдоль положительной вещественной оси также дает постоянную Франсена – Робинсона .

На отрицательной действительной оси первые локальные максимумы и минимумы (нули дигамма-функции ):

См. Также [ править ]

• Формула Чоула – Сельберга

Ссылки [ править ]

• Грамейн, Ф. (1981). "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond" . Изобретать. Математика . 63 (3): 495–506. Bibcode : 1981InMat..63..495G . DOI : 10.1007 / BF01389066 .
• Borwein, JM; Цукер, Эй Джей (1992). «Быстрое вычисление гамма-функции для малых рациональных дробей с использованием полных эллиптических интегралов первого рода». Журнал численного анализа IMA . 12 (4): 519–526. DOI : 10.1093 / imanum / 12.4.519 . Руководство по ремонту  1186733 .
• X. Gourdon & P. ​​Sebah. Введение в гамма-функцию
• С. Финч. Константы гамма-функции Эйлера ^{[ мертвая ссылка ]}
• Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-функция» . MathWorld .
• Видунас, Раймундас (2005). «Выражения для значений гамма-функции». Кюсю Журнал математики . 59 (2): 267–283. arXiv : math.CA/0403510 . DOI : 10.2206 / kyushujm.59.267 .
• Видунас, Раймундас (2005). «Выражения для значений гамма-функции». Kyushu J. Math . 59 (2): 267–283. arXiv : math / 0403510 . DOI : 10.2206 / kyushujm.59.267 . Руководство по ремонту  2188592 .
• Адамчик, В.С. (2005). «Кратная гамма-функция и ее применение для вычисления рядов» (PDF) . Журнал Рамануджана . 9 (3): 271–288. arXiv : math / 0308074 . DOI : 10.1007 / s11139-005-1868-3 . Руководство по ремонту  2173489 .
• Duke, W .; Имамоглу, Ö. (2006). «Особые значения нескольких гамма-функций» (PDF) . Журнал де Теори де Номбр де Бордо . 18 (1): 113–123. DOI : 10,5802 / jtnb.536 . Руководство по ремонту  2245878 .