Постоянная Больцмана

Постоянная Больцмана ( к _В или к ) является коэффициентом пропорциональности , который связывает среднюю относительную кинетическую энергию от частиц в газе с термодинамической температурой газа. ^[2] Это происходит в определениях кельвин и газовой постоянной , так и в законе Планка из излучения черного тела и энтропии формулы Больцмана . Постоянная Больцмана имеет измерения энергии, деленной на температуру, так же, как энтропия.. Он назван в честь австрийского ученого Людвига Больцмана .

В рамках переопределения основных единиц СИ в 2019 году постоянная Больцмана является одной из семи « определяющих констант », которым были даны точные определения. Они используются в различных комбинациях для определения семи основных единиц СИ. Постоянная Больцмана определяется как точно1,380 649 × 10 ⁻²³  Дж⋅К ^{−1 [3]} .

Роли постоянной Больцмана [ править ]

Связь между законами Бойля , Шарля , Гей-Люссака , Авогадро , комбинированного и идеального газа с постоянной Больцмана k _B =р/N _A знак равно п R/N (в каждом законе свойства, обведенные кружком, являются переменными, а свойства, не обведенные кружком, считаются постоянными)

Макроскопически закон идеального газа гласит, что для идеального газа произведение давления p и объема V пропорционально произведению количества вещества n (в молях ) и абсолютной температуры T :

${\ displaystyle pV = nRT,}$

где R - молярная газовая постоянная (8,314 462 618 153 24  Дж · К ⁻¹ · моль ⁻¹ ). ^[4] Введение постоянной Больцмана как газовой постоянной на молекулу ^[5] k = R / N _A преобразует закон идеального газа в альтернативную форму:

${\ displaystyle pV = NkT,}$

где N - количество молекул газа. При п = 1 моль , N равно числу частиц в одном моле ( число Авогадро ).

Роль в равнораспределении энергии [ править ]

Для термодинамической системы с абсолютной температурой T средняя тепловая энергия, переносимая каждой микроскопической степенью свободы в системе, равна1/2kT (т.е. около2,07 × 10 ⁻²¹  Дж , или0,013  эВ , при комнатной температуре).

В классической статистической механике это среднее предсказывается точно для однородных идеальных газов . Одноатомные идеальные газы (шесть благородных газов) обладают тремя степенями свободы на атом, соответствующими трем пространственным направлениям, что означает тепловую энергию3/2кТл на атом. Это очень хорошо согласуется с экспериментальными данными. С помощью тепловой энергии можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая оказывается обратно пропорциональной квадратному корню из атомной массы . Среднеквадратичная скорость, найденная при комнатной температуре, точно отражает это в диапазоне от1370 м / с для гелия , вплоть до240 м / с для ксенона .

Кинетическая теория дает среднее давление p для идеального газа как

${\ displaystyle p = {\ frac {1} {3}} {\ frac {N} {V}} m {\ overline {v ^ {2}}}.}$

Сочетание с законом идеального газа

${\ displaystyle pV = NkT}$

показывает, что средняя поступательная кинетическая энергия равна

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}} = {\ tfrac {3} {2}} kT.}$

Учитывая, что вектор скорости поступательного движения v имеет три степени свободы (по одной для каждого измерения), получается средняя энергия на одну степень свободы, равную одной трети этой степени, т. Е.1/2кТ .

Уравнение идеального газа также строго подчиняется молекулярным газам; но форма для теплоемкости более сложна, потому что молекулы обладают дополнительными внутренними степенями свободы, а также тремя степенями свободы для движения молекулы в целом. Двухатомные газы, например, обладают в общей сложности шестью степенями простой свободы на молекулу, которые связаны с движением атомов (три поступательных, два вращательных и одна колебательная). При более низких температурах не все эти степени свободы могут полностью участвовать в теплоемкости газа из-за квантово-механических ограничений на доступность возбужденных состояний при соответствующей тепловой энергии на молекулу.

Роль в факторах Больцмана [ править ]

В более общем смысле, системы, находящиеся в равновесии при температуре T, имеют вероятность P _i занять состояние i с энергией E, взвешенной с помощью соответствующего фактора Больцмана :

${\displaystyle P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},}$

где Z - статистическая сумма . Опять же, центральное значение имеет энергетическая величина kT .

Последствия этого включают (в дополнение к результатам для идеальных газов выше) уравнение Аррениуса в химической кинетике .

Роль в статистическом определении энтропии [ править ]

В статистической механике энтропии S из изолированной системы в термодинамическом равновесии определяются как натуральный логарифм из W , число различных микроскопических состояний доступно для системы данной макроскопических ограничений (например в виде фиксированной полной энергии Е ):

${\displaystyle S=k\,\ln W.}$

Это уравнение, которое связывает микроскопические детали или микросостояния системы (через W ) с ее макроскопическим состоянием (через энтропию S ), является центральной идеей статистической механики. Такова его важность, что она начертана на надгробии Больцмана.

Константа пропорциональности k служит для приведения статистической механической энтропии к классической термодинамической энтропии Клаузиуса:

${\displaystyle \Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.}$

Вместо этого можно было бы выбрать масштабированную безразмерную энтропию в микроскопических терминах так, чтобы

${\displaystyle {S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.}$

Это более естественная форма, и эта измененная энтропия точно соответствует последующей информационной энтропии Шеннона .

Таким образом, характеристическая энергия kT - это энергия, необходимая для увеличения масштабированной энтропии на один нат .

Тепловое напряжение[ редактировать ]

В полупроводниках , то Шокли Диод уравнение -The зависимость между потоком электрического тока и электростатического потенциала поперек р-п переход -depends на характеристическое напряжение называется тепловое напряжение , обозначаемое В _Т . Тепловое напряжение зависит от абсолютной температуры T как

${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q},}$

где q - величина электрического заряда электрона со значением1,602 176 634 × 10 ^-19  C ^[6] Эквивалентно,

${\displaystyle {V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.61733034\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .}$

При комнатной температуре 300 K (27 ° C; 80 ° F) V _T составляет приблизительно25,85 мВ . ^{[7] [8]} и при стандартной температуре состояния 298,15 К (25,00 ° C; 77,00 ° F) это примерно25,69 мВ . Тепловое напряжение также важно в плазме и растворах электролитов (например, уравнение Нернста ); в обоих случаях он обеспечивает меру того, насколько на пространственное распределение электронов или ионов влияет граница, удерживаемая при фиксированном напряжении. ^{[9] [10]}

История [ править ]

Постоянная Больцмана названа в честь ее австрийского первооткрывателя 19 века Людвига Больцмана . Хотя Больцман впервые связал энтропию и вероятность в 1877 году, это отношение никогда не выражалось конкретной константой, пока Макс Планк впервые не ввел k и не дал для него более точное значение (1,346 × 10 ⁻²³  Дж / К , что примерно на 2,5% ниже сегодняшнего значения) в его выводе закона излучения черного тела в 1900–1901 гг. ^[11] До 1900 года уравнения, включающие факторы Больцмана, записывались не с использованием энергии, приходящейся на молекулу, и постоянной Больцмана, а с использованием формы газовой постоянной R и макроскопических энергий для макроскопических количеств вещества. Иконическая лаконичная форма уравнения S = k ln W на надгробии Больцмана на самом деле принадлежит Планку, а не Больцману. Планк фактически представил его в той же работе, что и его одноименный h . ^[12]

В 1920 году Планк написал в своей лекции о присуждении Нобелевской премии : ^[13]

Эту константу часто называют постоянной Больцмана, хотя, насколько мне известно, сам Больцман никогда ее не вводил - своеобразное положение дел, которое можно объяснить тем фактом, что Больцман, как видно из его периодических высказываний, никогда не думал о возможность проведения точного измерения постоянной.

Это «своеобразное положение дел» иллюстрируется ссылкой на одну из великих научных дискуссий того времени. Во второй половине девятнадцатого века существовало значительное разногласие относительно того, являются ли атомы и молекулы реальными или они были просто эвристическим инструментом для решения проблем. Не было согласия относительно того, являются ли химические молекулы, измеренные атомным весом , такими же, как физические молекулы, измеренные кинетической теорией . Лекция Планка 1920 года продолжалась: ^[13]

Ничто не может лучше проиллюстрировать позитивный и лихорадочный темп прогресса, достигнутого искусством экспериментаторов за последние двадцать лет, чем тот факт, что с того времени был открыт не только один, а большое количество методов измерения массы молекула с практически такой же точностью, что и для планеты.

В версиях СИ до переопределения основных единиц СИ в 2019 году постоянная Больцмана была измеренной величиной, а не фиксированным значением. Его точное определение также менялось на протяжении многих лет из-за переопределения кельвина (см. Кельвин § История ) и других основных единиц СИ (см. Джоуль § История ).

В 2017 году наиболее точные измерения постоянной Больцмана были получены с помощью акустической газовой термометрии, которая определяет скорость звука одноатомного газа в трехосной эллипсоидной камере с помощью микроволнового и акустического резонансов. ^{[14] [15]} Эти десятилетние усилия были предприняты с использованием разных методов в нескольких лабораториях; ^[a] это один из краеугольных камней переопределения базовых единиц СИ в 2019 году . Основываясь на этих измерениях, CODATA рекомендовал 1,380 649 × 10 ⁻²³ Дж⋅К ⁻¹ в качестве окончательного фиксированного значения постоянной Больцмана, которое будет использоваться в Международной системе единиц . ^[16]

Значение в разных единицах [ править ]

Поскольку k является коэффициентом пропорциональности между температурой и энергией, его численное значение зависит от выбора единиц для энергии и температуры. Небольшое числовое значение постоянной Больцмана в единицах СИ означает, что изменение температуры на 1 К изменяет энергию частицы лишь на небольшую величину. Изменение1  ° C определяется как изменение1 К . Характеристическая энергия kT - это термин, встречающийся во многих физических соотношениях.

Постоянная Больцмана устанавливает связь между длиной волны и температурой (деление hc / k на длину волны дает температуру), причем один микрометр связан с14 387 .777 K , а также зависимость между напряжением и температурой (умножение напряжения на k в единицах эВ / K), где один вольт относится к11 604 0,518 К . Соотношение этих двух температур,14 387 .777 К  / 11 604 0,518 K  ≈ 1,239842, это численное значение ОК в единицах eV⋅μm.

Единицы Планка [ править ]

Постоянная Больцмана обеспечивает отображение этой характерной микроскопической энергии E на макроскопический температурный масштаб T =E/k. В физических исследованиях часто встречается другое определение, когда k равняется единице, что приводит к единицам Планка или естественным единицам для температуры и энергии. В этом контексте температура эффективно измеряется в единицах энергии, и постоянная Больцмана явно не требуется. ^[17]

Тогда формула равнораспределения для энергии, связанной с каждой классической степенью свободы, принимает вид

${\displaystyle E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T\ }$

Использование натуральных единиц упрощает многие физические отношения; в этой форме определение термодинамической энтропии совпадает с формой информационной энтропии :

${\displaystyle S=-\sum P_{i}\ln P_{i}.}$

где P _i - вероятность каждого микросостояния .

Значение, выбранное для единицы температуры Планка , соответствует энергии массы Планка .

См. Также [ править ]

• CODATA 2018
• Термодинамическая бета

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Проект главы 2 для брошюры СИ после переопределения основных единиц (подготовлен Консультативным комитетом по единицам)
• Большой шаг к новому определению кельвина: ученые нашли новый способ определения постоянной Больцмана