Модель Друде

Электроны модели Друде (показаны здесь синим) постоянно подпрыгивают между более тяжелыми, неподвижными ионами кристалла (показаны красным).

Модель Друда по электрической проводимости была предложена в 1900 г. ^[1]^[2] с помощью Пола Друда для объяснения транспортных свойств электронов в материалах (особенно металлы). Модель, которая представляет собой приложение кинетической теории , предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердом теле может рассматриваться классически и очень похоже на автомат для игры в пинбол , с морем постоянно дрожащих электронов, отскакивающих и отражающихся от более тяжелых, относительно неподвижных. положительные ионы.

Двумя наиболее значительными результатами модели Друде являются электронное уравнение движения,

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {dt}} \ langle \ mathbf {p} (t) \ rangle = q \ left (\ mathbf {E} + {\ frac {\ langle \ mathbf {p} (t) \ rangle \ times \ mathbf {B}} {m}} \ right) - {\ frac {\ langle \ mathbf {p} (t) \ rangle} {\ tau}},}

и линейная зависимость между плотностью тока $J$ и электрическим полем $E$ ,

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ left ({\ frac {nq ^ {2} \ tau} {m}} \ right) \ mathbf {E}.}

Здесь $т$ есть время, ⟨ р ⟩ является средним импульсом на один электрон и $ц, п, т$ , и $τ$ соответственно заряд электрона, плотность, масса и время свободного пробега между ионными столкновениями. Последнее выражение особенно важно, потому что оно объясняет в полуколичественных терминах, почему закон Ома , одно из наиболее распространенных соотношений во всем электромагнетизме, должен выполняться. ^{[примечание 1]}^[3]^[4]

Модель была расширена в 1905 году Хендриком Антуном Лоренцем (и, следовательно, также известна как модель Друде – Лоренца ) ^{[ необходима цитата ],} чтобы показать связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов (см. Число Лоренца ), и является классическая модель. Позже она была дополнена результатами квантовой теории в 1933 году Арнольдом Зоммерфельдом и Гансом Бете , что привело к модели Друде – Зоммерфельда .

История [ править ]

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, раздел истории должен касаться в основном исторических аспектов. Следует избегать сравнения исторической, друдской и современной точек зрения. Это можно объединить с предположениями. Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Ноябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Немецкий физик Пауль Друде предложил свою модель в 1900 году, когда не было ясно, существуют ли атомы и какие атомы находятся в микроскопическом масштабе. ^[5] Первое прямое доказательство наличия атомов посредством вычисления числа Авогадро на основе микроскопической модели принадлежит Альберту Эйнштейну , первая современная модель структуры атома датируется 1904 годом, а модель Резерфорда - 1909 годом. Друде начинает с открытия электронов. в 1897 году Дж. Дж. Томсономи в качестве упрощенной модели твердых тел предполагает, что основная часть твердого тела состоит из положительно заряженных рассеивающих центров, и море электронов погружает эти рассеивающие центры, чтобы сделать все твердое тело нейтральным с точки зрения заряда. ^{[заметка 2]}

Говоря современным языком, это отражено в модели валентных электронов, где море электронов состоит только из валентных электронов ^[6], а не из полного набора электронов, имеющихся в твердом теле, а центры рассеяния представляют собой внутренние оболочки тесно связанных электроны к ядру. Центры рассеяния имели положительный заряд, эквивалентный валентному числу атомов. ^{[заметка 3]}Это сходство добавилось к некоторым ошибкам вычислений в статье Друде, и в конечном итоге предоставило разумную качественную теорию твердых тел, способную делать хорошие прогнозы в одних случаях и давать совершенно неверные результаты в других. Всякий раз, когда люди пытались придать больше содержания и подробностей природе центров рассеяния, механике рассеяния и значению длины рассеяния, все эти попытки заканчивались неудачей. ^{[примечание 4]}

Длины рассеяния, вычисленные в модели Друде, составляют от 10 до 100 межатомных расстояний, и им также нельзя было дать надлежащего микроскопического объяснения. Говоря современным языком, существуют эксперименты, в которых электроны могут перемещаться на несколько метров в твердом теле так же, как они перемещаются в свободном пространстве, и это показывает, что чисто классическая модель не может работать. ^[7]

Рассеяние Друде - это не электрон-электронное рассеяние, которое является лишь второстепенным явлением в современной теории, ни ядерное рассеяние с учетом электронов, не может быть поглощено ядрами в лучшем случае. Модель остается немного умалчивающей о микроскопических механизмах, в современных терминах это то, что теперь называется «механизмом первичного рассеяния», где лежащее в основе явление может быть разным случаем в каждом конкретном случае. ^{[примечание 5]}

Модель дает лучшие предсказания для металлов, особенно в отношении проводимости ^{[примечание 6],} и иногда ее называют теорией металлов Друде. Это связано с тем, что металлы имеют существенно лучшее приближение к модели свободных электронов , т. Е. Металлы не имеют сложной зонной структуры , электроны ведут себя по существу как свободные частицы, а в случае металлов эффективное число делокализованных электронов по существу равно то же, что и число валентности. ^{[примечание 7]}

Та же самая теория Друде, несмотря на несоответствия, которые сбивали с толку большинство физиков того времени, была основной, принятой для объяснения твердого тела до появления в 1927 году модели Друде-Зоммерфельда .

Еще несколько намеков на правильные составляющие современной теории твердых тел было дано в следующем:

Твердое тело Эйнштейн модель и модель Дебая , предполагая , что квантовое поведение обмена энергии в цельных блоках или QuantAS является важным компонент в полной теории , особенно в отношении конкретных заездов , где не удалась Друда теории.
В некоторых случаях, а именно в эффекте Холла, теория делала правильные предсказания, если вместо использования отрицательного заряда для электронов использовался положительный. Сейчас это интерпретируется как дырки (то есть квазичастицы, которые ведут себя как носители положительного заряда), но во времена Друде было довольно неясно, почему это так. ^{[примечание 8]}

Друде использовал статистику Максвелла – Больцмана для газа электронов и для вывода модели, которая была единственной доступной в то время. Заменив статистику правильной статистикой Ферми Дирака , Зоммерфельд значительно улучшил предсказания модели, хотя по-прежнему имел полуклассическую теорию, которая не могла предсказать все результаты современной квантовой теории твердого тела. ^{[примечание 9]}

В настоящее время модели Друде и Зоммерфельда по-прежнему важны для понимания качественного поведения твердых тел и для получения первого качественного понимания конкретной экспериментальной установки. ^{[примечание 10]} Это общий метод в физике твердого тела , для которого характерно постепенное увеличение сложности моделей для получения все более и более точных прогнозов. Реже использовать полномасштабную квантовую теорию поля, основанную на первых принципах, учитывая сложности из-за огромного количества частиц и взаимодействий и небольшой добавленной стоимости задействованной дополнительной математики (учитывая возрастающий выигрыш в числовой точности предсказаний). ). ^[8]

Предположения [ править ]

Друде использовал кинетическую теорию газов применительно к газу электронов, движущихся на фиксированном фоне « ионов »; это контрастирует с обычным способом применения теории газов как нейтрального разбавленного газа без фона. Плотность электронного газа предполагались

{\ displaystyle n = {\ frac {N _ {\ text {A}} Z \ rho _ {\ text {m}}} {A}},}

где Z - эффективное количество делокализованных электронов на ион, для которого Друде использовал валентное число, A - атомное массовое число , - величина концентрации вещества «ионов», а N _A - постоянная Авогадро . Учитывая средний объем, доступный на электрон в виде сферы: ${\ displaystyle \ rho _ {\ text {m}}}$

{\ displaystyle {\ frac {V} {N}} = {\ frac {1} {n}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r _ {\ rm {s}} ^ {3}. }

Величина является параметром, который описывает электронную плотность и часто составляет порядка 2 или 3 радиусов Бора , для щелочных металлов она колеблется от 3 до 6, а для некоторых соединений металлов она может доходить до 10. Плотности имеют порядка 100 раз по сравнению с типичным классическим газом. ^{[примечание 11]} $r_{\text{s}}$

Основные допущения, сделанные в модели Друде, следующие:

Друде применил кинетическую теорию разреженного газа, несмотря на высокую плотность, поэтому игнорировал электрон-электронное и электрон-ионное взаимодействия, помимо столкновений. ^{[примечание 12]}

Модель Друде считает, что металл состоит из набора положительно заряженных ионов, от которых отделились «свободные электроны». Можно подумать, что это валентные электроны атомов, которые стали делокализованными из-за электрического поля других атомов. ^{[примечание 11]}
Модель Друде не учитывает дальнодействующее взаимодействие между электроном и ионами или между электронами; это называется приближением независимых электронов. ^{[примечание 11]}
Электроны движутся по прямым линиям между одним столкновением и другим; это называется приближением свободных электронов. ^{[примечание 11]}
Единственное взаимодействие свободного электрона с его окружением рассматривалось как столкновение с непроницаемым ионным остовом. ^{[примечание 11]}
Среднее время между последующими столкновениями такого электрона равно $τ$ с распределением Пуассона без памяти . Природа партнера по столкновению электрона не имеет значения для расчетов и выводов модели Друде. ^{[примечание 11]}
После столкновения распределение скорости и направления электрона определяется только локальной температурой и не зависит от скорости электрона до столкновения. ^{[примечание 11]} Считается, что электрон сразу же находится в равновесии с локальной температурой после столкновения.

Удаление или улучшение каждого из этих предположений дает более совершенные модели, которые могут более точно описывать различные твердые тела:

Улучшение гипотезы статистики Максвелла – Больцмана с помощью статистики Ферми – Дирака приводит к модели Друде – Зоммерфельда .
Улучшение гипотезы статистики Максвелла – Больцмана с помощью статистики Бозе – Эйнштейна приводит к рассмотрению теплоемкости атомов с целым спином ^[9] и к конденсату Бозе – Эйнштейна .
Электрон валентной зоны в полупроводнике по-прежнему является свободным электроном в ограниченном диапазоне энергий (т.е. только «редкое» столкновение с высокой энергией, которое подразумевает изменение зоны, будет вести себя иначе); приближение независимых электронов, по существу, все еще остается в силе (т.е. отсутствие электрон-электронного рассеяния), где вместо этого гипотеза о локализации событий рассеяния отбрасывается (с точки зрения непрофессионала, электрон есть и рассеивается повсюду). ^[10]

Математическая обработка [ править ]

Поле DC [ править ]

Простейший анализ модели Друде предполагает, что электрическое поле $E$ как однородное, так и постоянное, и что тепловая скорость электронов достаточно высока, так что они накапливают лишь бесконечно малое количество импульса $d p$ между столкновениями, которые происходят в среднем каждые $τ$ секунд. . ^{[примечание 1]}

Тогда электрон, изолированный в момент времени $t$ , в среднем будет путешествовать в течение времени $τ$ с момента своего последнего столкновения, и, следовательно, будет накоплен импульс

\Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .

Во время последнего столкновения этот электрон с такой же вероятностью отскочил вперед, как и назад, поэтому все предыдущие вклады в импульс электрона можно не учитывать, что приведет к выражению

\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .

Подстановка отношений

\langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,

\mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,

приводит к формулировке упомянутого выше закона Ома:

\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .

Нестационарный анализ [ править ]

Друде реакция плотности тока на электрическое поле переменного тока.

Динамику также можно описать, введя эффективную силу сопротивления. В момент времени $t = t 0 + dt$ импульс электрона будет:

\mathbf {p} (t_{0}+dt)=(1-{\frac {dt}{\tau }})[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})]+{\frac {dt}{\tau }}(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2}))

где может интерпретироваться как общая сила (например, сила Лоренца ), действующая на носитель или, более конкретно, на электрон. - импульс носителя со случайным направлением после столкновения (т.е. с импульсом ) и с абсолютной кинетической энергией $\mathbf {f} (t)$ $\mathbf {g} (t_{0})$ $\langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0$

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

.

В среднем, часть электронов не испытает другого столкновения, другая часть, имевшая в среднем столкновение, выйдет в случайном направлении и внесет вклад в общий импульс только с коэффициентом второго порядка. ^{[примечание 13]} $1-{\frac {dt}{\tau }}$ ${\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$

Немного алгебры и отбрасывая члены порядка , это приводит к общему дифференциальному уравнению $dt^{2}$

{\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}

Второй член на самом деле представляет собой дополнительную силу сопротивления или демпфирующий член из-за эффектов Друде.

Постоянное электрическое поле [ править ]

В момент времени $t = t 0 + dt$ средний импульс электрона будет

\langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),

а потом

{\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},

где $⟨ р ⟩$ обозначает средний импульс и $д$ заряд электронов. Это неоднородное дифференциальное уравнение может быть решено для получения общего решения

\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p(0)} \rangle e^{-t/\tau }

для $p (t)$ . Стационарное состояние раствора, $д ⟨ р ⟩ / dt = 0$ , тогда

\langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .

Как указано выше, средний импульс может быть связан со средней скоростью, а это, в свою очередь, может быть связано с плотностью тока,

\langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,

\mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,

и можно показать, что материал удовлетворяет закону Ома с проводимостью по постоянному току $σ$ $0$ : $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$

\sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}

Поле AC [ править ]

Комплексная проводимость для разных частот в предположении, что

τ = 10 -5

и

σ 0 = 1

.

Модель Друде может также предсказывать ток как реакцию на зависящее от времени электрическое поле с угловой частотой $ω$ . Комплексная проводимость

\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.

Здесь предполагается, что:

E(t)=\Re \left(E_{0}e^{i\omega t}\right);

J(t)=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}\right).

В технике $i$ обычно заменяется на $-i$ (или $-j$ ) во всех уравнениях, что отражает разность фаз относительно начала координат, а не задержку в точке наблюдения, перемещающейся во времени.

Доказательство с использованием уравнения движения ^{[примечание 14]}

Данный

\mathbf {p} (t)=\Re \left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)

\mathbf {E} (t)=\Re \left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)

И уравнение движения выше

{\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}

замена

-i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}

Данный

\mathbf {j} =-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}

\mathbf {j} (t)=\Re \left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)

\mathbf {j} (\omega )=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}

определение комплексной проводимости по:

\mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )

У нас есть:

\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}

Мнимая часть указывает на то, что ток отстает от электрического поля. Это происходит потому, что электронам требуется примерно время $τ$ для ускорения в ответ на изменение электрического поля. Здесь модель Друде применяется к электронам; его можно применять как к электронам, так и к дыркам; т.е. положительные носители заряда в полупроводниках. Кривые для $σ (ω)$ показаны на графике.

Если к твердому телу приложить синусоидально изменяющееся электрическое поле с частотой , отрицательно заряженные электроны будут вести себя как плазма, которая стремится перемещаться на расстояние x от положительно заряженного фона. В результате образец поляризуется, и на противоположных поверхностях образца будет возникать избыточный заряд. $\omega$

Диэлектрическая проницаемость образца выражается как

\varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}

где это электрическое смещение , и это плотность поляризации . $D$ $P$

Плотность поляризации записывается как

P(t)=\Re \left(P_{0}e^{i\omega t}\right)

а плотность поляризации с n электронной плотностью равна

P=-nex

После небольшой алгебры связь между плотностью поляризации и электрическим полем может быть выражена как

P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E

Диэлектрическая проницаемость твердого тела, зависящая от частоты, равна

\varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}

Доказательство с использованием уравнений Максвелла ^{[примечание 15]}

Учитывая приближения для включенного выше $\sigma (\omega )$

мы предполагали отсутствие электромагнитного поля: оно всегда меньше в v / c раз, учитывая дополнительный член Лоренца в уравнении движения $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$
мы предположили пространственно однородное поле: это верно, если поле не осциллирует значительно на нескольких длинах свободного пробега электронов. Обычно это не так: длина свободного пробега порядка Армстронга, что соответствует длинам волн, типичных для рентгеновских лучей.

Учитывая уравнения Максвелла без источников (которые рассматриваются отдельно в рамках плазменных колебаний )

\nabla \cdot \mathbf {E} =0;\nabla \cdot \mathbf {B} =0

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

тогда

\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)

или же

\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E}

которое представляет собой уравнение электромагнитной волны для сплошной однородной среды с диэлектрической проницаемостью в форме Гельмольца $\epsilon (\omega )$

-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\mathbf {E}

где показатель преломления равен, а фазовая скорость равна, следовательно, комплексная диэлектрическая проницаемость равна $n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}$ $v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}$

\epsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)

что в данном случае может быть приближено к: $\omega \tau >>1$

\epsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}

На резонансной частоте , называемой плазменной частотой , диэлектрическая проницаемость меняет знак с отрицательного на положительный, а действительная часть диэлектрической проницаемости падает до нуля. $\omega _{\rm {p}}$

\omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}

Плазменная частота представляет собой резонанс плазменных колебаний или плазмон . Плазменная частота может использоваться как прямая мера квадратного корня из плотности валентных электронов в твердом теле. Наблюдаемые значения разумно согласуются с этим теоретическим предсказанием для большого количества материалов. ^[11] Ниже плазменной частоты диэлектрическая проницаемость отрицательна, и поле не может проникать в образец. Свет с угловой частотой ниже плазменной частоты будет полностью отражаться. Световые волны выше плазменной частоты могут проникать в образец. Типичным примером являются щелочные металлы, которые становятся прозрачными в диапазоне ультрафиолетового излучения. ^{[примечание 16]}

Теплопроводность металлов [ править ]

Одним из больших успехов модели Друде является объяснение закона Видемана-Франца . Это произошло из-за случайного исключения ошибок в первоначальных расчетах Друде. Друде предсказал значение числа Лоренца:

{\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=2.22\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}

Экспериментальные значения обычно находятся в диапазоне для металлов при температурах от 0 до 100 градусов Цельсия. ^{[примечание 17]} $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$

Вывод и ошибки Друде ^{[примечание 15]}

Твердые тела могут проводить тепло за счет движения электронов, атомов и ионов. Проводники имеют большую плотность свободных электронов, тогда как изоляторы нет; ионы могут присутствовать в любом. Учитывая хорошую электрическую и теплопроводность металлов и плохую электрическую и теплопроводность изоляторов, естественной отправной точкой для оценки теплопроводности является вычисление вклада электронов проводимости.

Плотность теплового тока - это поток тепловой энергии в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной потоку. Он пропорционален градиенту температуры.

\mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T

где - теплопроводность. В одномерном проводе энергия электронов зависит от локальной температуры. Если представить себе градиент температуры, при котором температура уменьшается в положительном направлении x, средняя скорость электронов равна нулю (но не средняя скорость). Электроны, прибывающие в точку x со стороны с более высокой энергией, прибудут с энергиями , а электроны со стороны с более низкими энергиями прибудут с энергиями . Здесь - средняя скорость электронов и - среднее время с момента последнего столкновения. $\kappa$ $\epsilon [T(x)]$ $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ $\varepsilon [T(x+v\tau )]$ $v$ $\tau$

Чистый поток тепловой энергии в точке x - это разница между тем, что проходит слева направо и справа налево:

\mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}

Фактор 1/2объясняет тот факт, что электроны с одинаковой вероятностью движутся в любом направлении. Только половина вносит вклад в поток в точке x .

Когда длина свободного пробега мала, величина может быть аппроксимирована производной по x. Это дает $\ell =v\tau$ ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$

\mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot (-{\frac {dT}{dx}})

Так как электрон движется в , и направлений, средний квадрат скорости в направлении . Также есть , где - удельная теплоемкость материала. $x$ $y$ $z$ $x$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}$ $c_{v}$

Суммируя все это вместе, плотность тока тепловой энергии равна

\mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T

Это определяет теплопроводность:

\kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}

(Этот вывод игнорирует температурную зависимость и, следовательно, зависимость от положения скорости v. Это не приведет к значительной ошибке, если температура не изменится быстро на расстоянии, сравнимом с длиной свободного пробега.)

Разделение теплопроводности на электропроводность исключает время рассеяния и дает $\kappa$ $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ $\tau$

{\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}

На этом этапе вычислений Друде сделал два предположения, которые теперь считаются ошибками. Во- первых, он использовал классический результат для емкости теплоемкости электронов проводимости: . Это завышает электронный вклад в удельную теплоемкость примерно в 100 раз. Во-вторых, Друде использовал классическую среднеквадратичную скорость электронов . Это занижает энергию электронов примерно в 100 раз. Устранение этих двух ошибок дает хорошее приближение к проводимости металлов. В дополнение к этим двум оценкам Друде также допустил статистическую ошибку и завысил среднее время между столкновениями в 2 раза. Такое сочетание ошибок дало значение числа Лоренца, которое было очень близко к экспериментальным значениям. $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$

Правильное значение числа Лоренца, оцененное по модели Друде, равно

{\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}

.

^{[примечание 18]}

Термоэнергетика [ править ]

Общий температурный градиент при включении в тонкой полосе вызовет ток электронов в сторону более низкой температуры, учитывая, что эксперименты проводятся в режиме разомкнутой цепи, этот ток будет накапливаться на этой стороне, создавая электрическое поле, противодействующее электрическому току. Это поле называется термоэлектрическим полем:

\mathbf {E} =Q\nabla T

а Q называется термоЭДС. Оценки Друде имеют низкий коэффициент в 100 раз, учитывая прямую зависимость от удельной теплоемкости.

Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}

где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт. ^{[примечание 19]}

Доказательство вместе с ошибками Друде ^{[примечание 20]}

Из простой одномерной модели

v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)

Расширение до 3 степеней свободы $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$

\mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)

Средняя скорость, обусловленная электрическим полем (с учетом приведенного выше уравнения движения в состоянии равновесия)

\mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}

Чтобы получить полный текущий ноль, мы имеем $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$

Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}

И как обычно в деле Друде $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$

Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}

где типичные термоЭДС при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт. ^{[примечание 19]}

Ответ друде в реальных материалах [ править ]

Характерное поведение металла Друде во временной или частотной области, то есть экспоненциальная релаксация с постоянной времени $τ$ или частотная зависимость для $σ (ω),$ указанная выше, называется откликом Друде. В обычном, простом, реальном металле (например, натрии, серебре или золоте при комнатной температуре) такое поведение не обнаружено экспериментально, потому что характеристическая частота $τ -1$ находится в инфракрасном диапазоне частот, где другие особенности, которые не рассматриваются в Модель Друде (например, ленточная структура ) играет важную роль. ^[12]Но для некоторых других материалов с металлическими свойствами была обнаружена частотно-зависимая проводимость, которая полностью соответствует простому предсказанию Друде для $σ (ω)$ . Это материалы, в которых скорость релаксации $τ -1$ находится на гораздо более низких частотах. ^[12] Это тот случай , для некоторых легированных полупроводниковых монокристаллов, ^[13] с высокой подвижностью двумерных электронных газов , ^[14] и тяжелые металлы с ТФ . ^[15]

Точность модели [ править ]

Исторически формула Друде была впервые выведена ограниченным образом, а именно, предполагая, что носители заряда образуют классический идеальный газ . Арнольд Зоммерфельд рассмотрел квантовую теорию и распространил теорию на модель свободных электронов , в которой носители следуют распределению Ферми – Дирака . Прогнозируемая проводимость такая же, как в модели Друде, поскольку она не зависит от формы электронного распределения скорости.

Модель Друде дает очень хорошее объяснение проводимости постоянного и переменного тока в металлах, эффекта Холла и магнитосопротивления ^{[примечание 13]} в металлах при температуре около комнатной. Модель также частично объясняет закон Видемана – Франца 1853 года. Однако она сильно переоценивает электронную теплоемкость металлов. На самом деле металлы и изоляторы имеют примерно одинаковую теплоемкость при комнатной температуре.

Модель также может быть применена к положительным (дырочным) носителям заряда.

В своей оригинальной статье Друде допустил ошибку, оценив число Лоренца закона Видемана – Франца как вдвое больше, чем должно было быть в классическом смысле, что, по всей видимости, согласуется с экспериментальным значением теплоемкости. Это число примерно в 100 раз меньше, чем классическое предсказание, но этот фактор сводится на нет средней электронной скоростью, которая примерно в 100 раз больше, чем расчет Друде. ^{[примечание 21]}

См. Также [ править ]

Модель свободных электронов
Арнольд Зоммерфельд
Электрическая проводимость

Цитаты [ править ]

^ a b Эшкрофт и Мермин 1976 , стр. 6–7
↑ Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр. 2–3.
↑ Ashcroft & Mermin, 1976 , стр. 3, примечание 4 и рис. 1.1
↑ Ashcroft & Mermin, 1976 , стр. 3, примечание 7 и рис. 1.2
↑ Ashcroft & Mermin, 1976 , стр. 3, примечание 6.
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 8, таблица 1.2.
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 5, таблица 1.1.
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 15, таблица 1.4.
↑ Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр.
^ Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 2
^ Б с д е е г Эшкрофт & Мермином 1976 , стр. 2-6
↑ Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр.
^ а б Эшкрофт и Мермин 1976 , стр. 11
↑ Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр.
^ а б Эшкрофт и Мермин 1976 , стр 17
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 18, таблица 1.5.
↑ Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 18, таблица 1.6.
↑ Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр. 25, проблема 1.
^ а б Эшкрофт и Мермин 1976 , стр 25
↑ Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр.
^ Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 23

Ссылки [ править ]

^ Друде, Пол (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle" . Annalen der Physik . 306 (3): 566–613. Bibcode : 1900AnP ... 306..566D . DOI : 10.1002 / andp.19003060312 .^{[ мертвая ссылка ]}
^ Друде, Пол (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und Thermomagnetische Effecte" . Annalen der Physik . 308 (11): 369–402. Bibcode : 1900AnP ... 308..369D . DOI : 10.1002 / andp.19003081102 .^{[ мертвая ссылка ]}
^ Эдвард М. Перселл (1965). Электричество и магнетизм . Макгроу-Хилл. С. 117–122 . ISBN 978-0-07-004908-6.
^ Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику . Прентис-Холл. С. 289 . ISBN 978-0-13-805326-0.
^ "Нобелевская лекция Нильса Бора" (PDF) .
^ Спрингер, изд. (2009). « » Свободный «Электроны в твердых телах». Свободные электроны в твердом теле . С. 135–158. DOI : 10.1007 / 978-3-540-93804-0_6 . ISBN 978-3-540-93803-3.
^ «Детали неупругих длин свободного пробега в диапазоне кинетической энергии ниже 250 эВ для Ag, Al, GaAs, NA, PMMA и Si» . стр. рис 3.5.
^ "Физика твердого тела, лекция 3: теория Друде и свободный электрон Зоммерфельда" .
^ Эйнштейн (1924). Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse (ed.). «Квантовая теория одноатомного идеального газа»: 261–267. Cite journal requires |journal= (help)
^ "Физика твердого тела, Лекция 17: Динамика электронов в зонах" .
^ К. Киттель (1953–1976). Введение в физику твердого тела . Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.
^ a b М. Дрессель; М. Шеффлер (2006). «Проверка ответа Друде». Annalen der Physik . 15 (7–8): 535–544. Bibcode : 2006AnP ... 518..535D . DOI : 10.1002 / andp.200510198 .
^ М. ван Экстер; Д. Гришковский (1990). «Динамика носителей электронов и дырок в умеренно легированном кремнии» (PDF) . Physical Review B . 41 (17): 12140–12149. Bibcode : 1990PhRvB..4112140V . DOI : 10.1103 / PhysRevB.41.12140 . hdl : 11244/19898 . PMID 9993669 .
^ PJ Burke; И.Б. Спилман; Дж. П. Эйзенштейн; Л. Н. Пфайффер; KW West (2000). «Высокочастотная проводимость высокоподвижного двумерного электронного газа» (PDF) . Письма по прикладной физике . 76 (6): 745–747. Bibcode : 2000ApPhL..76..745B . DOI : 10.1063 / 1.125881 .
^ М. Шеффлер; М. Дрессель; М. Журдан; Х. Адриан (2005). «Чрезвычайно медленная друдевская релаксация коррелированных электронов». Природа . 438 (7071): 1135–1137. Bibcode : 2005Natur.438.1135S . DOI : 10,1038 / природа04232 . PMID 16372004 . S2CID 4391917 .

Общие [ править ]

Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.

Внешние ссылки [ править ]

Хини, Майкл Б. (2003). «Электропроводность и удельное сопротивление» . В Вебстере, Джон Г. (ред.). Электрические измерения, обработка сигналов и дисплеи . CRC Press. ISBN 9780203009406.

[:0-3] Эшкрофт и Мермин 1976 , стр. 6–7

[:8-7] Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр. 2–3.

[:9-9] Ashcroft & Mermin, 1976 , стр. 3, примечание 4 и рис. 1.1

[:10-10] Ashcroft & Mermin, 1976 , стр. 3, примечание 7 и рис. 1.2

[:11-12] Ashcroft & Mermin, 1976 , стр. 3, примечание 6.

[:12-13] Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 8, таблица 1.2.

[:13-14] Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 5, таблица 1.1.

[:14-15] Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 15, таблица 1.4.

[:15-16] Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр.

[:7-17] Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 2

[:1-19] Б с д е е г Эшкрофт & Мермином 1976 , стр. 2-6

[:5-20] Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр.

[:2-23] а б Эшкрофт и Мермин 1976 , стр. 11

[:16-24] Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр.

[:17-25] а б Эшкрофт и Мермин 1976 , стр 17

[:18-27] Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 18, таблица 1.5.

[:19-28] Ashcroft & Mermin 1976 , стр. 18, таблица 1.6.

[:20-29] Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр. 25, проблема 1.

[:22-30] а б Эшкрофт и Мермин 1976 , стр 25

[:21-31] Эшкрофт и Мермин, 1976 , стр.

[36] Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 23

[1] Друде, Пол (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle" . Annalen der Physik . 306 (3): 566–613. Bibcode : 1900AnP ... 306..566D . DOI : 10.1002 / andp.19003060312 .^{[ мертвая ссылка ]}

[2] Друде, Пол (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und Thermomagnetische Effecte" . Annalen der Physik . 308 (11): 369–402. Bibcode : 1900AnP ... 308..369D . DOI : 10.1002 / andp.19003081102 .^{[ мертвая ссылка ]}

[4] Эдвард М. Перселл (1965). Электричество и магнетизм . Макгроу-Хилл. С. 117–122 . ISBN 978-0-07-004908-6.

[5] Дэвид Дж. Гриффитс (1999). Введение в электродинамику . Прентис-Холл. С. 289 . ISBN 978-0-13-805326-0.

[6] "Нобелевская лекция Нильса Бора" (PDF) .

[8] Спрингер, изд. (2009). « » Свободный «Электроны в твердых телах». Свободные электроны в твердом теле . С. 135–158. DOI : 10.1007 / 978-3-540-93804-0_6 . ISBN 978-3-540-93803-3.

[11] «Детали неупругих длин свободного пробега в диапазоне кинетической энергии ниже 250 эВ для Ag, Al, GaAs, NA, PMMA и Si» . стр. рис 3.5.

[18] "Физика твердого тела, лекция 3: теория Друде и свободный электрон Зоммерфельда" .

[einstein24-21] Эйнштейн (1924). Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse (ed.). «Квантовая теория одноатомного идеального газа»: 261–267. Cite journal requires |journal= (help)

[22] "Физика твердого тела, Лекция 17: Динамика электронов в зонах" .

[Kittel2-26] К. Киттель (1953–1976). Введение в физику твердого тела . Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-49024-1.

[Dressel-32] М. Дрессель; М. Шеффлер (2006). «Проверка ответа Друде». Annalen der Physik . 15 (7–8): 535–544. Bibcode : 2006AnP ... 518..535D . DOI : 10.1002 / andp.200510198 .

[33] М. ван Экстер; Д. Гришковский (1990). «Динамика носителей электронов и дырок в умеренно легированном кремнии» (PDF) . Physical Review B . 41 (17): 12140–12149. Bibcode : 1990PhRvB..4112140V . DOI : 10.1103 / PhysRevB.41.12140 . hdl : 11244/19898 . PMID 9993669 .

[34] PJ Burke; И.Б. Спилман; Дж. П. Эйзенштейн; Л. Н. Пфайффер; KW West (2000). «Высокочастотная проводимость высокоподвижного двумерного электронного газа» (PDF) . Письма по прикладной физике . 76 (6): 745–747. Bibcode : 2000ApPhL..76..745B . DOI : 10.1063 / 1.125881 .

[35] М. Шеффлер; М. Дрессель; М. Журдан; Х. Адриан (2005). «Чрезвычайно медленная друдевская релаксация коррелированных электронов». Природа . 438 (7071): 1135–1137. Bibcode : 2005Natur.438.1135S . DOI : 10,1038 / природа04232 . PMID 16372004 . S2CID 4391917 .

[1]

vтеАтомные модели
Одиночные атомы	Модель Дальтона ( модель бильярдного шара) Модель Томсона ( модель сливового пудинга) Модель Льюиса ( модель кубического атома) Модель Нагаока (модель Сатурна) Модель Резерфорда (планетарная модель) Модель Бора ( модель Резерфорда – Бора) Модель Бора – Зоммерфельда (уточненная модель Бора) Модель Грызинского ( модель свободного падения) Модель Шредингера ( модель электронного облака) Модель Дирака-Гордона (релятивистская модель атома)
Атомы в твердых телах	Эйнштейн твердый Модель Дебая Модель Друде Модель свободных электронов Модель почти свободных электронов Ленточная структура Функциональная теория плотности
Атомы в жидкостях	Идеальный газ Газ Ван-дер-Ваальса Ньютоновская жидкость Конденсат Бозе – Эйнштейна
Ученые	Феликс Блох Нильс Бор Сатьендра Нат Бос Джон Далтон Питер Дебай Поль Дирак Пол Друде Альберт Эйнштейн Уолтер Гордон Михал Грызинский Ирвинг Ленгмюр Гилберт Н. Льюис Хантаро Нагаока Исаак Ньютон Эрнест Резерфорд Эрвин Шредингер Арнольд Зоммерфельд Дж. Дж. Томсон Йоханнес Дидерик ван дер Ваальс
Книга: Атомные модели Категория: Атомы Портал: Физика / Химия