Плотность тока

Плотность тока
Общие символы	$j \to$
В базовых единицах СИ	А ^· м ⁻²
Измерение	I L ⁻²

Электромагнетизм
Статьи о

Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитный векторный потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

В электромагнетизма , плотность тока является количество заряда в единицу времени , который протекает через единицу площади выбранного сечения. ^[1] вектор плотности тока определяется как вектор , величина которого находится в электрический ток на единицу площади поперечного сечения в данной точке в пространстве, направление его в том , что движения положительных зарядов в этой точке. В основных единицах СИ плотность электрического тока измеряется в амперах на квадратный метр . ^[2]

Определение [ править ]

Предположит , что (СИ единица измерения: м ² ) представляет собой небольшую поверхность с центром в данной точке М и ортогональной к движению зарядов на М . Если I _A (единица СИ: A ) - это электрический ток, протекающий через A , то плотность электрического тока j в точке M определяется пределом : ^[3]

j=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I_{A}}{A}},

с поверхностью A, остающейся с центром в M и ортогональной движению зарядов во время предельного процесса.

Вектор плотности тока J является вектором, величина которого плотность электрического тока, и направление которого совпадает с движением положительных зарядов на М .

В данный момент времени t , если v - скорость зарядов в точке M , а dA - бесконечно малая поверхность с центром в M и ортогональная v , то в течение периода времени dt только заряд, содержащийся в объеме, образованном dA и I = dq / dt будет проходить через dA . Этот заряд равен ρ || v || d t d A , где ρ - плотность заряда при M, а электрический ток при M равен I = ρ || v || dA . Отсюда следует, что вектор плотности тока можно выразить как:

\mathbf {j} =\rho \mathbf {v} .

Поверхностный интеграл от J над поверхностью S , а затем интеграл по времени длительностью т ₁ до т ₂ , дает общее количество заряда , протекающего через поверхность , в то время ( т ₂ - т ₁ ):

q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,{\rm {d}}A{\rm {d}}t.

Более кратко, это интеграл от потока из J через S между т ₁ и т ₂ .

Площадь , необходимая для вычисления поток реальный или мнимый, плоская или изогнутой, либо как площадь поперечного сечения или поверхность. Например, для носителей заряда, проходящих через электрический проводник , площадь представляет собой поперечное сечение проводника в рассматриваемом сечении.

Вектор площадь представляет собой сочетание величины площади , через которую носители заряда проходят, A , и единичный вектор нормали к этой области, . Отношение такое . $\mathbf {\hat {n}}$ $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$

Вектор площадь дифференциального аналогично следует из приведенного выше определения: . $d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}}$

Если плотность тока j проходит через область под углом θ к нормали области , то $\mathbf {\hat {n}}$

\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta

где ⋅ - скалярное произведение единичных векторов. То есть составляющая плотности тока, проходящего через поверхность (т.е. нормальная к ней), равна j cos θ , в то время как составляющая плотности тока, проходящего по касательной к области, равна j sin θ , но нет никакой плотности тока, фактически проходящей через область в тангенциальном направлении. Только составляющая плотности тока , проходящая по нормали к этой области является компонентом косинуса.

Важность [ править ]

Плотность тока важна для проектирования электрических и электронных систем.

Характеристики схемы сильно зависят от проектного уровня тока, а плотность тока в этом случае определяется размерами проводящих элементов. Например, по мере уменьшения размера интегральных схем , несмотря на меньший ток, требуемый меньшими устройствами , наблюдается тенденция к более высокой плотности тока для достижения большего количества устройств на все меньших площадях микросхемы . См . Закон Мура .

На высоких частотах проводящая область в проводе становится ограниченной вблизи ее поверхности, что увеличивает плотность тока в этой области. Это известно как скин-эффект .

Высокая плотность тока имеет нежелательные последствия. Большинство электрических проводников имеют конечное положительное сопротивление , поэтому они рассеивают энергию в виде тепла. Плотность тока должна поддерживаться на достаточно низком уровне, чтобы предотвратить плавление или возгорание проводника, повреждение изоляционного материала или изменение требуемых электрических свойств. При высоких плотностях тока материал, образующий межсоединения, фактически перемещается - явление, называемое электромиграцией . В сверхпроводниках чрезмерная плотность тока может создавать достаточно сильное магнитное поле, вызывающее спонтанную потерю сверхпроводящего свойства.

Анализ и наблюдение плотности тока также используются для исследования физики, лежащей в основе природы твердых тел, включая не только металлы, но также полупроводники и изоляторы. Разработан сложный теоретический формализм для объяснения многих фундаментальных наблюдений. ^[4]^[5]

Плотность тока - важный параметр в законе вращения Ампера (одном из уравнений Максвелла ), который связывает плотность тока с магнитным полем .

В специальной теории относительности заряд и ток объединены в 4-вектор .

Расчет плотности тока в веществе [ править ]

Свободные токи [ править ]

Носители заряда, которые могут свободно перемещаться, составляют плотность свободного тока , которая задается выражениями, такими как приведенные в этом разделе.

Электрический ток - это грубая средняя величина, которая говорит о том, что происходит во всем проводе. В позиции г в момент времени Т , то распределение по заряду течет описываются плотностью тока: ^[6]

\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{\text{d}}(\mathbf {r} ,t)\,

где j ( r , t ) - вектор плотности тока, v _d ( r , t ) - средняя скорость дрейфа частиц (единица СИ: м ∙ с ⁻¹ ), и

\rho (\mathbf {r} ,t)=q\,n(\mathbf {r} ,t)

- плотность заряда (единица СИ: кулоны на кубический метр ), в которой n ( r , t ) - количество частиц в единице объема («числовая плотность») (единица СИ: м ⁻³ ), q - заряд отдельные частицы с плотностью n (единица СИ: кулоны ).

Обычное приближение к плотности тока предполагает, что ток просто пропорционален электрическому полю, что выражается следующим образом:

\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} \,

где E - электрическое поле, а σ - электрическая проводимость .

Проводимость σ является обратным ( обратным ) электрическим сопротивлением и имеет единицы СИ сименсов за метр (S⋅m ^-1 ), и Е имеют СИ единиц ньютонов на кулоны (N⋅C ^-1 ) или, что эквивалентно, вольт на метр (В⋅м ⁻¹ ).

Более фундаментальный подход к расчету плотности тока основан на:

\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\left[\int _{V}\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\;{\text{d}}^{3}\mathbf {r} '\,\right]{\text{d}}t'\,

указывающий на запаздывание реакции зависимостью σ от времени и нелокальный характер реакции на поле посредством пространственной зависимости σ , оба вычисляются в принципе на основе лежащего в основе микроскопического анализа, например, в случае достаточно малых полей , функция линейного отклика для проводящего поведения в материале. См., Например, Giuliani & Vignale (2005) ^[7] или Rammer (2007). ^[8] Интеграл распространяется на всю прошлую историю до настоящего времени.

Указанная выше проводимость и связанная с ней плотность тока отражают фундаментальные механизмы, лежащие в основе переноса заряда в среде как во времени, так и на расстоянии.

Преобразование Фурье в пространстве и во времени , то результаты в:

\mathbf {j} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )\,

где σ ( k , ω ) теперь комплексная функция .

Во многих материалах, например, в кристаллических материалах, проводимость является тензором , и ток не обязательно имеет то же направление, что и приложенное поле. Помимо свойств самого материала, приложение магнитных полей может изменить поведение проводимости.

Токи поляризации и намагничивания [ править ]

Токи возникают в материалах при неравномерном распределении заряда. ^[9]

В диэлектрических материалах, есть плотность тока , соответствующая чистое движение электрических дипольных моментов на единицу объем, т.е. поляризации Р :

\mathbf {j} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}

Точно так же с магнитными материалами , тиражей магнитных дипольных моментов на единицу объема, т.е. намагниченности М, приводят к намагниченности токов : ^[10]

\mathbf {j} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M}

Вместе эти термины складываются для формирования связанного текущей плотности в материальном (результирующий ток за счет движения электрических и магнитных дипольных моментов на единицу объема):

\mathbf {j} _{\mathrm {b} }=\mathbf {j} _{\mathrm {P} }+\mathbf {j} _{\mathrm {M} }

Общий ток в материалах [ править ]

Полный ток - это просто сумма свободного и связанного токов:

\mathbf {j} =\mathbf {j} _{\mathrm {f} }+\mathbf {j} _{\mathrm {b} }

Ток смещения [ править ]

Существует также ток смещения, соответствующий изменяющемуся во времени электрическому полю смещения D : ^[11]^[12]

\mathbf {j} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

который является важным членом в законе колебаний Ампера , одном из уравнений Максвелла, поскольку отсутствие этого члена не предсказывает распространение электромагнитных волн или временную эволюцию электрических полей в целом.

Уравнение неразрывности [ править ]

Поскольку заряд сохраняется, плотность тока должна удовлетворять уравнению неразрывности . Вот вывод из первых принципов. ^[9]

Чистый поток из некоторого объема V (который может иметь произвольную форму, но фиксирован для расчета) должен равняться чистому изменению заряда, удерживаемого внутри объема:

\int _{S}{\mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}{\rho \;\mathrm {d} V}=-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;\mathrm {d} V}

where ρ is the charge density, and dA is a surface element of the surface S enclosing the volume V. The surface integral on the left expresses the current outflow from the volume, and the negatively signed volume integral on the right expresses the decrease in the total charge inside the volume. From the divergence theorem:

\int _{S}{\mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }=\int _{V}{\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \;\mathrm {d} V}

Hence:

\int _{V}{\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \;\mathrm {d} V}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;\mathrm {d} V}

This relation is valid for any volume, independent of size or location, which implies that:

\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}

and this relation is called the continuity equation.^[13]^[14]

In practice[edit]

В электропроводке максимальная плотность тока может варьироваться от 4 А · мм ^-2 для провода без циркуляции воздуха вокруг него до 6 А · мм ^-2 для провода на открытом воздухе. В правилах построения электропроводки указывается максимально допустимый ток каждого размера кабеля в различных условиях. Для компактных конструкций, таких как обмотки трансформаторов SMPS , значение может составлять всего 2 A⋅мм ⁻² . ^[15] Если по проводу проходят токи высокой частоты, скин-эффект может повлиять на распределение тока по сечению, концентрируя ток на поверхности проводника . В трансформаторахразработан для высоких частот, потери снижаются, если для обмоток используется лицевый провод . Он состоит из нескольких параллельно соединенных изолированных проводов, диаметр которых вдвое превышает толщину скин-слоя . Изолированные пряди скручены вместе, чтобы увеличить общую площадь кожи и уменьшить сопротивление из-за кожных воздействий.

Для верхнего и нижнего слоев печатных плат максимальная плотность тока может достигать 35 А · мм ^-2 при толщине меди 35 мкм. Внутренние слои не могут рассеивать столько тепла, как внешние слои; разработчики печатных плат избегают нанесения сильноточных проводов на внутренние слои.

В области полупроводников максимальные плотности тока для различных элементов указаны производителем. Превышение этих пределов вызывает следующие проблемы:

Эффект Джоуля, повышающий температуру компонента.
Эффект электромиграции, который разрушит соединение и, в конечном итоге, вызовет разрыв цепи.
Эффект медленной диффузии, который при постоянном воздействии высоких температур отодвигает ионы металлов и легирующие примеси от того места, где они должны быть. Этот эффект также является синонимом старения.

Следующая таблица дает представление о максимальной плотности тока для различных материалов.

Материал	Температура	Максимальная плотность тока
Copper interconnections (180 nm technology)	25 °C	1000 μA⋅μm⁻² (1000 A⋅mm⁻²)
	50 °C	700 μA⋅μm⁻² (700 A⋅mm⁻²)
	85 °C	400 μA⋅μm⁻² (400 A⋅mm⁻²)
	125 °C	100 μA⋅μm⁻² (100 A⋅mm⁻²)
Graphene nanoribbons^[16]	25 °C	0.1–10 × 10⁸ A⋅cm⁻² (0.1–10 × 10⁶ A⋅mm⁻²)

Even if manufacturers add some margin to their numbers, it is recommended to, at least, double the calculated section to improve the reliability, especially for high-quality electronics. One can also notice the importance of keeping electronic devices cool to avoid exposing them to electromigration and slow diffusion.

In biological organisms, ion channels regulate the flow of ions (for example, sodium, calcium, potassium) across the membrane in all cells. The membrane of a cell is assumed to act like a capacitor.^[17] Current densities are usually expressed in pA⋅pF⁻¹ (picoamperes per picofarad) (i.e., current divided by capacitance). Techniques exist to empirically measure capacitance and surface area of cells, which enables calculation of current densities for different cells. This enables researchers to compare ionic currents in cells of different sizes.^[18]

In gas discharge lamps, such as flashlamps, current density plays an important role in the output spectrum produced. Low current densities produce spectral line emission and tend to favour longer wavelengths. High current densities produce continuum emission and tend to favour shorter wavelengths.^[19] Low current densities for flash lamps are generally around 10 A⋅mm⁻². High current densities can be more than 40 A⋅mm⁻².

References[edit]

^ Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert (2014). Fundamentals of physics (10th ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 749. ISBN 9781118230732. OCLC 950235056.
^ Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
^ Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
^ Richard P Martin (2004). Electronic Structure:Basic theory and practical methods. Cambridge University Press. ISBN 0-521-78285-6.
^ Alexander Altland & Ben Simons (2006). Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84508-3.
^ Woan, G. (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
^ Giuliani, Gabriele; Vignale, Giovanni (2005). Quantum Theory of the Electron Liquid. Cambridge University Press. p. 111. ISBN 0-521-82112-6. linear response theory capacitance OR conductance.
^ Rammer, Jørgen (2007). Quantum Field Theory of Non-equilibrium States. Cambridge University Press. p. 158. ISBN 978-0-521-87499-1.
^ a b Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
^ Herczynski, Andrzej (2013). "Bound charges and currents" (PDF). American Journal of Physics. the American Association of Physics Teachers. 81 (3): 202–205. Bibcode:2013AmJPh..81..202H. doi:10.1119/1.4773441.
^ Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
^ Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7
^ Tai L Chow (2006). Introduction to Electromagnetic Theory: A modern perspective. Jones & Bartlett. pp. 130–131. ISBN 0-7637-3827-1.
^ Griffiths, D.J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Pearson/Addison-Wesley. p. 213. ISBN 0-13-805326-X.
^ A. Pressman; et al. (2009). Switching power supply design (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 320. ISBN 978-0-07-148272-1.
^ Murali, Raghunath; Yang, Yinxiao; Brenner, Kevin; Beck, Thomas; Meindl, James D. (2009). "Breakdown current density of graphene nanoribbons". Applied Physics Letters. 94 (24): 243114. arXiv:0906.4156. Bibcode:2009ApPhL..94x3114M. doi:10.1063/1.3147183. ISSN 0003-6951. S2CID 55785299.
^ Fall, C. P.; Marland, E. S.; Wagner, J. M.; Tyson, J. J., eds. (2002). Computational Cell Biology. New York: Springer. p. 28. ISBN 9780387224596.
^ Weir, E. K.; Hume, J. R.; Reeves, J. T., eds. (1993). "The electrophysiology of smooth muscle cells and techniques for studying ion channels". Ion flux in pulmonary vascular control. New York: Springer Science. p. 29. ISBN 9780387224596.
^ Xenon lamp photocathodes

[1] Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert (2014). Fundamentals of physics (10th ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 749. ISBN 9781118230732. OCLC 950235056.

[2] Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3

[3] Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1

[Martin-4] Richard P Martin (2004). Electronic Structure:Basic theory and practical methods. Cambridge University Press. ISBN 0-521-78285-6.

[Altland-5] Alexander Altland & Ben Simons (2006). Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84508-3.

[6] Woan, G. (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.

[Giuliani-7] Giuliani, Gabriele; Vignale, Giovanni (2005). Quantum Theory of the Electron Liquid. Cambridge University Press. p. 111. ISBN 0-521-82112-6. linear response theory capacitance OR conductance.

[Rammer-8] Rammer, Jørgen (2007). Quantum Field Theory of Non-equilibrium States. Cambridge University Press. p. 158. ISBN 978-0-521-87499-1.

[Electromagnetism_2008-9] Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9

[10] Herczynski, Andrzej (2013). "Bound charges and currents" (PDF). American Journal of Physics. the American Association of Physics Teachers. 81 (3): 202–205. Bibcode:2013AmJPh..81..202H. doi:10.1119/1.4773441.

[11] Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3

[12] Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6th Edition), P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7

[Chow-13] Tai L Chow (2006). Introduction to Electromagnetic Theory: A modern perspective. Jones & Bartlett. pp. 130–131. ISBN 0-7637-3827-1.

[Griffiths-14] Griffiths, D.J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Pearson/Addison-Wesley. p. 213. ISBN 0-13-805326-X.

[15] A. Pressman; et al. (2009). Switching power supply design (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 320. ISBN 978-0-07-148272-1.

[MuraliYang2009-16] Murali, Raghunath; Yang, Yinxiao; Brenner, Kevin; Beck, Thomas; Meindl, James D. (2009). "Breakdown current density of graphene nanoribbons". Applied Physics Letters. 94 (24): 243114. arXiv:0906.4156. Bibcode:2009ApPhL..94x3114M. doi:10.1063/1.3147183. ISSN 0003-6951. S2CID 55785299.

[17] Fall, C. P.; Marland, E. S.; Wagner, J. M.; Tyson, J. J., eds. (2002). Computational Cell Biology. New York: Springer. p. 28. ISBN 9780387224596.

[18] Weir, E. K.; Hume, J. R.; Reeves, J. T., eds. (1993). "The electrophysiology of smooth muscle cells and techniques for studying ion channels". Ion flux in pulmonary vascular control. New York: Springer Science. p. 29. ISBN 9780387224596.

[19] Xenon lamp photocathodes