Электрический дипольный момент

Электрическое поле из - за точечного диполя (вверху слева), в физическом диполя от электрических зарядов (верхний правый), тонкий лист поляризованного (внизу слева) или пластины конденсатора (нижний правый). Все они создают одинаковый профиль поля, когда расположение бесконечно мало.

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

Электрический дипольный момент является мерой разделения положительных и отрицательных электрических зарядов в системе, то есть мера общей системы полярности . В системе единиц СИ для электрического дипольного момента являются кулонов - метр (C⋅m); однако обычно используемой единицей в атомной физике и химии является дебай (D).

Теоретически электрический диполь определяется членом первого порядка мультипольного разложения ; он состоит из двух равных и противоположных зарядов, бесконечно близких друг к другу, хотя реальные диполи имеют разделенный заряд. ^[1] Однако при проведении измерений на расстоянии, намного превышающем разделение зарядов, диполь дает хорошее приближение к реальному электрическому полю. Диполь представлен вектором от отрицательного заряда к положительному.

Элементарное определение [ править ]

Часто в физике можно пренебречь размерами массивного объекта и рассматривать его как точечный объект, то есть точечную частицу . Точечные частицы с электрическим зарядом называются точечными зарядами . Два точечных заряда, один с зарядом + q, а другой с зарядом - q, разделенные расстоянием d , составляют электрический диполь (простой случай электрического мультиполя ). В этом случае электрический дипольный момент имеет величину

${\ displaystyle p = qd}$

и направлена ​​от отрицательного заряда к положительному. Некоторые авторы могут разделить d пополам и использовать s = d / 2, поскольку эта величина представляет собой расстояние между любым зарядом и центром диполя, что приводит к коэффициенту два в определении.

Более сильное математическое определение - использовать векторную алгебру , поскольку величина с величиной и направлением, такая как дипольный момент двух точечных зарядов, может быть выражена в векторной форме

${\ Displaystyle \ mathbf {p} = д \ mathbf {d}}$

где d - вектор смещения, направленный от отрицательного заряда к положительному. Вектор электрического дипольного момента p также указывает от отрицательного заряда к положительному.

Идеализацией этой двухзарядной системы является точечный электрический диполь, состоящий из двух (бесконечных) зарядов, разделенных лишь на бесконечно малые расстояния, но с конечным p .

Эта величина используется при определении плотности поляризации .

Энергия и крутящий момент [ править ]

На объект с электрическим дипольным моментом действует крутящий момент τ, когда он помещен во внешнее электрическое поле. Крутящий момент стремится выровнять диполь с полем. Диполь, расположенный параллельно электрическому полю, имеет меньшую потенциальную энергию, чем диполь, находящийся с ним под некоторым углом. Для пространственно однородного электрического поля E энергия U и крутящий момент определяются выражением ^[2]${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$

${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} ,\qquad \ {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} ,}$

где p - дипольный момент, а символ «×» обозначает векторное произведение . Вектор поля и вектор диполя определяют плоскость, а крутящий момент направлен перпендикулярно этой плоскости с направлением, заданным правилом правой руки .

Диполь, ориентированный параллельно или антипараллельно направлению увеличения неоднородного электрического поля (градиент поля), будет испытывать крутящий момент, а также силу в направлении своего дипольного момента. Можно показать, что эта сила всегда будет параллельна дипольному моменту независимо от со- или антипараллельной ориентации диполя.

Выражение (общий случай) [ править ]

В более общем смысле, для непрерывного распределения заряда, ограниченного объемом V , соответствующее выражение для дипольного момента имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int \limits _{V}\rho (\mathbf {r} _{0})\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0},}$

где г находит точку наблюдения и г ³ г ₀ обозначает элементарный объем в V . Для массива точечных зарядов плотность заряда становится суммой дельта-функций Дирака :

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right),}$

где каждый R _я является вектором из некоторой опорной точки до заряда ц _я . Подстановка в приведенную выше формулу интегрирования дает:

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int \limits _{V}\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right).}$

Это выражение эквивалентно предыдущему выражению в случае нейтральности заряда и N = 2. Для двух противоположных зарядов, обозначая расположение положительного заряда пары как r ₊ и расположение отрицательного заряда как r _-  :

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=q_{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )+q_{2}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} )-q(\mathbf {r} _{-}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-})=q\mathbf {d} ,}$

показывая, что вектор дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному, поскольку вектор положения точки направлен наружу от начала координат к этой точке.

Дипольный момент особенно полезен в контексте общей нейтральной системы зарядов, например пары противоположных зарядов или нейтрального проводника в однородном электрическом поле. Для такой системы зарядов, представленной в виде массива пар противоположных зарядов, соотношение для электрического дипольного момента будет следующим:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,\int \limits _{V}q_{i}\left[\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\left(\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}\right)\right)-\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\right]\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\left[\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}-\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}\ ,\end{aligned}}}$

где r - точка наблюдения, а d _i = r ' _i - r _i , r _i - положение отрицательного заряда в диполе i , а r ' _i - положение положительного заряда. Это векторная сумма индивидуальных дипольных моментов нейтральных зарядовых пар. (Из - за общий заряд нейтральности, то дипольный момент не зависит от позиции наблюдателя г .) Таким образом, значение р не зависит от выбора точки отсчета, при условии , что общий заряд системы равен нуль.

При обсуждении дипольного момента ненейтральной системы, такого как дипольный момент протона , возникает зависимость от выбора точки отсчета. В таких случаях обычный выбрать точку отсчета , чтобы быть центром масс системы, а не некоторое произвольное происхождения. ^[3] Этот выбор является не только условием: понятие дипольного момента по существу происходит из механического понятия крутящего момента, и, как и в механике, с вычислительной и теоретической точки зрения полезно выбрать центр масс в качестве точки наблюдения. Для заряженной молекулы ориентиром должен быть центр заряда, а не центр масс. Для нейтральных систем точка отсчета не важна. Дипольный момент - это внутреннее свойство системы.

Потенциал и поле электрического диполя [ править ]

Идеальный диполь состоит из двух противоположных зарядов с бесконечно малым разделением. Мы вычисляем потенциал и поле такого идеального диполя, начиная с двух противоположных зарядов на расстоянии d> 0 и принимая предел при d → 0.

Два близко расположенных противоположных заряда ± q имеют потенциал вида:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\ =\ {\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right|}}-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right|}}\ ,}$

где разделение зарядов:

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-}\ ,\ \ \ d=|\mathbf {d} |\,.}$

Пусть R обозначает вектор положения относительно средней точки и соответствующий единичный вектор:${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}}$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}},\quad {\hat {\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {R} }{R}}\ ,}$

Разложение Тейлора в (см. Мультипольное разложение и квадруполь ) выражает этот потенциал в виде ряда. ^{[4] [5]}${\displaystyle {\tfrac {d}{R}}}$

${\displaystyle \phi (\mathbf {R} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}+O\left({\frac {d^{2}}{R^{2}}}\right)\ \approx \ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}\ ,}$

где члены более высокого порядка в ряду исчезают на больших расстояниях R по сравнению с d . ^[6] Здесь электрический дипольный момент p , как указано выше:

${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} \ .}$

Результат для дипольного потенциала также может быть выражен как: ^[7]

${\displaystyle \phi (\mathbf {R} )=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\ ,}$

который связывает дипольный потенциал с точечным зарядом. Ключевым моментом является то, что потенциал диполя падает быстрее с расстоянием R, чем потенциал точечного заряда.

Электрическое поле диполя представляет собой отрицательный градиент потенциала, приводящий к: ^[7]

${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {R} \right)={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\right){\hat {\mathbf {R} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}\ .}$

Таким образом, хотя два близко расположенных противоположных заряда не совсем идеальный электрический диполь (потому что их потенциал на коротких расстояниях не диполь), на расстояниях, намного больших, чем их разделение, их дипольный момент p появляется непосредственно в их потенциале и поле.

Когда два заряда сближаются ( d становится меньше), дипольный член в мультипольном расширении на основе отношения d / R становится единственным значимым членом на все более близких расстояниях R , а в пределе бесконечно малого разделения дипольный член в этом расширении все, что имеет значение. Однако, поскольку d делается бесконечно малым, дипольный заряд должен увеличиваться, чтобы поддерживать p постоянным. Этот ограничивающий процесс приводит к «точечному диполю».

Плотность дипольного момента и плотность поляризации [ править ]

Дипольный момент массива зарядов,

${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\mathbf {d_{i}} \ ,}$

определяет степень полярности массива, но для нейтрального массива это просто свойство вектора массива без информации об абсолютном расположении массива. Дипольный момент плотность массива р ( г ) содержит как местоположение массива и его дипольный момент. Когда приходит время вычислить электрическое поле в некоторой области, содержащей массив, уравнения Максвелла решаются, и информация о массиве зарядов содержится в плотности поляризации P ( r ) уравнений Максвелла. В зависимости от того, насколько детально требуется оценка электрического поля, более или менее информация о массиве зарядов должна быть выражена через P (г ). Как поясняется ниже, иногда достаточно точно взять P ( r ) = p ( r ). Иногда требуется более подробное описание (например, дополнение плотности дипольного момента дополнительной квадрупольной плотностью), а иногда даже более сложные версии P ( r ).

Теперь исследуется, каким образом плотность поляризации P ( r ), входящая в уравнения Максвелла, связана с дипольным моментом p всего нейтрального массива зарядов, а также с плотностью дипольного момента p ( r ) (которая описывает не только дипольный момент, но также и расположение массива). Далее рассматриваются только статические ситуации, поэтому P (r) не зависит от времени и нет тока смещения . Сначала обсудим плотность поляризации P ( r ). За этим обсуждением следует несколько конкретных примеров.

Формулировка уравнений Максвелла, основанная на разделении зарядов и токов на «свободные» и «связанные» заряды и токи, приводит к введению D- и P- полей:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ ,}$

где P называется плотностью поляризации . В этой формулировке дивергенция этого уравнения дает:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} +\nabla \cdot \mathbf {P} \ ,}$

а так как член дивергенции в E - это полный заряд, а ρ _f - «свободный заряд», мы остаемся с соотношением:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{b}\ ,}$

с ρ _b в качестве связанного заряда, под которым понимается разница между полной и свободной плотностями заряда.

Кстати, в отсутствие магнитных эффектов уравнения Максвелла указывают, что

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\boldsymbol {0}}\ ,}$

что подразумевает

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {D} -\mathbf {P} \right)={\boldsymbol {0}}\ ,}$

Применение разложения Гельмгольца : ^[8]

${\displaystyle \mathbf {D-P=-\nabla } \varphi \ ,}$

для некоторого скалярного потенциала φ , и:

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {D} -\mathbf {P} )=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{f}+\rho _{b}=-\nabla ^{2}\varphi \ .}$

Предположим, что заряды разделены на свободные и связанные, а потенциал разделен на

${\displaystyle \varphi =\varphi _{f}+\varphi _{b}\ .}$

Удовлетворение граничных условий на φ можно произвольно разделить между φ _f и φ _b, потому что только сумма φ должна удовлетворять этим условиям. Отсюда следует, что P просто пропорционально электрическому полю из-за зарядов, выбранных как связанные, с граничными условиями, которые оказываются удобными. ^{[9] [10]} В частности, когда нет свободного заряда нет, один возможный выбор Р = ε ₀ Е .

Далее обсуждается, как несколько различных описаний дипольного момента среды связаны с поляризацией, входящей в уравнения Максвелла.

Среда с зарядовой и дипольной плотностями [ править ]

Как описано ниже, модель для плотности поляризационного момента p ( r ) приводит к поляризационному

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} (\mathbf {r} )\,}$

ограничен той же моделью. Для плавно изменяющегося распределения дипольного момента p ( r ) соответствующая плотность связанного заряда просто

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\rho _{b},}$

как мы вскоре установим путем интеграции по частям . Однако, если p ( r ) демонстрирует резкий скачок дипольного момента на границе между двумя областями, ∇ · p ( r ) приводит к компоненту связанного заряда на поверхности. Этот поверхностный заряд можно обработать с помощью поверхностного интеграла или с помощью условий разрыва на границе, как показано в различных примерах ниже.

В качестве первого примера, связывающего дипольный момент с поляризацией, рассмотрим среду, состоящую из непрерывной плотности заряда ρ ( r ) и непрерывного распределения дипольного момента p ( r ). ^[11] Потенциал в позиции r равен: ^{[12] [13]}

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ +{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0},}$

где ρ ( r ) - плотность неспаренного заряда, а p ( r ) - плотность дипольного момента. ^[14] Использование удостоверения:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}}$

интеграл поляризации можно преобразовать:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\\={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\end{aligned}}}$

где на последних шагах использовалась векторная идентичность . Первый член может быть преобразован в интеграл по поверхности, ограничивающей объем интегрирования, и вносит вклад в поверхностную плотность заряда, которая обсуждается позже. Возврат этого результата в потенциал и игнорирование поверхностного заряда:${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow \mathbf {A} \cdot (\nabla {B})=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}}$

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ ,}$

где объемное интегрирование распространяется только до ограничивающей поверхности и не включает эту поверхность.

Потенциал определяется общим зарядом, который, как показано выше, состоит из:

${\displaystyle \rho _{\text{total}}\left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\ ,}$

показывая, что:

${\displaystyle -\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho _{b}\ .}$

Короче говоря, плотность дипольного момента p ( r ) играет роль плотности поляризации P для этой среды. Обратите внимание, что p ( r ) имеет ненулевую дивергенцию, равную плотности связанного заряда (как моделируется в этом приближении).

Можно отметить, что этот подход может быть расширен для включения всех мультиполей: диполя, квадруполя и т. Д. ^{[15] [16]} Используя соотношение:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}\ ,}$

плотность поляризации оказывается равной:

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} _{\text{dip}}-\nabla \cdot \mathbf {p} _{\text{quad}}+\ldots \ ,}$

где добавленные члены предназначены для обозначения вкладов от более высоких мультиполей. Очевидно, включение более высоких мультиполей означает, что плотность поляризации P больше не определяется только плотностью дипольного момента p . Например, при рассмотрении рассеяния от массива зарядов разные мультиполи рассеивают электромагнитную волну по-разному и независимо, что требует представления зарядов, выходящего за рамки дипольного приближения. ^[17]

Поверхностный заряд [ править ]

Выше было отложено обсуждение первого члена в выражении для потенциала, обусловленного диполями. Интегрирование расходимости приводит к поверхностному заряду. Рисунок справа дает интуитивное представление о том, почему возникает поверхностный заряд. На рисунке показан однородный массив идентичных диполей между двумя поверхностями. Внутри головы и хвосты диполей смежны и сокращаются. Однако на ограничивающих поверхностях отмены не происходит. Вместо этого на одной поверхности головки диполя создают положительный поверхностный заряд, а на противоположной поверхности хвосты диполя создают отрицательный поверхностный заряд. Эти два противоположных поверхностных заряда создают чистое электрическое поле в направлении, противоположном направлению диполей.

Этой идее придается математическая форма с использованием приведенного выше потенциального выражения. Если не брать в расчет бесплатную плату, есть вероятность:

${\displaystyle \phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ .}$

Используя теорему о дивергенции, член дивергенции превращается в поверхностный интеграл:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}\\={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot d\mathbf {A} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ ,\end{aligned}}}$

с d A ₀ - элемент площади поверхности. В случае, если p ( r ) является константой, сохраняется только поверхностный член:

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\ ,}$

с d A ₀ - элементарный участок поверхности, ограничивающий заряды. Другими словами, потенциал из-за постоянного p внутри поверхности эквивалентен потенциалу поверхностного заряда

${\displaystyle \sigma =\mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} }$

который является положительным для элементов поверхности с компонентом в направлении p и отрицательным для элементов поверхности, направленных в противоположную сторону . (Обычно за направление поверхностного элемента берется направление внешней нормали к поверхности в месте расположения элемента.)

Если ограничивающая поверхность является сферой, а точка наблюдения находится в центре этой сферы, интегрирование по поверхности сферы равно нулю: положительный и отрицательный вклады поверхностного заряда в потенциал сокращаются. Однако, если точка наблюдения смещена от центра, может возникнуть чистый потенциал (в зависимости от ситуации), потому что положительные и отрицательные заряды находятся на разных расстояниях от точки наблюдения. ^[18] Поле из-за поверхностного заряда:

${\displaystyle \mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla _{\mathbf {r} }\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\ ,}$

который в центре сферической ограничивающей поверхности не равен нулю ( поля отрицательных и положительных зарядов на противоположных сторонах центра складываются, потому что оба поля указывают одинаково), а вместо этого: ^[19]

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{3\varepsilon _{0}}}\ .}$

Если мы предположим, что поляризация диполей была вызвана внешним полем, поле поляризации противостоит приложенному полю и иногда называется полем деполяризации . ^{[20] [21]} В случае, когда поляризация находится вне сферической полости, поле в полости из-за окружающих диполей находится в том же направлении, что и поляризация. ^[22]

В частности, если ввести электрическую восприимчивость через приближение:

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\ ,}$

где E в этом случае и в дальнейшем представляет внешнее поле, индуцирующее поляризацию.

Потом:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\nabla \cdot \left(\chi (\mathbf {r} )\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\right)=-\rho _{b}\ .}$

Всякий раз, когда χ ( r ) используется для моделирования скачка ступеньки на границе между двумя областями, ступенька создает слой поверхностного заряда. Например, интегрирование по нормали к ограничивающей поверхности от точки внутри одной поверхности до другой точки снаружи:

${\displaystyle \varepsilon _{0}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \left[\chi \left(\mathbf {r} _{+}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{+}\right)-\chi \left(\mathbf {r} _{-}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{-}\right)\right]={\frac {1}{A_{n}}}\int d\Omega _{n}\ \rho _{b}=0\ ,}$

где A _n , Ω _n обозначают площадь и объем элементарной области, охватывающей границу между областями, и единицу нормали к поверхности. Правая часть исчезает при уменьшении объема, поскольку ρ _b конечно, что указывает на разрыв в E и, следовательно, на поверхностный заряд. То есть, когда моделируемая среда включает ступеньку диэлектрической проницаемости, плотность поляризации, соответствующая плотности дипольного момента${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

${\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$

обязательно включает вклад поверхностного заряда. ^{[23] [24] [25]}

Физически более реалистичное моделирование p ( r ) привело бы к быстрому падению плотности дипольного момента, но плавно до нуля на границе ограничивающей области, вместо того, чтобы делать внезапный шаг к нулевой плотности. Тогда поверхностный заряд не будет концентрироваться на бесконечно тонкой поверхности, а вместо этого, будучи дивергенцией плавно изменяющейся плотности дипольного момента, будет распределяться по тонкому, но конечному переходному слою.

Диэлектрическая сфера в однородном внешнем электрическом поле [ править ]

Приведенные выше общие замечания о поверхностном заряде конкретизируются на примере диэлектрического шара в однородном электрическом поле. ^{[27] [28]} Обнаружено, что сфера принимает поверхностный заряд, связанный с дипольным моментом ее внутренней части.

Предполагается, что однородное внешнее электрическое поле направлено в направлении z , и вводятся сферически-полярные координаты, поэтому потенциал, создаваемый этим полем, равен:

${\displaystyle \phi _{\infty }=-E_{\infty }z=-E_{\infty }r\cos \theta \ .}$

Предполагается, что сфера описывается диэлектрической проницаемостью κ , т. Е.

${\displaystyle \mathbf {D} =\kappa \epsilon _{0}\mathbf {E} \ ,}$

а внутри сферы потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Пропуская некоторые детали, решение внутри сферы таково:

${\displaystyle \phi _{<}=Ar\cos \theta \ ,}$

находясь вне сферы:

${\displaystyle \phi _{>}=\left(Br+{\frac {C}{r^{2}}}\right)\cos \theta \ .}$

На больших расстояниях φ _> → φ _∞, поэтому B = - E _∞ . Непрерывность потенциала и радиальная составляющая смещения D = κε ₀ E определяют две другие константы. Предположим, что радиус сферы равен R ,

${\displaystyle A=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }\ ;\ C={\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }R^{3}\ ,}$

Как следствие, потенциал:

${\displaystyle \phi _{>}=\left(-r+{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}{\frac {R^{3}}{r^{2}}}\right)E_{\infty }\cos \theta \ ,}$

который является потенциалом из-за приложенного поля и, кроме того, диполя в направлении приложенного поля (направление z ) дипольного момента:

${\displaystyle \mathbf {p} =4\pi \varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}R^{3}\right)\mathbf {E} _{\infty }\ ,}$

или на единицу объема:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\ .}$

Фактор ( κ - 1) / ( κ + 2) называется фактором Клаузиуса – Моссотти и показывает, что индуцированная поляризация меняет знак, если κ <1. Конечно, этого не может произойти в этом примере, но в примере с двумя разными диэлектрики κ заменяется отношением диэлектрической проницаемости внутренней и внешней области, которое может быть больше или меньше единицы. Потенциал внутри сферы:

${\displaystyle \phi _{<}=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }r\cos \theta \ ,}$

ведущее к полю внутри сферы:

${\displaystyle -\nabla \phi _{<}={\frac {3}{\kappa +2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\ ,}$

показывая деполяризующий эффект диполя. Обратите внимание, что поле внутри сферы однородно и параллельно приложенному полю. Дипольный момент однороден по всей внутренней части сферы. Плотность поверхностного заряда на сфере - это разность радиальных компонент поля:

${\displaystyle \sigma =3\varepsilon _{0}{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }\cos \theta ={\frac {1}{V}}\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\ .}$

Этот пример линейного диэлектрика показывает, что обработка диэлектрической постоянной эквивалентна модели однородного дипольного момента и приводит к нулевому заряду везде, кроме поверхностного заряда на границе сферы.

Общие СМИ [ править ]

Если наблюдение ограничено областями, достаточно удаленными от системы зарядов, можно сделать мультипольное разложение точной плотности поляризации. При усечении этого разложения (например, с сохранением только дипольных членов или только дипольных и квадрупольных членов и т. Д. ) Результаты предыдущего раздела восстанавливаются. В частности, усекая расширение на дипольном члене, результат неотличим от плотности поляризации, создаваемой однородным дипольным моментом, ограниченным областью заряда. Для точности этого дипольного приближения, как показано в предыдущем разделе, плотность дипольного момента p ( r ) (которая включает не только p, но и местоположение p ) служит в качестве P( г ).

В местах внутри массива зарядов для подключения массива парных зарядов к приближению, включающему только плотность дипольного момента p ( r ), требуются дополнительные соображения. Самым простым приближением является замена массива зарядов моделью идеальных (бесконечно удаленных) диполей. В частности, как и в приведенном выше примере, где используется постоянная плотность дипольного момента, ограниченная конечной областью, возникают поверхностный заряд и поле деполяризации. Более общая версия этой модели (которая позволяет изменять поляризацию в зависимости от положения) - это обычный подход, использующий электрическую восприимчивость или электрическую диэлектрическую проницаемость .

Более сложная модель массива точечных зарядов вводит эффективную среду путем усреднения микроскопических зарядов; ^[21], например, усреднение может сделать так, чтобы только дипольные поля играли роль. ^{[29] [30]} Связанный подход состоит в том, чтобы разделить заряды на те, которые находятся рядом с точкой наблюдения, и на те, которые находятся достаточно далеко, чтобы допустить мультипольное расширение. Затем соседние заряды вызывают локальные полевые эффекты . ^{[19] [31]} В обычной модели этого типа удаленные заряды рассматриваются как однородная среда с использованием диэлектрической проницаемости, а соседние заряды рассматриваются только в дипольном приближении. ^[32]Приближение среды или массива зарядов только диполями и связанной с ними плотностью дипольного момента иногда называют приближением точечного диполя, приближением дискретного диполя или просто дипольным приближением . ^{[33] [34] [35]}

Электрические дипольные моменты элементарных частиц [ править ]

Было высказано предположение , что аномальный электрический дипольный момент быть объединены в этом разделе. ( Обсудить ) Предлагается с июня 2020 года.

Не следует путать со спином, который относится к магнитным дипольным моментам частиц, большая экспериментальная работа продолжается по измерению электрических дипольных моментов (ЭДМ) фундаментальных и составных частиц, а именно электронов и нейтронов , соответственно. Поскольку EDM нарушают симметрию как четности (P), так и симметрии обращения времени (T), их значения дают в основном независимую от модели меру CP-нарушения в природе (при условии, что CPT-симметрия действительна). ^[36] Таким образом, значение этих ЭОГО место сильных ограничений на масштаб СР-нарушение , что дополнения к стандартной модели изфизика элементарных частиц может позволить. Текущие поколения экспериментов разработаны так, чтобы быть чувствительными к диапазону суперсимметрии EDM, обеспечивая дополнительные эксперименты по сравнению с экспериментами, проводимыми на LHC . ^[37]

Действительно, многие теории несовместимы с текущими пределами и были фактически исключены, а устоявшаяся теория допускает гораздо большее значение, чем эти пределы, что приводит к сильной проблеме CP и побуждает к поискам новых частиц, таких как аксион . ^[38]

Дипольные моменты молекул [ править ]

Дипольные моменты в молекулах ответственны за поведение вещества в присутствии внешних электрических полей. Диполи имеют тенденцию быть ориентированными на внешнее поле, которое может быть постоянным или зависящим от времени. Этот эффект лежит в основе современной экспериментальной техники, называемой диэлектрической спектроскопией .

Дипольные моменты можно найти в обычных молекулах, таких как вода, а также в биомолекулах, таких как белки. ^[39]

С помощью полного дипольного момента некоторого материала можно вычислить диэлектрическую проницаемость, которая связана с более интуитивным понятием проводимости. Если - полный дипольный момент образца, то диэлектрическая проницаемость определяется выражением${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\rm {Tot}}\,}$

${\displaystyle \epsilon =1+k\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle }$

где k - постоянная величина, а - временная корреляционная функция полного дипольного момента. Обычно в общий дипольный момент вносят вклады поступательные и вращательные движения молекул в образце,${\displaystyle \left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0){\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0)\right\rangle }$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}={\mathcal {M}}_{\text{Trans}}+{\mathcal {M}}_{\text{Rot}}.}$

Следовательно, в диэлектрическую проницаемость (и проводимость) входят оба члена. Этот подход можно обобщить для вычисления частотно-зависимой диэлектрической проницаемости. ^[40]

Можно рассчитать дипольные моменты из теории электронной структуры , либо как реакцию на постоянные электрические поля, либо из матрицы плотности. ^[41] Такие значения, однако, нельзя напрямую сравнивать с экспериментом из-за потенциального наличия ядерных квантовых эффектов, которые могут быть существенными даже для простых систем, таких как молекула аммиака. ^[42] Теория связанных кластеров (особенно CCSD (T) ^[43] ) может дать очень точные дипольные моменты ^[44], хотя можно получить разумные оценки (в пределах примерно 5%) из теории функционала плотности , особенно если гибридные или двойные используются гибридные функционалы. ^[45]Дипольный момент молекулы также можно рассчитать на основе молекулярной структуры с использованием концепции методов группового вклада. ^[46]

См. Также [ править ]

Ссылки и встроенные примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Мелвин Шварц (1987). "Электрический ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ" . Принципы электродинамики (переиздание изд. 1972 г.). Courier Dover Publications. п. 49 сл . ISBN 978-0-486-65493-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Электрический дипольный момент - из книги Эрика Вайсштейна "Мир физики"
• Мультифизическая модель электростатического диполя ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}