В физике , в частности электромагнитизма , то закон Био-Савара ( / б я oʊ с ə против ɑːr / или / б J oʊ с ə против ɑːr / ) [1] является уравнение , описывающее магнитное поле генерируется на константу электрический ток . Он связывает магнитное поле с величиной, направлением, длиной и близостью электрического тока. Закон Био – Савара является фундаментальным для магнитостатики., играющий роль, аналогичную закону Кулона в электростатике . Когда магнитостатика неприменима, закон Био – Савара следует заменить уравнениями Ефименко . Закон действует в магнитостатическом приближении , и в соответствии с обеими циркуляционным законом Ампера и законом Гаусса для магнетизма . [2] Он назван в честь Жана-Батиста Биота и Феликса Савара , которые обнаружили эту связь в 1820 году.
Уравнение
Электрические токи (по замкнутой кривой / проводу)
Закон Био-Савара используется для вычисления результирующего магнитного поля B в позиции r в трехмерном пространстве, создаваемого гибким током I (например, из-за провода). Постоянный (или стационарный) ток - это непрерывный поток зарядов, который не меняется со временем, и заряд не накапливается и не истощается в любой момент. Закон является физическим примером линейного интеграла , оцениваемого по пути C, по которому протекают электрические токи (например, по проводу). Уравнение в единицах СИ имеет вид [3]
где вектор по пути величина которого равна длине дифференциального элемента провода в направлении обычного тока . точка на пути . - полный вектор смещения от проволочного элемента () в точке до точки, в которой поле вычисляется (), μ 0 - магнитная постоянная . Альтернативно:
где это единичный вектор из. Полужирным шрифтом обозначены векторные величины .
Интеграл обычно вычисляется по замкнутой кривой , поскольку стационарные электрические токи могут течь по замкнутым путям только тогда, когда они ограничены. Тем не менее, закон также относится и к бесконечно длинным проводам (эта концепция была использована в определении единицы СИ электрического тока в- амперы -until 20 мая 2019).
Чтобы применить уравнение, произвольно выбирается точка в пространстве, где должно быть вычислено магнитное поле (). Удерживая эту точку неподвижной, вычисляется линейный интеграл по пути электрического тока, чтобы найти полное магнитное поле в этой точке. Применение этого закона неявно основывается на принципе суперпозиции для магнитных полей, то есть на том факте, что магнитное поле является векторной суммой полей, создаваемых каждым бесконечно малым участком провода в отдельности. [4]
Существует также двухмерная версия уравнения Био – Савара, используемая, когда источники инвариантны в одном направлении. В общем, ток не обязательно должен течь только в плоскости, перпендикулярной инвариантному направлению, и он задается формулой( плотность тока ). Итоговая формула:
Плотность электрического тока (по объему проводника)
Приведенные выше формулировки хорошо работают, когда ток можно приблизительно представить как проходящий по бесконечно узкому проводу. Если проводник имеет некоторую толщину, правильная формулировка закона Био – Савара (опять же в единицах СИ ) следующая:
где - вектор от dV до точки наблюдения , - элемент объема , а- вектор плотности тока в этом объеме (в СИ в единицах А / м 2 ).
В терминах единичного вектора
Постоянный равномерный ток
В частном случае однородного постоянного тока I магнитное поле является
т.е. ток можно вывести из интеграла.
Точечный заряд с постоянной скоростью
В случае точечной заряженной частицы q, движущейся с постоянной скоростью v , уравнения Максвелла дают следующее выражение для электрического и магнитного полей: [5]
где - единичный вектор, указывающий от текущего (без запаздывания) положения частицы до точки, в которой измеряется поле, а θ - угол между а также .
Когда v 2 ≪ c 2 , электрическое поле и магнитное поле можно аппроксимировать как [5]
Эти уравнения были впервые выведены Оливером Хевисайдом в 1888 году. Некоторые авторы [6] [7] называют приведенное выше уравнение для«закон Био – Савара для точечного заряда» из-за его близкого сходства со стандартным законом Био – Савара. Однако этот язык вводит в заблуждение, поскольку закон Био – Савара применим только к установившимся токам, а точечный заряд, движущийся в пространстве, не составляет установившегося тока. [8]
Приложения с магнитными откликами
Закон Био-Савара может использоваться при вычислении магнитных откликов даже на атомном или молекулярном уровне, например, химической защиты или магнитной восприимчивости , при условии, что плотность тока может быть получена из квантово-механических расчетов или теории.
Приложения для аэродинамики
Закон Био – Савара также используется в аэродинамической теории для расчета скорости, вызванной вихревыми линиями .
В аэродинамическом приложении роли завихренности и тока поменялись местами по сравнению с магнитным приложением.
В статье Максвелла 1861 года «О физических силовых линиях» [9] напряженность магнитного поля H напрямую приравнивалась к чистой завихренности (спину), тогда как B была взвешенной завихренностью, которая была взвешена по плотности вихревого моря. Максвелл считал магнитную проницаемость μ мерой плотности вихревого моря. Следовательно, отношения,
- Ток магнитной индукции
- Электроконвекционный ток
Уравнение электрического тока можно рассматривать как конвективный ток электрического заряда, который включает линейное движение. По аналогии, магнитное уравнение представляет собой индуктивный ток, включающий спин. В индуктивном токе нет линейного движения в направлении вектора B. Магнитный индукционный ток представляет собой силовые линии. В частности, он представляет собой линии силы закона обратных квадратов.
В аэродинамике индуцированные воздушные потоки образуют соленоидальные кольца вокруг оси вихря. Можно провести аналогию с тем, что ось вихря играет роль электрического тока в магнетизме. Это ставит воздушные потоки в аэродинамике (поле скорости жидкости) на эквивалентную роль вектора магнитной индукции B в электромагнетизме.
В электромагнетизме линии B образуют соленоидальные кольца вокруг источника электрического тока, тогда как в аэродинамике воздушные потоки (скорость) образуют соленоидальные кольца вокруг оси источника вихря.
Следовательно, в электромагнетизме вихрь играет роль «следствия», тогда как в аэродинамике вихрь играет роль «причины». Тем не менее, когда мы смотрим на линии B изолированно, мы видим в точности аэродинамический сценарий, поскольку B - ось вихря, а H - окружная скорость, как в статье Максвелла 1861 года.
В двух измерениях для вихревой линии бесконечной длины индуцированная скорость в точке определяется выражением
где Γ - сила вихря, а r - расстояние по перпендикуляру между точкой и линией вихря. Это похоже на магнитное поле, создаваемое на плоскости бесконечно длинным прямым тонким проводом, перпендикулярным плоскости.
Это предельный случай формулы для вихревых сегментов конечной длины (аналогично конечной проволоке):
где A и B - углы (со знаком) между линией и двумя концами сегмента.
Закон Био – Савара, закон обхода Ампера и закон Гаусса для магнетизма
В магнитостатической ситуации магнитное поле B, рассчитанное по закону Био – Савара, всегда будет удовлетворять закону Гаусса для магнетизма и закону Ампера : [10]
Схема доказательства [10] (Щелкните «показать» справа.) Начиная с закона Био – Савара: Подставляя отношение
и используя правило произведения для локонов , а также тот факт, что J не зависит от, это уравнение можно переписать в виде [10]
Поскольку расходимость ротора всегда равна нулю, это устанавливает закон Гаусса для магнетизма . Затем, взяв локон с обеих сторон, используя формулу для локона локона , и снова используя тот факт, что J не зависит от, в итоге получаем результат [10]
Наконец, подключив отношения [10]
(где δ - дельта-функция Дирака ), используя тот факт, что дивергенция J равна нулю (из-за предположения о магнитостатике ), и выполняя интегрирование по частям , результат оказывается следующим [10]
т.е. закон Ампера . (Из-за предположения о магнитостатике ,, поэтому в законе Ампера нет дополнительного члена тока смещения .)
В , не -magnetostatic ситуации, закон Био-Савара перестает быть истинным (оно вытесняется Уравнения Ефименко ), в то время как закон Гаусса для магнетизма и закон Максвелла-Ампера по - прежнему верно.
Смотрите также
Люди
- Жан-Батист Биот
- Феликс Савар
- Андре-Мари Ампер
- Джеймс Клерк Максвелл
Электромагнетизм
- Уравнения Максвелла
- Закон Ампера
- Магнетизм
- Закон Кулона
- Лагранжиан Дарвина
Заметки
- ^ "Закон Био-Савара" . Полный словарь Рэндом Хауса Вебстера .
- ^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили. Глава 5. ISBN 0-471-30932-X.
- ^ Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9
- ^ Принцип суперпозиции справедлив для электрического и магнитного полей, потому что они являются решением набора линейных дифференциальных уравнений , а именно уравнений Максвелла , где ток является одним из «исходных членов».
- ^ а б Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.) . Прентис Холл. С. 222–224, 435–440 . ISBN 0-13-805326-X.
- ^ Рыцарь, Рэндалл (2017). Физика для ученых и инженеров (4-е изд.). Pearson Higher Ed. п. 800.
- ^ «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2009-06-19 . Проверено 30 сентября 2009 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ См. Предостерегающую сноску в Griffiths p. 219 или обсуждение в Jackson p. 175–176.
- ^ Максвелл, Дж. К. «О физических силовых линиях» (PDF) . Wikimedia Commons . Проверено 25 декабря 2011 года .
- ^ a b c d e f См. Джексон, стр. 178–79 или Гриффитс, стр. 222–24. Изложение в Griffiths особенно обстоятельно, со всеми подробностями прописано.
Рекомендации
- Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.
- Фейнман, Ричард (2005). Лекции Фейнмана по физике (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-9045-2.
дальнейшее чтение
- Электричество и современная физика (2-е издание), GAG Bennet, Edward Arnold (UK), 1974, ISBN 0-7131-2459-8
- Основные принципы физики, PM Уилан, MJ Hodgeson, 2-е издание, 1978, Джон Мюррей, ISBN 0-7195-3382-1
- Кембриджский справочник по физическим формулам, Дж. Воан, Cambridge University Press, 2010 г., ISBN 978-0-521-57507-2 .
- Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), П.А. Типлер, Г. Моска, Фриман, 2008 г., ISBN 0-7167-8964-7
- Энциклопедия физики (2-е издание), RG Lerner , GL Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
- Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с законом Био-Савара на Викискладе?
- Электромагнетизм , Б. Кроуэлл, Фуллертонский колледж
- MISN-0-125 Закон Ампера – Лапласа – Био – Савара Ориллы МакХаррис и Питера Сигнелла для проекта PHYSNET .
- Магнитное поле круговой петли с электрическим током , Иллюстрация закона Био – Савара.