Плотность поляризации

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

В классическом электромагнетизме , плотность поляризации (или электрическая поляризация , или просто поляризации ) является векторным полем , которое выражает плотность постоянных или индуцированные электрические дипольные моментов в диэлектрическом материале. Когда диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле , его молекулы приобретают электрический дипольный момент, и диэлектрик считается поляризованным. Электрический дипольный момент, индуцированный на единицу объема диэлектрического материала, называется электрической поляризацией диэлектрика. ^{[1] [2]}

Плотность поляризации также описывает, как материал реагирует на приложенное электрическое поле, а также то, как материал изменяет электрическое поле, и может использоваться для расчета сил, возникающих в результате этих взаимодействий. Его можно сравнить с намагниченностью , которая является мерой соответствующего отклика материала на магнитное поле в магнетизме . СИ единица измерения кулоны на квадратный метр и плотность поляризации представлена вектор P . ^[2]

Определение [ править ]

Внешнее электрическое поле, приложенное к диэлектрическому материалу, вызывает смещение связанных заряженных элементов. Это элементы, которые связаны с молекулами и не могут свободно перемещаться по материалу. Положительно заряженные элементы смещаются в направлении поля, а отрицательно заряженные элементы смещаются противоположно направлению поля. Молекулы могут оставаться нейтральными по заряду, но возникает электрический дипольный момент. ^{[3] [4]}

Для некоторого элемента объема в материале, несущего дипольный момент , определим плотность поляризации P :${\ displaystyle \ Delta V}$${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {P} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {p}} {\ Delta V}}}$

Обычно дипольный момент меняется от точки к точке внутри диэлектрика. Следовательно, плотность поляризации P диэлектрика внутри бесконечно малого объема d V с бесконечно малым дипольным моментом d p равна:${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {P} = {\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ over \ mathrm {d} V} \ qquad (1)}$

Чистый заряд, возникающий в результате поляризации, называется связанным зарядом и обозначается .${\ displaystyle Q_ {b}}$

Это определение плотности поляризации как «дипольного момента на единицу объема» широко используется, хотя в некоторых случаях может приводить к двусмысленностям и парадоксам. ^[5]

Другие выражения [ править ]

Пусть внутри диэлектрика изолирован объем d V. Из-за поляризации положительный связанный заряд будет смещен на расстояние относительно отрицательного связанного заряда , что приведет к возникновению дипольного момента . Подстановка этого выражения в (1) дает${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbf {d}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} q_ {b} ^ {-}}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{b}\mathbf {d} }$

${\displaystyle \mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{b} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d} }$

Поскольку заряд, ограниченный в объеме d V , равен уравнению для P, становится: ^[3]${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}}$${\displaystyle \rho _{b}\mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\rho _{b}\mathbf {d} \qquad (2)}$

где - плотность связанного заряда в рассматриваемом объеме. Из приведенного выше определения ясно, что диполи в целом нейтральны, что уравновешивается равной плотностью противоположного заряда в объеме. Неуравновешенные платежи являются частью бесплатного сбора, описанного ниже.${\displaystyle \rho _{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$

Закон Гаусса для поля P [ править ]

Для данного объема V, окруженного поверхностью S , связанный заряд внутри него равен потоку P через S, взятому с отрицательным знаком, или${\displaystyle Q_{b}}$

${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \qquad (3)}$

Доказательство:

Пусть площадь поверхности S огибает часть диэлектрика. При поляризации отрицательные и положительные связанные заряды будут смещены. Пусть d 1 и d 2 - расстояния до связанных зарядов и соответственно от плоскости, образованной элементом области d A после поляризации. И пусть д V 1 и г V 2 будут объемы , заключенные ниже и выше область D A .${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}}$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}}$ Вверху: элементарный объем d V = d V 1 + d V 2 (ограниченный элементом площади d A ) настолько мал, что заключенный в него диполь можно рассматривать как произведенный двумя элементарными противоположными зарядами. Внизу вид сверху (щелкните изображение, чтобы увеличить). Отсюда следует, что отрицательный связанный заряд перемещался от внешней части поверхности d A внутрь, а положительный связанный заряд перемещался от внутренней части поверхности наружу.${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{-}=\rho _{b}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A}$${\displaystyle \mathrm {d} q_{b}^{+}=\rho _{b}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A}$ По закону сохранения заряда полный связанный заряд, оставшийся внутри объема после поляризации, равен:${\displaystyle \mathrm {d} Q_{b}}$${\displaystyle \mathrm {d} V}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{b}^{-}-\mathrm {d} q_{b}^{+}\\&=\rho _{b}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{b}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}}$ С ${\displaystyle \rho _{b}^{-}=-\rho _{b}}$ и (см. изображение справа) ${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}}$ Приведенное выше уравнение становится ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-\rho _{b}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{b}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{b}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}}$ Из (2) следует , что получаем:${\displaystyle \rho _{b}d=P}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{b}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{b}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}}$ И, интегрируя это уравнение по всей замкнутой поверхности S, находим, что ${\displaystyle -Q_{b}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$ что завершает доказательство.

Дифференциальная форма [ править ]

По теореме о расходимости закон Гаусса для поля P можно сформулировать в дифференциальной форме как:

${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} }$,

где ∇ · P - расходимость поля P через заданную поверхность, содержащую связанную плотность заряда .${\displaystyle \rho _{b}}$

Доказательство:

По теореме о расходимости имеем ${\displaystyle -Q_{b}=\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V}$, для объема V, содержащего связанный заряд . И поскольку это интеграл от плотности связанного заряда, взятый по всему объему V, заключенному в S , приведенное выше уравнение дает${\displaystyle Q_{b}}$${\displaystyle Q_{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$ ${\displaystyle -\iiint \limits _{V}\rho _{b}\ \mathrm {d} V=\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V}$, что верно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle -\rho _{b}=\nabla \cdot \mathbf {P} }$

Связь между полями P и E [ править ]

Однородные, изотропные диэлектрики [ править ]

В однородной , линейной, недисперсионной и изотропной диэлектрической среде поляризация выровнена и пропорциональна электрическому полю E : ^[7]

${\displaystyle \mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,}$

где ε ₀ - электрическая постоянная , χ - электрическая восприимчивость среды. Обратите внимание, что в этом случае χ упрощается до скаляра, хотя в более общем смысле это тензор . Это частный случай из-за изотропии диэлектрика.

Принимая во внимание эту связь между P и E , уравнение (3) принимает следующий вид: ^[3]

${\displaystyle -Q_{b}=\chi \varepsilon _{0}\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle {S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }$

Выражение в интеграле закон Гаусса для поля Е , который дает суммарный заряд, как свободный и связанный , в объеме V , ограниченной S . ^[3] Следовательно,${\displaystyle (Q_{f})}$${\displaystyle (Q_{b})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-Q_{b}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{f}+Q_{b}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{b}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{f},\end{aligned}}}$

которые можно записать в терминах плотности свободных и связанных зарядов (с учетом взаимосвязи между зарядами, их объемными плотностями заряда и заданным объемом):

${\displaystyle \rho _{b}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{f}}$

Поскольку внутри однородного диэлектрика не может быть свободных зарядов , из последнего уравнения следует, что в материале нет объемного связанного заряда . А поскольку свободные заряды могут подойти как можно ближе к диэлектрику, как и к его верхней поверхности, из этого следует, что поляризация вызывает только поверхностную плотность связанных зарядов (обозначенную, чтобы избежать неоднозначности с объемной плотностью связанных зарядов ). ^[3]${\displaystyle (\rho _{f}=0)}$${\displaystyle (\rho _{b}=0)}$${\displaystyle \sigma _{b}}$${\displaystyle \rho _{b}}$

${\displaystyle \sigma _{b}}$может быть связано с P следующим уравнением: ^[8]

${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$

где - вектор нормали к поверхности S, направленный наружу. (см. плотность заряда для строгого доказательства)${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}}$

Анизотропные диэлектрики [ править ]

Класс диэлектриков, в которых плотность поляризации и электрическое поле не совпадают, известен как анизотропные материалы.

В таких материалах i- я компонента поляризации связана с j- й компонентой электрического поля согласно: ^[7]

${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\epsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},}$

Это соотношение показывает, например, что материал может поляризоваться в направлении x, применяя поле в направлении z, и так далее. Случай анизотропной диэлектрической среды описывается областью кристаллооптики .

Как и в большинстве случаев электромагнетизма, это соотношение имеет дело с макроскопическими средними величинами полей и дипольной плотности, так что мы имеем континуальное приближение диэлектрических материалов, которое не учитывает поведения на атомном уровне. Поляризуемость отдельных частиц в среде может быть связана со средней восприимчивостью и плотности поляризации по отношению Клаузиус-Моссотти .

В общем, восприимчивость является функцией частоты приложенного поля ω . Когда поле произвольной функция времени Т , поляризация является свертка из преобразования Фурье по й ( & omega ) с Е ( т ). Это отражает тот факт, что диполи в материале не могут мгновенно реагировать на приложенное поле, и соображения причинности приводят к соотношениям Крамерса – Кронига .

Если поляризация P не линейно пропорциональна электрическому полю E , среда называется нелинейной и описывается полем нелинейной оптики . В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, при условии отсутствия постоянных дипольных моментов) P обычно задается рядом Тейлора по E , коэффициенты которого представляют собой нелинейные восприимчивости:

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\epsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots }$

где - линейная восприимчивость, - восприимчивость второго порядка (описывающая такие явления, как эффект Поккельса , оптическое выпрямление и генерация второй гармоники ), и - восприимчивость третьего порядка (описывающая эффекты третьего порядка, такие как эффект Керра и электрические индуцированное поле оптическое выпрямление).${\displaystyle \chi ^{(1)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

В сегнетоэлектрических материалах нет взаимно однозначного соответствия между P и E из-за гистерезиса .

Плотность поляризации в уравнениях Максвелла [ править ]

Поведение электрических полей ( E , D ), магнитных полей ( B , H ), плотности заряда (ρ) и плотности тока ( J ) описывается уравнениями Максвелла в материи .

Отношения между E, D и P [ править ]

С точки зрения объемной плотности заряда, плотность свободного заряда определяется выражением${\displaystyle \rho _{f}}$

${\displaystyle \rho _{f}=\rho -\rho _{b}}$

где - полная плотность заряда. Рассматривая связь каждого из членов приведенного выше уравнения с расходимостью их соответствующих полей (поля электрического смещения D , E и P в указанном порядке), это можно записать как: ^[9]${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .}$

Это известно как определяющее уравнение для электрических полей. Здесь ε ₀ - электрическая проницаемость пустого пространства. В этом уравнении P - это поле (отрицательное по отношению к полю), индуцированное в материале, когда «фиксированные» заряды, диполи, смещаются в ответ на общее нижележащее поле E , тогда как D - это поле из-за оставшихся зарядов, известное как «бесплатные» сборы. ^{[5] [10]}

Как правило, P изменяется в зависимости от E в зависимости от среды, как описано далее в статье. Во многих задачах удобнее работать с D и бесплатными зарядами, чем с E и полной зарядкой. ^[1]

Следовательно, поляризованная среда с помощью теоремы Грина может быть разделена на четыре компонента.

• Связанная объемная плотность заряда: ${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$
• Плотность связанного поверхностного заряда: ${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P} }$
• Свободная объемная плотность заряда: ${\displaystyle \rho _{f}=\nabla \cdot \mathbf {D} }$
• Плотность свободного поверхностного заряда: ${\displaystyle \sigma _{f}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D} }$

Плотность поляризации, изменяющаяся во времени [ править ]

Когда плотность поляризации изменяется со временем, зависящими от времени плотности связанного заряда создает поляризацию плотность тока из

${\displaystyle \mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$

так что полная плотность тока, которая входит в уравнения Максвелла, определяется как

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$

где J _f - плотность тока свободного заряда, а второй член - это плотность тока намагничивания (также называемая плотностью связанного тока ), вклад магнитных диполей атомного масштаба (если они есть).

Неопределенность поляризации ^{[ сомнительно - обсудить ]} [ править ]

Поляризация внутри твердого тела, как правило, не определяется однозначно: она зависит от того, какие электроны спарены с какими ядрами. ^[11] (См. Рисунок). Другими словами, два человека, Алиса и Боб, глядя на одно и то же тело, могут вычислить разные значения P , и ни один из них не ошибается. Алиса и Боб согласны с микроскопическим электрическим полем E в твердом теле, но не согласны с величиной поля смещения . Они оба обнаружат, что закон Гаусса верен ( ), но они не согласятся относительно значения${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}$${\displaystyle \rho _{f}}$на поверхности кристалла. Например, если Алиса интерпретирует объемное твердое тело как состоящее из диполей с положительными ионами наверху и отрицательными ионами внизу, но в реальном кристалле отрицательные ионы являются самой верхней поверхностью, тогда Алиса скажет, что на самой верхней поверхности имеется отрицательный свободный заряд. (Она могла бы рассматривать это как вид реконструкции поверхности ).

С другой стороны, даже при том , что значение Р не однозначно определена в объеме твердой, вариации в P имеют однозначно. ^[11] Если кристалл постепенно меняется от одной структуры к другой, внутри каждой элементарной ячейки будет ток из-за движения ядер и электронов. Этот ток приводит к макроскопической передаче заряда с одной стороны кристалла на другую, и поэтому его можно измерить амперметром (как и любой другой ток), когда провода прикреплены к противоположным сторонам кристалла. Время интеграл тока пропорционален изменению P . Ток можно рассчитать с помощью компьютерного моделирования (например, теории функционала плотности); формула для интегрального тока оказывается разновидностью фазы Берри . ^[11]

Неединственность P не является проблематичным, потому что каждое измеримое следствие P в действительности является следствием непрерывного изменения в P . ^[11] Например, когда материал помещается в электрическое поле E , которое возрастает от нуля до конечного значения, электронные и ионные позиции материала слегка сдвигаются. Это изменяет P , и в результате возникает электрическая восприимчивость (и, следовательно, диэлектрическая проницаемость ). В качестве другого примера, когда некоторые кристаллы нагреваются, их электронные и ионные позиции незначительно смещаться, изменение P . Результат - пироэлектричество.. Во всех случаях свойства , представляющие интерес, связанный с изменением в P .

Хотя поляризация в принципе не уникальна, на практике она часто (не всегда) определяется соглашением особым, уникальным образом. Например, в идеально центросимметричном кристалле P обычно условно определяется равным нулю. В качестве другого примера, в сегнетоэлектрическом кристалле, как правило, существует центросимметричная конфигурация выше температуры Кюри , и P определяется там по соглашению равным нулю. По мере того, как кристалл охлаждается ниже температуры Кюри, он постепенно переходит во все более и более нецентросимметричную конфигурацию. Поскольку постепенное изменение Pопределены однозначно, это соглашение дает уникальное значение P для сегнетоэлектрического кристалла, даже ниже его температуры Кюри.

Другая проблема в определении P связана с произвольным выбором «единицы объема», точнее, с масштабом системы . ^[5] Например, в микроскопическом масштабе плазму можно рассматривать как газ свободных зарядов, поэтому P должно быть равно нулю. Напротив, в макроскопическом масштабе та же плазма может быть описана в виде сплошной среды, демонстрируя диэлектрическую проницаемость и , следовательно , чистую поляризацию P ≠ 0 .${\displaystyle \varepsilon (\omega )\neq 1}$

См. Также [ править ]

• Кристальная структура
• Электрет
• Поляризация (значения)

Ссылки и примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с электрической поляризацией, на Викискладе?