Плотность заряда

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

В электромагнетизма , плотность заряда представляет собой количество электрического заряда на единицу длины , площади поверхности или объема . Объемная плотность заряда (обозначается греческой буквой ρ) - это количество заряда на единицу объема, измеряемое в системе СИ в кулонах на кубический метр (C⋅m ⁻³ ) в любой точке объема. ^{[1] [2] [3]} Плотность поверхностного заряда (σ) - это количество заряда на единицу площади, измеряемое в кулонах на квадратный метр (Кл · м ⁻² ), в любой точке нараспределение поверхностного заряда на двумерной поверхности. Линейная плотность заряда (λ) - это количество заряда на единицу длины, измеряемое в кулонах на метр (Кл · м ^-1 ), в любой точке линейного распределения заряда. Плотность заряда может быть как положительной, так и отрицательной, поскольку электрический заряд может быть как положительным, так и отрицательным.

Как и плотность массы, плотность заряда может меняться в зависимости от положения. В классической электромагнитной теории плотность заряда идеализируется как непрерывная скалярная функция положения , как жидкость, и ,, и обычно рассматриваются как непрерывные распределения заряда , даже если все реальные распределения заряда состоят из дискретных заряженных частиц. Из-за сохранения электрического заряда плотность заряда в любом объеме может измениться только в том случае, если электрический ток заряда течет в объем или из него. Это выражается уравнением неразрывности, которое связывает скорость изменения плотности заряда${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle \ sigma ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle \ lambda ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle \ rho ({\ boldsymbol {x}})}$и плотность тока .${\ displaystyle {\ boldsymbol {J}} ({\ boldsymbol {x}})}$

Поскольку весь заряд переносится субатомными частицами , которые можно идеализировать как точки, концепция непрерывного распределения заряда является приближением, которое становится неточным на малых масштабах длины. Распределение заряда в конечном итоге состоит из отдельных заряженных частиц, разделенных областями, не содержащими заряда. ^[4] Например, заряд в электрически заряженном металлическом объекте состоит из электронов проводимости, беспорядочно движущихся в кристаллической решетке металла . Статическое электричество вызывается поверхностными зарядами, состоящими из ионов на поверхности объектов, и пространственным зарядом в вакуумной трубке.состоит из облака свободных электронов, беспорядочно движущихся в пространстве. Плотность носителей заряда в проводнике равна количеству подвижных носителей заряда ( электронов , ионов и т. Д.) В единице объема. Плотность заряда в любой точке равна плотности носителей заряда, умноженной на элементарный заряд частиц. Однако из-за того, что элементарный заряд электрона настолько мал (1,6⋅10 ⁻¹⁹ Кл) и их так много в макроскопическом объеме (их примерно 10 ²² электронов проводимости в кубическом сантиметре меди) непрерывное приближение очень точное при применении к макроскопическим объемам и даже микроскопическим объемам выше нанометрового уровня.

В атомных масштабах, в связи с принципом неопределенности в квантовой механике , заряженная частица не имеет четкой позиции , но представляется распределением вероятностей , так что заряд отдельной частицы не концентрируется в точке , но «размазывается» в пространство и действует как истинное непрерывное распределение заряда. ^[4] Это значение терминов «распределение заряда» и «плотность заряда», используемых в химии и химической связи . Электрон представлен волновой функцией , квадрат которой пропорционален вероятности нахождения электрона в любой точке пространства, поэтому${\ displaystyle \ psi ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$${\ displaystyle | \ psi ({\ boldsymbol {x}}) | ^ {2}}$пропорциональна плотности заряда электрона в любой точке. В атомах и молекулах заряд электронов распределен в облаках, называемых орбиталями, которые окружают атом или молекулу и отвечают за химические связи .

Определения [ править ]

Непрерывные начисления [ править ]

Ниже приведены определения для непрерывного распределения заряда. ^{[5] [6]}

Линейная плотность заряда - это отношение бесконечно малого электрического заряда d Q (единица СИ: C ) к бесконечно малому линейному элементу ,

${\ displaystyle \ lambda _ {q} = {\ frac {dQ} {d \ ell}} \ ,, \ quad}$

аналогично поверхностная плотность заряда использует элемент площади поверхности d S

${\ displaystyle \ sigma _ {q} = {\ frac {dQ} {dS}} \ ,, \ quad}$

а объемная плотность заряда использует элемент объема d V

${\displaystyle \rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,\quad }$

Интегрирование определений дает полный заряд Q области в соответствии с линейным интегралом от линейной плотности заряда λ _q ( r ) по линии или 1d кривой C ,

${\displaystyle Q=\int \limits _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell }$

аналогично поверхностный интеграл от поверхностной плотности заряда σ _q ( r ) по поверхности S ,

${\displaystyle Q=\int \limits _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS}$

и объемный интеграл от объемной плотности заряда ρ _q ( r ) по объему V ,

${\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV}$

где нижний индекс q предназначен для пояснения, что плотность предназначена для электрического заряда, а не для других плотностей, таких как массовая плотность , числовая плотность , плотность вероятности , и предотвращает конфликт со многими другими использованиями λ, σ, ρ в электромагнетизме для длины волны , электрического сопротивления и проводимость .

В контексте электромагнетизма индексы обычно опускаются для простоты: λ, σ, ρ. Другие обозначения могут включать: ρ _ℓ , ρ _s , ρ _v , ρ _L , ρ _S , ρ _V и т. Д.

Общий заряд, разделенный на длину, площадь поверхности или объем, будет средней плотностью заряда:

${\displaystyle \langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.}$

Бесплатная, связанная и полная оплата [ править ]

В диэлектрических материалах общий заряд объекта можно разделить на «свободные» и «связанные» заряды.

Связанные заряды создают электрические диполи в ответ на приложенное электрическое поле E и поляризуют другие близлежащие диполи, стремясь выровнять их, суммарное накопление заряда из-за ориентации диполей является связанным зарядом. Они называются связанными, потому что их нельзя удалить: в диэлектрическом материале заряды - это электроны, связанные с ядрами . ^[6]

Свободные заряды - это избыточные заряды, которые могут переходить в электростатическое равновесие , то есть когда заряды не движутся, а результирующее электрическое поле не зависит от времени или составляет электрические токи . ^[5]

Общая плотность заряда [ править ]

С точки зрения объемной плотности заряда, общая плотность заряда составляет:

${\displaystyle \rho =\rho _{f}+\rho _{b}\,.}$

Что касается плотности поверхностного заряда:

${\displaystyle \sigma =\sigma _{f}+\sigma _{b}\,.}$

где нижние индексы «f» и «b» означают «свободный» и «связанный» соответственно.

Связанное обвинение [ править ]

Связанный поверхностный заряд - это заряд, накопленный на поверхности диэлектрика , определяемый дипольным моментом, перпендикулярным поверхности: ^[6]

${\displaystyle q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}}$

где s - расстояние между точечными зарядами, составляющими диполь, - электрический дипольный момент , - единичный вектор нормали к поверхности.${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Взяв бесконечно малые :

${\displaystyle dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}} }$

и деление на дифференциальный элемент поверхности dS дает плотность связанного поверхностного заряда:

${\displaystyle \sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.}$

где P - плотность поляризации , то есть плотность электрических дипольных моментов в материале, а dV - дифференциальный элемент объема .

Используя теорему о расходимости , плотность связанного объемного заряда в материале равна

${\displaystyle q_{b}=\iiint \rho _{b}dV=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=-\iiint \nabla \cdot \mathbf {P} dV}$

следовательно:

${\displaystyle \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.}$

Отрицательный знак возникает из-за противоположных знаков зарядов в диполях: один конец находится в объеме объекта, другой - на поверхности.

Ниже приводится более строгий вывод. ^[6]

Получение связанной поверхностной и объемной плотности заряда из внутренних дипольных моментов (связанных зарядов)

Электрический потенциал за счет дипольного момента D является: ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ Для непрерывного распределения материал можно разделить на бесконечно много бесконечно малых диполей. ${\displaystyle d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r} }$ где dV = d 3 r ′ - элемент объема, поэтому потенциал - это интеграл объема по объекту: ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'} }$ С ${\displaystyle \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ где ∇ ′ - градиент в координатах r ′ , ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'} }$ интеграция по частям ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'} }$ используя теорему о расходимости: ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$ который разделяется на потенциал поверхностного заряда ( поверхностный интеграл ) и потенциал, обусловленный объемным зарядом (объемный интеграл): ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'} }$ то есть ${\displaystyle \sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$

Плотность свободного заряда [ править ]

Плотность свободного заряда служит полезным упрощением закона Гаусса для электричества; объем интеграл от него есть свободное заряд , заключенное в заряженном объекте - равный чистый поток из поля электрического смещения D , выходящий из объекта:

${\displaystyle \Phi _{D}=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV}$

См. Уравнения Максвелла и определяющее соотношение для получения более подробной информации.

Однородная плотность заряда [ править ]

Для особого случая однородной плотности заряда ρ ₀ , не зависящей от положения, т.е. постоянной во всей области материала, уравнение упрощается до:

${\displaystyle Q=V\cdot \rho _{0}.}$

Доказательство этого сразу. Начнем с определения заряда любого объема:

${\displaystyle Q=\int \limits _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.}$

Тогда, по определению однородности, ρ _q ( r ) - это константа, обозначаемая ρ _{q , 0} (чтобы различать постоянную и непостоянную плотности), и поэтому по свойствам интеграла его можно вывести за пределы интеграла, в результате чего в:

${\displaystyle Q=\rho _{q,0}\int \limits _{V}\,dV=\rho _{0}V}$

так,

${\displaystyle Q=V\cdot \rho _{q,0}.}$

Эквивалентные доказательства для линейной плотности заряда и поверхностной плотности заряда следуют тем же аргументам, что и выше.

Дискретные заряды [ править ]

Для единственного точечного заряда q в позиции r ₀ внутри области трехмерного пространства R , например, для электрона , объемная плотность заряда может быть выражена дельта-функцией Дирака :

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$

где r - позиция для расчета заряда.

Как всегда, интеграл плотности заряда по области пространства - это заряд, содержащийся в этой области. Дельта-функция имеет свойство просеивания для любой функции f :

${\displaystyle \int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})}$

поэтому дельта-функция гарантирует, что при интегрировании плотности заряда по R общий заряд в R равен q :

${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q}$

Это может быть распространено на N дискретных точечных носителей заряда. Плотность заряда системы в точке r представляет собой сумму плотностей зарядов для каждого заряда q _i в позиции r _i , где i = 1, 2, ..., N :

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\,\!}$

Дельта-функция для каждого заряда q _i в сумме, δ ( r - r _i ), гарантирует, что интеграл плотности заряда по R возвращает полный заряд в R :

${\displaystyle Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}}$

Если все носители заряда имеют одинаковый заряд q (для электронов q = - e , заряд электрона ), плотность заряда можно выразить через количество носителей заряда в единице объема, n ( r ), как

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.}$

Аналогичные уравнения используются для линейной и поверхностной плотностей заряда.

Плотность заряда в специальной теории относительности [ править ]

В специальной теории относительности длина отрезка провода зависит от скорости наблюдателя из-за сокращения длины , поэтому плотность заряда также будет зависеть от скорости. Энтони Френч ^[7] описал, как сила магнитного поля токоведущего провода возникает из этой относительной плотности заряда. Он использовал (стр. 260) диаграмму Минковского, чтобы показать, «как кажется, что нейтральный провод с током несет чистую плотность заряда, наблюдаемую в движущейся системе отсчета». Когда плотность заряда измеряется в движущейся системе отсчета, это называется правильной плотностью заряда . ^{[8] [9] [10]}

Оказывается, плотность заряда ρ и плотность тока J вместе преобразуются как четырехкратный вектор тока при преобразованиях Лоренца .

Плотность заряда в квантовой механике [ править ]

В квантовой механике плотность заряда ρ _q связана с волновой функцией ψ ( r ) уравнением

${\displaystyle \rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$

где q - заряд частицы, а | ψ ( r ) | ² = ψ * ( r ) ψ ( r ) - функция плотности вероятности, т.е. вероятность на единицу объема частицы, расположенной в точке r .

При нормировке волновой функции средний заряд в области r ∈ R равен

${\displaystyle Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,{\rm {d}}^{3}\mathbf {r} }$

где d ³ r - мера интегрирования по трехмерному позиционному пространству.

Заявление [ править ]

Плотность заряда появляется в уравнении неразрывности для электрического тока, а также в уравнениях Максвелла . Это главный источник электромагнитного поля ; когда распределение заряда движется, это соответствует плотности тока . Плотность заряда молекул влияет на химические процессы и процессы разделения. Например, плотность заряда влияет на связь металл-металл и водородную связь . ^[11] Для процессов разделения, таких как нанофильтрация , плотность заряда ионов влияет на их отторжение мембраной. ^[12]

См. Также [ править ]

• Уравнение непрерывности, связывающее плотность заряда и плотность тока
• Ионный потенциал
• Волна плотности заряда

Ссылки [ править ]

• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаум, Мак Гроу Хилл. ISBN 978-0-07-025734-4.
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник по физическим формулам . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
• П.А. Типлер, Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е изд.). Фримен. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• Р.Г. Лернер, Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели СКЗ. ISBN 978-0-89573-752-6.
• CB Parker (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Издатели СКЗ. ISBN 978-0-07-051400-3.

Внешние ссылки [ править ]

• [1] - Распределение пространственного заряда