Автоэлектронная эмиссия

Автоэлектронная эмиссия , также известная как автоэлектронная эмиссия ( FE ) и автоэлектронная эмиссия , - это эмиссия электронов, индуцированная электростатическим полем . Наиболее распространенный контекст - автоэлектронная эмиссия с твердой поверхности в вакуум . Однако автоэлектронная эмиссия может происходить с твердых или жидких поверхностей, в вакуум, жидкость (например, воздух ) или любой непроводящий или слабопроводящий диэлектрик . С индуцированным полем продвижения электронов из валентной зоны в зону проводимости изполупроводники ( эффект Зинера ) также можно рассматривать как форму автоэлектронной эмиссии. Терминология является исторической, потому что связанные явления поверхностного фотоэффекта, термоэлектронной эмиссии (или эффекта Ричардсона-Душмана ) и «холодной электронной эмиссии», то есть эмиссии электронов в сильных статических (или квазистатических) электрических полях, были обнаружены и изучены независимо от 1880-е - 1930-е годы. Когда автоэлектронная эмиссия используется без квалификаторов, это обычно означает «холодная эмиссия».

Автоэлектронная эмиссия в чистых металлах происходит в сильных электрических полях : градиенты обычно превышают 1 гигавольт на метр и сильно зависят от работы выхода . Хотя источники электронов на основе автоэлектронной эмиссии имеют ряд применений, автоэлектронная эмиссия чаще всего является нежелательным первичным источником вакуумного пробоя и явлений электрического разряда , которые инженеры стараются предотвратить. Примеры применения поверхностной автоэлектронной эмиссии включают создание источников ярких электронов для электронных микроскопов высокого разрешения или разряд индуцированных зарядов с космических аппаратов . Устройства, которые устраняют индуцированные заряды, называются нейтрализаторами заряда .

Автоэмиссия была объяснена квантовым туннелированием электронов в конце 1920-х годов. Это был один из триумфов зарождающейся квантовой механики . Теория автоэлектронной эмиссии массивных металлов была предложена Ральфом Х. Фаулером и Лотаром Вольфгангом Нордхеймом . ^[1] Семейство приближенных уравнений Фаулера – Нордхейма названо в их честь. Строго говоря, уравнения Фаулера – Нордхейма применимы только к автоэлектронной эмиссии массивных металлов и (с соответствующей модификацией) к другим объемным кристаллическим твердым телам , но они часто используются - в качестве грубого приближения - для описания автоэлектронной эмиссии от других материалов.

Терминология и условные обозначения [ править ]

Автоэлектронная эмиссия , автоэлектронная эмиссия , автоэлектронная эмиссия и автоэлектронная эмиссия - общие названия этого экспериментального явления и его теории. Здесь используется первое имя.

Туннелирование Фаулера – Нордхейма - это волново-механическое туннелирование электронов через округлый треугольный барьер, создаваемый на поверхности электронного проводника путем приложения очень сильного электрического поля. Отдельные электроны могут ускользать через туннелирование Фаулера-Нордхейма из многих материалов в различных условиях.

Холодная полевая электронная эмиссия (CFE) - это название, данное определенному режиму статистической эмиссии, в котором электроны в эмиттере изначально находятся во внутреннем термодинамическом равновесии , и в котором большая часть испускаемых электронов ускользает в результате туннелирования Фаулера-Нордхейма из электронных состояний, близких к эмиттер уровня Ферми . (Напротив, в режиме эмиссии Шоттки большая часть электронов ускользает через барьер с уменьшенным полем из состояний, значительно превышающих уровень Ферми.) Многие твердые и жидкие материалы могут испускать электроны в режиме CFE, если электрическое поле соответствующий размер применяется.

Уравнения типа Фаулера – Нордхейма представляют собой семейство приближенных уравнений, выведенных для описания CFE из внутренних электронных состояний в объемных металлах. Различные члены семьи представляют разные степени приближения к реальности. Приближенные уравнения необходимы, потому что для физически реалистичных моделей туннельного барьера математически невозможно в принципеточнорешить уравнение Шредингера каким-либо простым способом. Нет теоретических оснований полагать, что уравнения типа Фаулера-Нордхейма достоверно описывают полевую эмиссию материалов, отличных от объемных кристаллических твердых тел.

Для металлов режим CFE распространяется до температур, значительно превышающих комнатную. Существуют и другие режимы электронной эмиссии (такие как « тепловая электронная эмиссия » и « эмиссия Шоттки »), которые требуют значительного внешнего нагрева эмиттера. Существуют также режимы эмиссии, в которых внутренние электроны не находятся в термодинамическом равновесии, а ток эмиссии частично или полностью определяется подачей электронов в излучающую область. Неравновесный процесс эмиссии такого типа можно назвать полевой (электронной) эмиссией, если большая часть электронов ускользает за счет туннелирования, но, строго говоря, это не CFE и не точно описывается уравнением типа Фаулера-Нордхейма.

Необходима осторожность, потому что в некоторых контекстах (например, в космической технике) название «полевая эмиссия» применяется к вызванной полем эмиссии ионов (полевой ионной эмиссии), а не электронов, и потому что в некоторых теоретических контекстах «полевая эмиссия» является используется как общее название, охватывающее как полевую электронную эмиссию, так и полевую эмиссию ионов.

Исторически явление автоэлектронной эмиссии было известно под разными названиями, включая «эффект аэоны», «автоэлектронная эмиссия», «холодная эмиссия», «эмиссия с холодным катодом», «полевая эмиссия», «полевая эмиссия электронов». и «автоэлектронная эмиссия».

Уравнения в этой статье написаны с использованием Международной системы количеств (ISQ). Это современная (после 1970-х годов) международная система, основанная на системе уравнений рационализированный метр-килограмм-секунда (rmks), которая используется для определения единиц СИ. В более старой литературе по автоэмиссии (и в статьях, которые напрямую копируют уравнения из старой литературы) часто пишутся некоторые уравнения с использованием более старой системы уравнений, в которой не используется величина ε 0 . В этой статье все такие уравнения были преобразованы в современную международную форму. Для наглядности это нужно делать всегда.

Поскольку работа выхода обычно указывается в электронвольтах (эВ), и часто удобно измерять поля в вольтах на нанометр (В / нм), значения большинства универсальных констант приведены здесь в единицах, включающих эВ, В и нм. Все чаще это нормальная практика в исследованиях полевых выбросов. Однако все уравнения здесь являются уравнениями, совместимыми с ISQ, и остаются согласованными по размерам, как того требует современная международная система. Для обозначения их статуса числовые значения универсальных констант приведены до семи значащих цифр. Значения получены с использованием значений фундаментальных констант за 2006 год.

Ранняя история автоэлектронной эмиссии [ править ]

Автоэлектронная эмиссия имеет долгую, сложную и запутанную историю. Этот раздел охватывает раннюю историю, вплоть до вывода исходного уравнения типа Фаулера – Нордхейма в 1928 году.

Оглядываясь назад, кажется вероятным, что электрические разряды, о которых сообщил Винклер ^[2] в 1744 году, были вызваны CFE от его проволочного электрода. Тем не менее, значимые исследования пришлось ждать , пока после того, как JJ Thomson «s ^[3] идентификации электрона в 1897 году, и до тех пор , после того, как было достигнуто понимание - от теплового излучения ^[4] и фото-излучения ^[5] работа - что электроны не могут быть излучаемый изнутри металлов (а не из молекул газа, адсорбированных на поверхности ), и что в отсутствие приложенных полей электроны, вылетающие из металлов, должны преодолевать барьер работы выхода.

По крайней мере еще в 1913 году предполагалось, что индуцированная полем эмиссия представляет собой отдельный физический эффект. ^[6] Однако только после того, как методы вакуумирования и очистки образцов были значительно улучшены, это стало общепринятым. Лилиенфельд (который в первую очередь интересовался источниками электронов для медицинских рентгеновских приложений) опубликовал в 1922 году ^[7] первое четкое изложение на английском языке экспериментальной феноменологии эффекта, который он назвал «автоэлектронной эмиссией». Он работал над этой темой в Лейпциге примерно с 1910 года. Кляйнт описывает эту и другие ранние работы. ^{[8] [9]}

После 1922 года, экспериментальный интерес увеличился, особенно в группах , во главе с Милликен из Калифорнийского технологического института (Caltech) в Пасадене, штат Калифорния , ^[10] и Gössling в General Electric Company в Лондоне. ^[11] Попытки понять автоэлектронную эмиссию включали построение экспериментальных данных вольт-амперной характеристики ( i-V ) разными способами, чтобы найти прямолинейную зависимость. Ток увеличивался с увеличением напряжения быстрее, чем линейно, но графики типа log ( i ) от V не были прямыми. ^[10] Шоттки ^[12]предположил в 1923 году, что эффект может быть вызван термически индуцированной эмиссией через барьер с уменьшенным полем. Если это так, то графики зависимости log ( i ) от √ V должны быть прямыми, но это не так. ^[10] Объяснение Шоттки также несовместимо с экспериментальным наблюдением только очень слабой температурной зависимости в CFE ^[7] - момент, который изначально упускался из виду. ^[6]

Прорыв произошел, когда Лауритсен ^[13] (и Оппенгеймер независимо ^[14] ) обнаружили, что графики зависимости log ( i ) от 1 / V дают хорошие прямые линии. Этот результат, опубликованный Милликеном и Лауритсеном ^[13] в начале 1928 г., был известен Фаулеру и Нордхейму .

Оппенгеймер предсказал ^[14], что индуцированное полем туннелирование электронов из атомов (эффект, теперь называемый полевой ионизацией) будет иметь эту зависимость i ( V ), обнаружил эту зависимость в опубликованных экспериментальных результатах полевой эмиссии Милликена и Эйринга, ^{[ 10]} и предположил, что CFE происходит из-за индуцированного полем туннелирования электронов с атомоподобных орбиталей в поверхностных атомах металла. Альтернативная теория Фаулера-Нордхейма ^[1] объяснила как открытие Милликена-Лауритсена, так и очень слабую зависимость тока от температуры. Теория Фаулера-Нордхейма предсказывала, что оба следствия будут иметь место, если CFE будет происходить из-за индуцированного полем туннелированиясостояния типа свободных электронов в том, что мы теперь назвали бы металлической зоной проводимости , при этом электронные состояния заняты в соответствии со статистикой Ферми-Дирака .

У Оппенгеймера были серьезно неверные математические детали своей теории. ^[15] Также была небольшая численная ошибка в окончательном уравнении, приведенном в теории Фаулера – Нордхейма для плотности тока CFE : это было исправлено в статье 1929 года ( Stern, Gossling & Fowler 1929 ). ^[16]

Строго говоря, если барьерное поле в теории Фаулера-Нордхейма 1928 года точно пропорционально приложенному напряжению, и если площадь излучения не зависит от напряжения, то теория Фаулера-Нордхейма 1928 года предсказывает, что графики формы (log ( i / V ² ) vs. 1 / V ) должны быть точными прямыми линиями. Однако современные экспериментальные методы были недостаточно хороши, чтобы отличить теоретический результат Фаулера-Нордхейма от экспериментального результата Милликена-Лауритсена.

Таким образом, к 1928 г. было достигнуто основное физическое понимание происхождения CFE из массивных металлов и было выведено исходное уравнение типа Фаулера-Нордхейма.

В литературе часто представлена ​​работа Фаулера-Нордхейма как доказательство существования туннелирования электронов , предсказываемого волновой механикой. В то время как это верно, справедливость волновой механики была в значительной степени признана к 1928 году. Более важная роль статьи Фаулера-Нордхейма заключалась в том, что это был убедительный экспериментальный аргумент, который статистика Ферми-Дирака применяла к поведению электронов в металлах. как было предложено Зоммерфельдом ^[17] в 1927 году. Успех теории Фаулера – Нордхейма во многом поддержал правильность идей Зоммерфельда и очень помог в создании современной теории электронных зон . ^[18] В частности, исходное уравнение типа Фаулера-Нордхейма было одним из первых, в которое вошлистатистико-механические последствия существования электронного спина в теории экспериментального эффекта конденсированной среды . В работе Фаулера-Нордхейма также была заложена физическая основа для единой трактовки индуцированной полем и термической эмиссии электронов . ^[18] До 1928 года была выдвинута гипотеза, что в металлах существуют два типа электронов, «термоэлектроны» и «электроны проводимости», и что термически испускаемые токи электронов возникают из-за испускания термоэлементов, но что генерируемые полем токи были из-за испускания электронов проводимости. В работе Фаулера-Нордхейма 1928 г. было высказано предположение, что термионы не обязательно должны существовать как отдельный класс внутренних электронов: электроны могут происходить из одной зоны. занята в соответствии со статистикой Ферми – Дирака, но будет испускаться статистически по-разному при различных условиях температуры и приложенного поля.

Идеи Оппенгеймера , Фаулера и Нордгеймом также являются важным стимулом для развития, по Гамова , ^[19] и Герни и Кондон , ^{[20] [21]} в конце 1928 г. теории радиоактивного распада ядер (по альфа туннелирование частиц ). ^[22]

Практическое применение: прошлое и настоящее [ править ]

Полевая электронная микроскопия и связанные с ней основы [ править ]

Как уже указывалось, первые экспериментальные работы по автоэлектронной эмиссии (1910–1920) ^[7] были вызваны желанием Лилиенфельда разработать миниатюрные рентгеновские трубки для медицинских приложений. Однако преуспевать этой технологии было еще рано.

После теоретической работы Фаулера-Нордхейма в 1928 году значительный прорыв произошел с разработкой в ​​1937 году Эрвином В. Мюллером полевого электронного микроскопа сферической геометрии (FEM) ^[23] (также называемого «полевой эмиссионный микроскоп»). В этом приборе эмиттер электронов представляет собой заостренную проволоку с радиусом при вершине r . Это помещают в вакуумный корпус, напротив детектора изображения (первоначально экрана) люминофора, на расстоянии R от него. На экране микроскопа отображается проекционное изображение распределения плотности тока J на вершине эмиттера с увеличением приблизительно ( R / r ), обычно от 10 ⁵ до 10.⁶ . В исследованиях МКЭ радиус вершины обычно составляет от 100 нм до 1 мкм. Кончик заостренного провода, когда его называют физическим объектом, был назван «полевым эмиттером», «острием» или (недавно) «эмиттером Мюллера».

Когда поверхность эмиттера чистая, это изображение МКЭ характерно для: (а) материала, из которого изготовлен эмиттер: (б) ориентации материала относительно оси игла / проволока; и (c) до некоторой степени форма формы конца эмиттера. На изображении МКЭ темные области соответствуют областям, где локальная работа выхода φ относительно высока и / или локальное барьерное поле F относительно низкое, поэтому J относительно низкое; светлые области соответствуют областям, где φ относительно низок и / или F относительно высок, поэтому J относительно высокое. Это предсказывается показателем степени уравнений типа Фаулера-Нордхейма [см. (30) ниже].

Адсорбции из слоев атомов газа (например, кислород) на поверхность эмиттера, или его часть, могут создать поверхностные электрические диполи , которые изменяют локальную функцию работы этой части поверхности. Это влияет на изображение FEM; Кроме того, изменение работы выхода можно измерить с помощью графика Фаулера-Нордхейма (см. ниже). Таким образом, МКЭ стал одним из первых наблюдательных инструментов науки о поверхности . ^{[24] [25]} Например, в 1960-х годах результаты МКЭ внесли значительный вклад в дискуссии о гетерогенном катализе . ^[26] МКЭ также использовался для исследования диффузии поверхностных атомов.. Однако сейчас МКЭ почти полностью вытеснен новыми методами исследования поверхности.

Следствием разработки МКЭ и последующих экспериментов стало то, что стало возможным идентифицировать (по проверке изображения МКЭ), когда излучатель был "чистым" и, следовательно, проявлял свою работу выхода с чистой поверхностью, как установлено другими методами. Это было важно в экспериментах, направленных на проверку справедливости стандартного уравнения типа Фаулера-Нордхейма. ^{[27] [28] В} этих экспериментах было получено значение коэффициента преобразования β из напряжения в барьерное поле из графика Фаулера-Нордхейма (см. Ниже), предполагая значение φ для чистой поверхности для вольфрама, и сравнили его с полученными значениями. по наблюдениям формы эмиттера и электростатическому моделированию с помощью электронного микроскопа . Достигнута договоренность с точностью около 10%. Только совсем недавно^[29] можно было провести сравнение в обратном направлении, поднеся хорошо подготовленный зонд так близко к хорошо подготовленной поверхности, что можно было предположить приблизительную геометрию параллельных пластин, а коэффициент преобразования можно принять равным 1 / W , где W - измеренное расстояние между зондом и эмиттером. Анализ полученного графика Фаулера-Нордхейма дает значение работы выхода, близкое к независимо известной работе выхода эмиттера.

Полевая электронная спектроскопия (анализ энергии электронов) [ править ]

Впервые об измерениях распределения энергии полевых электронов было сообщено в 1939 году. ^[30] В 1959 году Янгом ^[31] был теоретически реализован и экспериментально подтвержден Янгом и Мюллером ^[32], что величина, измеренная в сферической геометрии, является распределением полная энергия испускаемого электрона (его «полное распределение энергии»). Это связано с тем, что в сферической геометрии электроны движутся таким образом, что угловой момент вокруг точки эмиттера почти сохраняется. Следовательно, любая кинетическая энергиякоторый при излучении находится в направлении, параллельном поверхности эмиттера, преобразуется в энергию, связанную с радиальным направлением движения. Таким образом, анализатор энергии измеряет полную энергию излучения.

С появлением в 1960-х годах чувствительных электронных анализаторов энергии стало возможным измерять мельчайшие детали распределения полной энергии. Они отражают мельчайшие детали физики поверхности , и техника полевой электронной спектроскопии какое-то время процветала, прежде чем ее вытеснили более новые методы науки о поверхности. ^{[33] [34]}

Полевые электронные эмиттеры как источники электронной пушки [ править ]

Для достижения высокого разрешения в электронных микроскопах и других электронно-лучевых приборах (например, используемых для электронно-лучевой литографии ) полезно начать с небольшого, оптически яркого и стабильного источника электронов. Источники, основанные на геометрии излучателя Мюллера, хорошо подходят по первым двум критериям. Первое наблюдение отдельного атома с помощью электронного микроскопа (ЭМ) было выполнено Крю, Уоллом и Лэнгмором в 1970 году ^[35] с использованием сканирующего электронного микроскопа, оснащенного ранней автоэмиссионной пушкой.

Начиная с 1950-х годов, большие усилия были направлены на разработку источников автоэмиссии для использования в электронных пушках . ^{[36] [37] [38]} [например, DD53] Были разработаны методы генерации осевых пучков либо путем нарастания эмиттера под действием поля, либо путем селективного осаждения адсорбата с низкой работой выхода (обычно циркониевого оксид - ZrO) в плоскую вершину вольфрамового эмиттера с ориентацией (100) . ^[39]

Источники, работающие при комнатной температуре, имеют недостаток, заключающийся в том, что они быстро покрываются молекулами адсорбата , которые поступают со стенок вакуумной системы, и эмиттер необходимо время от времени очищать путем «прошивки» до высокой температуры. В настоящее время более распространено использование источников на основе излучателя Мюллера, которые работают при повышенных температурах либо в режиме излучения Шоттки, либо в так называемом промежуточном режиме температурного поля. Многие современные электронные микроскопы высокого разрешения и электронно-лучевые приборы используют тот или иной вид источника электронов на основе эмиттера Мюллера. В настоящее время делаются попытки разработать углеродные нанотрубки (УНТ) в качестве источников автоэлектронной эмиссии. ^{[40] [41]}

Использование источников автоэлектронной эмиссии в электронно-оптических приборах потребовало развития соответствующих теорий оптики заряженных частиц ^{[37] [42]} и разработки соответствующего моделирования. Для эмиттеров Мюллера были опробованы различные модели формы; Лучшей кажется модель «Сфера на ортогональном конусе» (SOC), представленная Дайком, Троланом. Долан и Барнс в 1953 г. ^[43] Важные симуляции, включающие отслеживание траектории с использованием модели излучателя SOC, были выполнены Визенером и Эверхартом. ^{[44] [45] [46]}В настоящее время средство для моделирования полевой эмиссии эмиттеров Мюллера часто включается в коммерческие программы электронной оптики, используемые для разработки электронно-лучевых приборов. Создание эффективных современных автоэмиссионных электронных пушек требует высокоспециализированных знаний.

Атомно-резкие излучатели [ править ]

В настоящее время можно изготовить очень острые эмиттеры, в том числе эмиттеры, оканчивающиеся на один атом. В этом случае электронная эмиссия исходит из области, примерно вдвое превышающей кристаллографический размер одиночного атома. Это было продемонстрировано путем сравнения изображений излучателя с помощью FEM и полевого ионного микроскопа (FIM). ^[47] Излучатели Мюллера с одним атомом на вершине также имеют отношение к сканирующей зондовой микроскопии и сканирующей ионной микроскопии гелия (He SIM). ^[48] Методы их приготовления изучаются в течение многих лет. ^{[47] [49]}Связанным важным недавним достижением стала разработка (для использования в He SIM) автоматизированного метода восстановления трехатомного («тримерного») апекса в его исходное состояние, если тример разрушается. ^[48]

Источники автоэмиссии большой площади: вакуумная наноэлектроника [ править ]

Аспекты материалов [ править ]

Источники полевой эмиссии большой площади вызывают интерес с 1970-х годов. В этих устройствах высокая плотность отдельных участков автоэмиссии создается на подложке (первоначально кремнии). Это направление исследований стало известно сначала как «вакуумная микроэлектроника», а теперь как «вакуумная наноэлектроника».

В одном из двух первоначальных типов устройств, « массив Спиндта » ^[50], использовались методы изготовления кремниевых интегральных схем (ИС) для создания регулярных массивов, в которых молибденовые конусы осаждались в небольших цилиндрических пустотах в оксидной пленке, причем пустоты покрыт противоэлектродом с центральным круглым отверстием. Эта общая геометрия также использовалась с углеродными нанотрубками, выращенными в пустоте.

Другим оригинальным типом устройств был «излучатель Latham». ^{[51] [52]} Это были MIMIV (металл-изолятор-металл-изолятор-вакуум) или, в более общем смысле, CDCDV (проводник-диэлектрик-проводник-диэлектрик-вакуум) - устройства, которые содержали проводящие частицы в диэлектрической пленке. Устройство излучает поле, потому что его микроструктура / наноструктура обладает улучшающими поле свойствами. Этот материал имел потенциальное производственное преимущество, так как его можно было наносить в виде «чернил», поэтому технологии изготовления ИС не требовались. Однако на практике изготовление неизменно надежных устройств оказалось трудным.

Были продвинуты исследования по поиску других материалов, которые можно было бы осаждать / выращивать в виде тонких пленок с подходящими полевыми свойствами. В конфигурации с параллельными пластинами «макроскопическое» поле F _M между пластинами определяется выражением F _M = V / W , где W - расстояние между пластинами, а V - приложенное напряжение. Если на одной пластине создается острый объект, то локальное поле F на его вершине больше F _M и может быть связано с F _M соотношением

${\ displaystyle F = \ gamma F _ {\ mathrm {M}}.}$

Параметр γ называется «коэффициентом усиления поля» и в основном определяется формой объекта. Поскольку характеристики автоэмиссии определяются локальным полем F , то чем выше значение γ объекта, тем ниже значение F _M, при котором происходит значительная эмиссия. Следовательно, для данного значения W , чем ниже приложенное напряжение V, при котором происходит значительная эмиссия.

В течение примерно десяти лет с середины 1990-х годов был большой интерес к автоэлектронной эмиссии из пленок аморфного и «алмазоподобного» углерода, осажденных плазмой . ^{[53] [54]} Однако впоследствии интерес снизился, отчасти из-за появления излучателей УНТ , а отчасти потому, что появились доказательства того, что места эмиссии могут быть связаны с твердыми частицами углерода, созданными неизвестным образом в процессе осаждения : это предполагает контроль качества производственного процесса в промышленных масштабах может быть проблематичным.

Внедрение полевых эмиттеров УНТ ^[41] как в «матовой» форме, так и в «выращенной матричной» форме было значительным шагом вперед. Были проведены обширные исследования как их физических характеристик, так и возможных технологических применений. ^[40] Что касается автоэлектронной эмиссии, то преимущество УНТ состоит в том, что благодаря своей форме и высокому аспектному соотношению они являются «естественными объектами, усиливающими поле».

В последние годы также наблюдается значительный рост интереса к разработке других форм тонкопленочных эмиттеров, основанных как на других формах углерода (например, «углеродные наностенки ^[55]] »), так и на различных формах широкополосных излучателей. щелевой полупроводник. ^[56] Конкретной целью является разработка наноструктур с "высоким γ " с достаточно высокой плотностью отдельных эмиссионных сайтов. Тонкие пленки нанотрубок в виде полотен нанотрубок также используются для разработки автоэмиссионных электродов. ^{[57] [58] [59]} Показано, что путем точной настройки параметров изготовления эти полотна могут достигать оптимальной плотности отдельных участков излучения ^[57]Показано, что двухслойные электроды, полученные осаждением двух слоев этих полотен с перпендикулярным расположением друг к другу, способны снизить электрическое поле включения (электрическое поле, необходимое для достижения тока эмиссии 10 мкА / см ² ) до 0,3 В / мкм и обеспечивают стабильную полевую эмиссию. ^[58]

Общие проблемы со всеми автоэмиссионными устройствами, особенно теми, которые работают в «промышленных условиях вакуума», заключаются в том, что характеристики излучения могут ухудшаться из-за адсорбции атомов газа, поступающих из других частей системы, а форма эмиттера в принципе может быть изменена пагубно. за счет множества нежелательных дополнительных процессов, таких как бомбардировка ионами, создаваемыми ударами испускаемых электронов на атомы газовой фазы и / или на поверхность противоэлектродов. Таким образом, важным промышленным требованием является «надежность в условиях плохого вакуума»; это необходимо учитывать при исследованиях новых эмиттерных материалов.

На момент написания наиболее многообещающими формами источников автоэлектронной эмиссии большой площади (определенно с точки зрения достигнутой средней плотности тока эмиссии) представлялись массивы Spindt и различные формы источников на основе УНТ.

Приложения [ править ]

Развитие источников полевой эмиссии с большой площадью первоначально было вызвано желанием создать новые, более эффективные формы электронного отображения информации . Они известны как « автоэмиссионные дисплеи » или «наноэмиссионные дисплеи». Хотя было продемонстрировано несколько прототипов ^[40] , превращению таких дисплеев в надежные коммерческие продукты препятствовали различные проблемы промышленного производства, не связанные напрямую с характеристиками источника [En08].

Другие предлагаемые применения источников полевой эмиссии большой площади ^[40] включают генерацию микроволн , нейтрализацию космических аппаратов, генерацию рентгеновских лучей и (для матричных источников) многолучевую литографию . Также в последнее время предпринимаются попытки разработать эмиттеры с большой площадью поверхности на гибких подложках в соответствии с более широкими тенденциями в направлении « пластиковой электроники ».

Разработка таких приложений - миссия вакуумной наноэлектроники. Однако полевые эмиттеры лучше всего работают в условиях хорошего сверхвысокого вакуума. На сегодняшний день их наиболее успешные применения (пистолеты МКЭ, ФЭС и ЭМ) имели место именно в этих условиях. Печальный факт остается фактом: полевые эмиттеры и условия промышленного вакуума плохо сочетаются друг с другом, и связанные с этим проблемы надежного обеспечения хорошей «вакуумной устойчивости» источников автоэмиссии, используемых в таких условиях, все еще ждут лучших решений (возможно, более умных материалов), чем мы в настоящее время. имеют.

Вакуумный пробой и явления электрического разряда [ править ]

Как уже указывалось, сейчас считается, что самыми ранними проявлениями полевой электронной эмиссии были вызванные ею электрические разряды. После работы Фаулера-Нордхейма стало понятно, что CFE является одной из возможных первопричин, лежащих в основе пробоя вакуума и явления электрического разряда. (Детализированные механизмы и вовлеченные пути могут быть очень сложными, и нет единой универсальной причины) ^[60]. Если известно, что пробой вакуума вызван эмиссией электронов с катода, то первоначальное мнение заключалось в том, что механизмом является CFE от небольшого проводящие игольчатые выступы на поверхности. Процедуры использовались (и используются) для округления и сглаживания поверхностей электродов, которые могут генерировать нежелательные токи полевой электронной эмиссии. Однако работа Латама и других ^[51]показали, что эмиссия также может быть связана с наличием полупроводниковых включений на гладких поверхностях. Физика того, как генерируется излучение, до сих пор полностью не изучена, но есть подозрения, что могут быть задействованы так называемые «эффекты тройного перехода». Дополнительную информацию можно найти в книге Латама ^[51] и в интерактивной библиографии. ^[60]

Внутренний перенос электронов в электронных устройствах [ править ]

В некоторых электронных устройствах перенос электронов от одного материала к другому или (в случае наклонных полос) от одной полосы к другой (« туннелирование Зинера ») происходит в результате индуцированного полем процесса туннелирования, который можно рассматривать как форму тоннеля Фаулера-Нордхейма. Например, в книге Родерика обсуждается теория, относящаяся к контактам металл-полупроводник . ^[61]

Туннель Фаулера-Нордхейма [ править ]

Введение [ править ]

Следующая часть статьи посвящена основам теории холодной автоэлектронной эмиссии массивных металлов. Лучше всего рассматривать это в четырех основных этапах, связанных с теорией, связанной с: (1) выводом формулы для « вероятности ухода » с учетом туннелирования электронов через треугольный барьер с закругленными углами; (2) интегрирование по внутренним электронным состояниям для получения «распределения полной энергии»; (3) второе интегрирование для получения плотности тока эмиссии как функции локального барьерного поля и локальной работы выхода; (4) преобразование этого в формулу для тока как функции приложенного напряжения. Отдельно рассматриваются модифицированные уравнения, необходимые для излучателей большой площади, и вопросы анализа экспериментальных данных.

Туннелирование Фаулера – Нордхейма - это волново-механическое туннелирование электрона через точный или округлый треугольный барьер. Различают две основные ситуации: (1) когда электрон изначально находится в локализованном состоянии ; (2) когда электрон изначально не сильно локализован и лучше всего представлен бегущей волной . Эмиссия из объемной зоны проводимости металла - это ситуация второго типа, и здесь обсуждение относится к этому случаю. Также предполагается, что барьер является одномерным (т. Е. Не имеет боковой структуры) и не имеет мелкомасштабной структуры, вызывающей « рассеяние»"или" резонансные "эффекты. Чтобы сделать это объяснение туннелирования Фаулера-Нордхейма относительно простым, необходимы эти предположения, но атомная структура вещества фактически не принимается во внимание.

Движущая энергия [ править ]

Для электрона одномерное уравнение Шредингера можно записать в виде

${\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ Psi (x)} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = \ left [U (x) -E _ {\ mathrm {n}} \ right] \ Psi (x) = M (x) \ Psi (x), \ qquad \ qquad (1)}$

где Ψ ( x ) - волновая функция электрона , выраженная как функция расстояния x, измеренного от электрической поверхности эмиттера, ^[62] ħ - приведенная постоянная Планка , m - масса электрона, U ( x ) - потенциал электрона. энергия , E _n - полная энергия электрона, связанная с движением в x -направлении, а M ( x ) = [ U ( x ) - E _n ]называется движущей энергией электрона. ^[63] M ( x ) можно интерпретировать как отрицательную кинетическую энергию электрона, связанную с движением гипотетического классического точечного электрона в x -направлении, и положительное значение в барьере.

Форма туннельного барьера определяется тем, как M ( x ) изменяется в зависимости от положения в области, где M ( x )> 0. Две модели имеют особый статус в теории полевой эмиссии: точный треугольный (ET) барьер и барьер Шоттки – Нордхейма. (SN) барьер . ^{[64] [65]} Они задаются уравнениями (2) и (3) соответственно:

${\ Displaystyle M ^ {\ mathrm {ET}} (х) = h-eFx \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \; \; \; (2)}$

${\ displaystyle M ^ {\ rm {SN}} (x) = h-eFx-e ^ {2} / (16 \ pi \ varepsilon _ {0} x), \ qquad \ qquad (3)}$

Здесь h - высота нулевого поля (или неуменьшенная высота ) барьера, e - элементарный положительный заряд , F - поле барьера, а ε ₀ - электрическая постоянная . По соглашению F считается положительным, даже если классическое электростатическое поле было бы отрицательным. Уравнение SN использует классическую потенциальную энергию изображения для представления физического эффекта «корреляции и обмена».

Вероятность побега [ править ]

Для электрона, приближающегося к данному барьеру изнутри, вероятность ухода (или « коэффициент прохождения» или «коэффициент проникновения») является функцией h и F и обозначается D ( h , F ). Основная цель теории туннелирования - вычислить D ( h , F ). Для физически реалистичных моделей барьеров, таких как барьер Шоттки-Нордхейма, уравнение Шредингера не может быть решено точно каким-либо простым способом. Можно использовать следующий так называемый «полуклассический» подход. Параметр G ( h , F) можно определить с помощью интеграла JWKB (Джеффриса-Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна) : ^[66]

${\displaystyle G(h,F)=g\int M^{1/2}{\mbox{d}}x,\qquad \qquad (4)}$

где интеграл берется через барьер (т. е. через область, где M  > 0), а параметр g является универсальной константой, задаваемой формулой

${\displaystyle g\,=2{\sqrt {2m}}/\hbar \approx 10.24624\;{\rm {eV}}^{-1/2}\;{\rm {nm}}^{-1}.\qquad \qquad (5)}$

Форбс переработал результат, доказанный Фрёманом и Фрёманом, чтобы показать, что формально - при одномерном рассмотрении - точное решение для D может быть записано ^[67]

${\displaystyle \,D={\frac {P\mathrm {e} ^{-G}}{1+P\mathrm {e} ^{-G}}},\qquad \qquad (6)}$

где предварительный фактор туннелирования P в принципе может быть оценен путем сложных итерационных интеграций вдоль пути в сложном пространстве . ^{[67] [68]} В режиме CFE мы имеем (по определению) G  1. Кроме того, для простых моделей P  ≈ 1. Таким образом, ур. (6) сводится к так называемой простой формуле JWKB :

${\displaystyle D\approx P\mathrm {e} ^{-G}\approx \mathrm {e} ^{-G}.\qquad \qquad (7)}$

Для точного треугольного барьера, положив ур. (2) в ур. (4) дает G ^ET = bh ^3/2 / F , где

${\displaystyle b={\frac {2g}{3e}}={\frac {4{\sqrt {2m}}}{3e\hbar }}\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1}.\qquad \qquad (8)}$

Этот параметр b является универсальной константой, которую иногда называют второй константой Фаулера – Нордхейма . Для преград другой формы пишем

${\displaystyle G(h,F)=\nu (h,F)G^{\mathrm {ET} }=\nu (h,F)bh^{3/2}/F,\qquad \qquad (9)}$

где ν ( h , F ) - поправочный коэффициент, который обычно должен определяться численным интегрированием с использованием ур. (4).

Поправочный коэффициент для барьера Шоттки – Нордхейма [ править ]

Барьер Шоттки-Нордхейма, который представляет собой модель барьера, использованную при выводе стандартного уравнения типа Фаулера-Нордхейма ^[69], является частным случаем. В этом случае известно, что поправочный коэффициент является функцией одной переменной f _h , определяемой как f _h  =  F / F _h , где F _h - поле, необходимое для уменьшения высоты барьера Шоттки-Нордхейма с h до 0. Это поле определяется как${\displaystyle {\it {\nu }}}$

${\displaystyle \,F_{h}=(4\pi \epsilon _{0}/e^{3})h^{2}=(0.6944617\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1})(h/{\rm {eV}})^{2}.\qquad \qquad (10)}$

Параметр f _h изменяется от 0 до 1 и может быть назван масштабным полем барьера для барьера Шоттки-Нордхейма с нулевой высотой поля h .

Для барьера Шоттки – Нордхейма ν ( h , F ) задается конкретным значением ν ( f _h ) функции ν ( ℓ ′ ). Последняя является самостоятельной функцией математической физики и получила название основной барьерной функции Шоттки – Нордхейма . Явное разложение в ряд для ν ( ℓ ′ ) получено в статье Дж. Дина в 2008 году. ^[70] Было найдено следующее хорошее простое приближение для ν ( f _h ): ^[69]

${\displaystyle v(f_{h})\approx 1-f_{h}+{\tfrac {1}{6}}f_{h}\ln f_{h}...........{\rm {(11)}}}$

Ширина распада [ править ]

Ширина распада (по энергии), д _ч , меры , как быстро вероятность выхода D уменьшается по мере увеличения высоты барьера ч возрастает; d _h определяется:

${\displaystyle {\frac {1}{d_{h}}}=-{\frac {\mathrm {d} (\ln D)}{\mathrm {d} h}}.\qquad \qquad (12)}$

При увеличении h на d _h вероятность ухода D уменьшается в раз, близкий к e (≈ 2,718282). Для элементарной модели, основанной на точном треугольном барьере, где мы положили ν  = 1 и P  ≈ 1, получим

${\displaystyle d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {2F}{3b{\sqrt {h}}}}={\frac {eF}{g{\sqrt {h}}}}.}$

Ширина затухания d _h, полученная из более общего выражения (12), отличается от него "поправочным коэффициентом ширины затухания" λ _d , поэтому:

${\displaystyle d_{h}=\lambda _{d}d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {h}}}}.\qquad \qquad (13)}$

Обычно поправочный коэффициент приближается к единице.

Особый интерес представляет ширина затухания d _F для барьера с h, равным локальной работе выхода φ . Численно это определяется следующим образом:

${\displaystyle d_{\mathrm {F} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx {\frac {eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx 0.09759678\;\mathrm {eV} \,\cdot {\sqrt {\frac {1\ \mathrm {eV} }{\phi }}}\cdot {\frac {F}{1\ \mathrm {V} \ \mathrm {nm} ^{-1}}}.\qquad \qquad (14)}$

Для металлов, величина г _F , как правило , порядка 0,2 эВ, но изменяется с барьером поля F .

Комментарии [ редактировать ]

Историческая справка необходима. Идея о том, что барьер Шоттки-Нордхейма нуждается в поправочном коэффициенте, как в ур. (9) был введен Нордхеймом в 1928 г. ^[65], но его математический анализ фактора был неверным. Новая (правильная) функция была введена Берджессом, Кремером и Хьюстоном ^[71] в 1953 году, а ее математика была развита Мерфи и Гудом в 1956 году. ^[72] Эта исправленная функция, иногда известная как «специальная эллиптическая функция автоэмиссии». ", была выражена как функция математической переменной y, известной как" параметр Нордхейма ". Только недавно (с 2006 по 2008 гг.) Стало понятно, что математически гораздо лучше использовать переменную ℓ ′ (= y² ) . И только недавно удалось завершить определение ν ( ℓ ′ ), разработав и доказав справедливость разложения в точный ряд для этой функции (исходя из известных частных решений гипергеометрического дифференциального уравнения Гаусса). К тому же приближение (11) было найдено совсем недавно. Приближение (11) превосходит и, по-видимому, в конечном итоге вытеснит все более старые приближения эквивалентной сложности. Эти недавние разработки и их последствия, вероятно, со временем окажут значительное влияние на исследования полевых выбросов.

Следующее резюме объединяет эти результаты. Для туннелей значительно ниже вершины хорошо устроенного барьера разумной высоты вероятность ухода D ( h , F ) формально определяется как:

${\displaystyle D(h,F)\approx P\exp \left[-{\frac {\nu (h,F)bh^{3/2}}{F}}\right],\qquad \qquad (15)}$

где ν ( h , F ) - поправочный коэффициент, который обычно определяется численным интегрированием. Для частного случая барьера Шоттки-Нордхейма существует аналитический результат, и ν ( h , F ) задается как ν ( f _h ), как обсуждалось выше; приближения (11) для ν ( f _h ) более чем достаточно для всех технологических целей. Предварительный фактор P также в принципе является функцией h и (возможно) F , но для обсуждаемых здесь простых физических моделей обычно достаточно приближенияP  = 1. Точный треугольный барьер - это частный случай, когда уравнение Шредингера может быть решено точно, как это было сделано Фаулером и Нордхеймом; ^[1] для этого физически нереального случая ν ( f _h ) = 1, и аналитическое приближение для P существует.

Описанный здесь подход был первоначально разработан для описания туннелирования Фаулера – Нордхейма с гладких, классически плоских, плоских излучающих поверхностей. Он подходит для гладких, классических изогнутых поверхностей с радиусом от 10 до 20 нм. Его можно адаптировать к поверхностям с более острым радиусом, но такие величины, как ν и D, затем становятся важными функциями параметра (ов), используемых для описания кривизны поверхности. Когда эмиттер настолько резкий, что нельзя пренебречь деталями на атомном уровне, и / или туннельный барьер толще, чем размеры вершины эмиттера, тогда желателен более сложный подход.

Как отмечалось в начале, влияние атомной структуры материалов не принимается во внимание в относительно простых трактовках автоэлектронной эмиссии, обсуждаемых здесь. Правильный учет атомной структуры - очень трудная проблема, и достигнут лишь ограниченный прогресс. ^[33] Однако кажется вероятным, что основное влияние на теорию туннелирования Фаулера-Нордхейма (по сути) будет заключаться в изменении значений P и ν в уравнении. (15), суммами, которые в настоящее время трудно оценить.

Все эти замечания в принципе применимы к туннелированию Фаулером-Нордхеймом из любого проводника, где (до туннелирования) электроны можно рассматривать как находящиеся в состояниях бегущей волны . Подход может быть адаптирован для применения (приблизительно) к ситуациям, когда электроны изначально находятся в локализованных состояниях на или очень близко внутри излучающей поверхности, но это выходит за рамки данной статьи.

Распределение полной энергии [ править ]

Распределение энергии испускаемых электронов важно как для научных экспериментов, в которых используется распределение энергии испускаемых электронов для исследования аспектов физики поверхности излучателя ^{[34], так} и для источников полевой эмиссии, используемых в электронно-лучевых приборах, таких как электронные микроскопы . ^[42] В последнем случае «ширина» (по энергии) распределения влияет на то, насколько точно может быть сфокусирован луч.

Теоретическое объяснение здесь следует подходу Forbes. ^[73] Если ε обозначает полную энергию электрона относительно уровня Ферми эмиттера, а K _p обозначает кинетическую энергию электрона, параллельную поверхности эмиттера, то нормальная энергия электрона ε _n (иногда называемая его «прямой энергией») равна определяется

${\displaystyle \;\epsilon _{\mathrm {n} }=\epsilon -K_{\mathrm {p} }...........(16)}$.

Различают два типа теоретического распределения энергии: распределение нормальной энергии (NED), которое показывает, как энергия ε _n распределяется сразу после излучения (т. Е. Сразу за туннельным барьером); и распределение полной энергии , которое показывает, как распределяется полная энергия ε . Когда эмиттер уровень Ферми используется в качестве опорного уровня нулевой, как ε и ε _п может быть либо положительным , либо отрицательным.

Эксперименты по энергетическому анализу полевых эмиттеров проводились с 1930-х годов. Однако только в конце 1950-х годов стало понятно (Юнг и Мюллер ^[31] [, YM58]), что в этих экспериментах всегда измерялось распределение полной энергии, которое теперь обычно обозначается j ( ε ). Это также верно (или почти верно), когда излучение исходит из небольшого выступа, усиливающего поле, на плоской поверхности. ^[34]

Чтобы увидеть, как можно рассчитать распределение полной энергии в рамках модели типа свободных электронов Зоммерфельда , взгляните на диаграмму энергетического пространства PT (PT = «параллельное-полное»).

Это показывает «параллельную кинетическую энергию » K _p по горизонтальной оси и полную энергию ε по вертикальной оси. Электрон внутри массивного металла обычно имеет значения K _p и ε, которые лежат в пределах слегка заштрихованной области. Можно показать, что каждый элемент d ε d K _p этого энергетического пространства вносит вклад в плотность электронного тока, падающего на внутреннюю часть границы эмиттера. ^[73] Здесь z _S - универсальная постоянная (называемая здесь плотностью предложения Зоммерфельда ):${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

${\displaystyle z_{\mathrm {S} }=4\mathrm {\pi } em/h_{\mathrm {P} }^{3}=1.618311\times 10^{14}\,{\rm {{A}\,m^{-2}\,eV^{-2},...........(17)}}}$

и - функция распределения Ферми – Дирака :${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }}$

${\displaystyle \,f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )=1/[1+\mathrm {exp} (\epsilon /k_{\mathrm {B} }T)],...........(18)}$

где T - термодинамическая температура, а k _B - постоянная Больцмана .

Этот элемент плотности падающего тока видит барьер высотой h, равной:

${\displaystyle \,h=\phi -\epsilon +K_{\mathrm {p} }...........(19a)}$

Соответствующая вероятность ухода равна D ( h , F ): ее можно разложить (приблизительно) в виде ^[73]

${\displaystyle D(h,F)\approx D_{\mathrm {F} }\;\mathrm {exp} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {exp} (-K_{\mathrm {p} }/d_{\mathrm {F} })..........(19b),}$

где D _F - вероятность выхода для барьера с неуменьшенной высотой, равной локальной работе выхода φ . Следовательно, элемент d ε d K _p вносит вклад в плотность тока эмиссии, и, таким образом, общий вклад, вносимый падающими электронами с энергиями в элементарном диапазоне d ε, составляет${\displaystyle z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }}$

${\displaystyle j(\epsilon )\mathrm {d} \epsilon =z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\left[\int D\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }\right]\mathrm {d} \epsilon =z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D_{\mathrm {F} }\mathrm {exp} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })\left[\int _{0}^{\infty }\mathrm {exp} (-K_{\mathrm {p} }/d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }\right]\mathrm {d} \epsilon ...........(20)}$,

где интеграл в принципе берется вдоль полосы, показанной на диаграмме, но на практике может быть расширен до ∞, когда ширина распада d _F намного меньше энергии Ферми K _F (что всегда имеет место для металла) . Результат интеграции можно записать:

${\displaystyle \,j(\epsilon )=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )\mathrm {exp} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })=j_{\mathrm {F} }f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )\mathrm {exp} (\epsilon /d_{\mathrm {F} }),...........(21)}$

где и являются значениями, соответствующими барьеру с неуменьшенной высотой h, равной локальной работе выхода φ , и определяются этим уравнением.${\displaystyle d_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle D_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle j_{\mathrm {F} }[\,=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }]}$

Для данного эмиттера с заданным полем, приложенным к нему, не зависит от F , поэтому уравнение. (21) показывает, что форма распределения (когда ε увеличивается от отрицательного значения значительно ниже уровня Ферми) представляет собой возрастающую экспоненту, умноженную на функцию распределения FD . Это генерирует знакомую форму распределения, впервые предсказанную Янгом. ^[31] При низких температурах резко изменяется от 1 до 0 вблизи уровня Ферми, а значение FWHM распределения определяется следующим образом:${\displaystyle j_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )}$

${\displaystyle \mathrm {FWHM} \,=d_{\mathrm {F} }\mathrm {ln} (2)\approx 0.693\,d_{\mathrm {F} }...........(22)}$

Тот факт, что экспериментальные распределения полной энергии CFE имеют такую ​​основную форму, является хорошим экспериментальным подтверждением того, что электроны в металлах подчиняются статистике Ферми – Дирака .

Эмиссия электронов холодным полем [ править ]

Уравнения типа Фаулера – Нордхейма [ править ]

Введение [ править ]

Уравнения типа Фаулера – Нордхейма в форме J - F представляют собой (приближенные) теоретические уравнения, выведенные для описания локальной плотности тока J, испускаемого из внутренних электронных состояний в зоне проводимости объемного металла. Плотность эмиссионного тока (ECD) J для некоторой небольшой однородной области излучающей поверхности обычно выражается как функция J ( φ , F ) локальной работы выхода φ и локального барьерного поля F, которые характеризуют эту небольшую область. Для резко изогнутых поверхностей J также может зависеть от параметра (ов), используемых для описания кривизны поверхности.

Из-за физических допущений, сделанных в исходном выводе ^[1], термин « уравнение типа Фаулера-Нордхейма» долгое время использовался только для уравнений, описывающих ЭЦП при нулевой температуре. Однако лучше позволить этому имени включать слегка измененные уравнения (обсуждаемые ниже), которые действительны для конечных температур в режиме эмиссии CFE.

Форма с нулевой температурой [ править ]

Плотность тока лучше всего измерять в А / м ² . Полная плотность тока, испускаемого из небольшой однородной области, может быть получена путем интегрирования распределения полной энергии j ( ε ) по отношению к полной энергии электронов ε . При нулевой температуре функция распределения Ферми – Дирака f _FD = 1 при ε <0 и f _FD = 0 при ε > 0. Таким образом, ECD при 0 K, J ₀ , дается из ур. (18) автор:

${\displaystyle J_{0}=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }\int _{-\infty }^{0}\mathrm {exp} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {d} \epsilon \;=\;z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}D_{\mathrm {F} }\;=\;Z_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} },..........(23)}$

где - эффективное предложение для состояния F , и определяется этим уравнением. Строго говоря, нижний предел интеграла должен быть - K _F , где K _F - энергия Ферми ; но если d _F намного меньше, чем K _F (что всегда имеет место для металла), тогда не будет значительного вклада в интеграл от энергий ниже K _F , и его можно формально расширить до –∞.${\displaystyle Z_{\mathrm {F} }\;[=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}]}$

Результату (23) можно дать простую и полезную физическую интерпретацию, обратившись к рис. 1. Электронное состояние в точке «F» на диаграмме («состояние F») является «движущимся вперед состоянием на уровне Ферми» (т. Е. , он описывает электрон уровня Ферми, движущийся по нормали к поверхности эмиттера и по направлению к ней). При 0 К электрон в этом состоянии видит барьер неуменьшенной высоты φ и имеет вероятность выхода D _F, которая выше, чем для любого другого занятого электронного состояния. Так что J ₀ удобно записать как Z _F D _F , где «эффективный запас» Z _F - плотность тока, которая должна была бы быть перенесена состоянием F внутри металла, если бы вся эмиссия вышла из состояния F.

На практике плотность тока в основном возникает из группы состояний, близких по энергии к состоянию F, большая часть которых находится внутри сильно заштрихованной области на диаграмме энергетического пространства. Поскольку для модели свободных электронов вклад в плотность тока прямо пропорционален площади в энергетическом пространстве (с плотностью питания Зоммерфельда z _S в качестве константы пропорциональности), полезно думать о ECD как о взятом из электронных состояний в области размером d _F ² (измеряется в эВ ²) на диаграмме энергия-пространство. То есть, полезно думать о ECD как о состоянии, выделенном сильно заштрихованной областью на рис. 1. (Это приближение медленно ухудшается с повышением температуры).

Z _F также можно записать в виде:

${\displaystyle Z_{\mathrm {F} }=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}={\lambda _{d}}^{2}(z_{\mathrm {S} }e^{2}g^{-2})\phi ^{-1}F^{2}={\lambda _{d}}^{2}a\phi ^{-1}F^{2},..........(24)}$

где универсальная постоянная a , иногда называемая Первой постоянной Фаулера – Нордхейма , задается выражением

${\displaystyle a=z_{\mathrm {S} }e^{2}g^{-2}=e^{3}/8\pi h_{\mathrm {P} }\approx \;1.541434\times 10^{-6}\;\mathrm {A\;eV} \;{\mathrm {V} }^{-2}...........(25)}$

Это ясно показывает, что предэкспоненциальный множитель a φ ^-1 F ² , который появляется в уравнениях типа Фаулера-Нордхейма, относится к эффективному притоку электронов к поверхности эмиттера в модели свободных электронов.

Ненулевые температуры [ править ]

Чтобы получить результат, действительный для ненулевой температуры, отметим из ур. (23) следует, что г _S D _F D _F = J ₀ / д _Р . Итак, когда эк. Уравнение (21) интегрируется при ненулевой температуре, затем - после этой замены и вставки явного вида функции распределения Ферми – Дирака - ECD J можно записать в виде:

${\displaystyle J=J_{0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {exp} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })}{1+\mathrm {exp} [(\epsilon /d_{\mathrm {F} })(d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T)]}}\mathrm {d} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })=\lambda _{T}J_{0},..........(26)}$

где λ _T - температурный поправочный коэффициент, определяемый интегралом. Интеграл можно преобразовать, записав и , а затем в стандартный результат: ^[74]${\displaystyle w=d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T}$${\displaystyle x=\epsilon /d_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle u=\mathrm {exp} (x)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\mathrm {e} }^{x}}{1+{\mathrm {e} }^{wx}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{w}}}={\frac {\pi }{w\mathrm {sin} (\pi /w)}}...........(27)}$

Это верно для w > 1 (т. Е. D _F / k _B T > 1). Отсюда - для таких температур, что k _B T < d _F :

${\displaystyle \lambda _{T}={\frac {\pi k_{\mathrm {B} }T/d_{\mathrm {F} }}{\mathrm {sin} (\pi k_{\mathrm {B} }T/d_{\mathrm {F} })}}\approx 1+{\frac {1}{6}}{\frac {\pi k_{\mathrm {B} }T}{d_{\mathrm {F} }}}^{2},..........(28)}$

где расширение допустимо, только если (π k _B T / d _F ) << 1. Примерное значение (для φ = 4,5 эВ, F = 5 В / нм, T = 300 K) составляет λ _T = 1,024. Нормальное мышление заключалось в том, что в режиме CFE λ _T всегда мала по сравнению с другими неопределенностями, и что обычно нет необходимости явно включать его в формулы для плотности тока при комнатной температуре.

Режимы излучения металлов на практике определяются диапазонами барьерного поля F и температуры T, для которых математически адекватно данное семейство уравнений излучения. Когда барьерное поле F достаточно велико для работы режима CFE для эмиссии металла при 0 K, то условие k _B T < d _F обеспечивает формальную верхнюю границу (по температуре) для режима эмиссии CFE. Однако утверждалось, что (из-за приближений, сделанных в другом месте в выводе) условие k _B T <0,7 d _F является лучшим рабочим пределом: это соответствует λ _T-значение около 1,09 и (для примера) верхний предел температуры для режима CFE около 1770 К. Этот предел является функцией поля барьера. ^{[33] [72]}

Обратите внимание, что результат (28) здесь применим для барьера любой формы (хотя d _F будет различным для разных барьеров).

Физически полное уравнение типа Фаулера – Нордхейма [ править ]

Результат (23) также приводит к некоторому пониманию того, что происходит, когда учитываются эффекты атомного уровня, и зонная структура больше не похожа на свободные электроны. Из-за наличия атомных ионных остовов поверхностный барьер, а также волновые функции электронов на поверхности будут другими. Это повлияет на значения поправочного коэффициента , префактора P и (в ограниченной степени) поправочного коэффициента λ _d . Эти изменения, в свою очередь, повлияют на значения параметра D _F и (в ограниченной степени) параметра d _F${\displaystyle \nu }$. Для настоящего металла плотность подачи будет меняться в зависимости от положения в энергетическом пространстве, а значение в точке «F» может отличаться от плотности подачи по Зоммерфельду. Мы можем учесть этот эффект, введя поправочный коэффициент для электронной зонной структуры λ _B в уравнение. (23). Модинос обсуждал, как можно рассчитать этот коэффициент: он оценивает, что он, скорее всего, находится в диапазоне от 0,1 до 1; он может выходить за эти пределы, но маловероятно, что он окажется вне диапазона 0,01 < λ _B <10. ^[75]

Определяя общий поправочный коэффициент предложения λ _Z, равный λ _T λ _B λ _d ² , и комбинируя приведенные выше уравнения, мы получаем так называемое физически полное уравнение типа Фаулера-Нордхейма: ^[76]

${\displaystyle J\;=\lambda _{Z}a\phi ^{-1}F^{2}P_{\mathrm {F} }\mathrm {exp} [-\nu _{\mathrm {F} }b\phi ^{3/2}/F],..........(29)}$

где [= ( φ , F )] - коэффициент коррекции экспоненты для барьера с неуменьшенной высотой φ . Это наиболее общее уравнение типа Фаулера – Нордхейма. Другие уравнения в семействе получаются путем подстановки конкретных выражений для трех поправочных коэффициентов , P _F и λ _{Z, которые} он содержит. Так называемое элементарное уравнение типа Фаулера-Нордхейма, которое появляется в учебниках для студентов, обсуждая автоэлектронную эмиссию, получается, если положить λ _Z → 1, P _F → 1,${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$→ 1; это не дает хороших количественных предсказаний, потому что делает барьер более сильным, чем он есть в физической реальности. Так называемое стандартное уравнение типа Фаулера-Нордхейма, первоначально разработанное Мерфи и Гудом ^[72] и часто используемое в прошлой литературе, получается, если положить λ _Z → t _F ⁻² , P _F → 1, → v _F , где v _F - это v ( f ), где f - значение f _h, полученное положением h = φ , а t _F${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$- связанный параметр (близкий к единице). ^[69]

В рамках более полной теории, описанной здесь, множитель t _F ⁻² является составной частью поправочного коэффициента λ _d ² [см. ^[67] и обратите внимание, что λ _d ² обозначено здесь как λ _D ]. Нет особой ценности в продолжении отдельной идентификации t _F ⁻² . Вероятно, при нынешнем уровне знаний наилучшее приближение для моделирования CFE из металлов на основе простого уравнения Фаулера-Нордхейма получается, если положить λ _Z → 1, P _F → 1, → v ( f${\displaystyle {\nu }_{\mathrm {F} }}$). Это воссоздает уравнение типа Фаулера-Нордхейма, использованное Дайком и Доланом в 1956 году, и может быть названо «упрощенным стандартным уравнением типа Фаулера-Нордхейма».

Рекомендуемая форма для простых вычислений типа Фаулера – Нордхейма [ править ]

В явном виде это рекомендованное упрощенное стандартное уравнение типа Фаулера-Нордхейма и связанные с ним формулы:

${\displaystyle J=\;a{\phi ^{-1}}F^{2}\mathrm {exp} [-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],..........(30a)}$

${\displaystyle a\approx \;1.541434\times 10^{-6}\;\mathrm {A\;eV} \;{\mathrm {V} }^{-2};\;\;\;\;\;b\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1},..........(30b)}$

${\displaystyle v(f)\approx 1-f+(1/6)f\mathrm {ln} f..........(30c)}$

${\displaystyle f=\;F/F_{\phi }=(e^{3}/4\pi \epsilon _{0})(F/{\phi }^{2})=(1.439964\;{\mathrm {eV} }^{2}\;{\mathrm {V} }^{-1}\;\mathrm {nm} )(F/{\phi }^{2})...........(30d)}$

где F _φ - поле, необходимое для приведения к нулю барьера Шоттки-Нордхейма с неуменьшенной высотой, равной локальной работе выхода φ , а f - масштабированное поле барьера для барьера Шоттки-Нордгейма с неуменьшенной высотой φ . [Эту величину f можно было бы более точно записать как f _φ ^SN , но она делает это уравнение типа Фаулера-Нордхейма менее загроможденным, если принять соглашение, что простое f означает величину, обозначенную f _φ ^SN в, ^[69] eq . (2.16).] Для примера ( φ = 4,5 эВ, F= 5 В / нм), f ≈ 0,36 и v ( f ) ≈ 0,58; практические диапазоны для этих параметров обсуждаются далее в ^[77]

Обратите внимание, что переменная f (масштабируемое поле барьера) не то же самое, что переменная y (параметр Нордхейма), широко использовавшаяся в прошлой литературе по полевой эмиссии, и что « v ( f )» НЕ имеет того же математического значения и значений, что и величина « v ( y )», которая встречается в литературе по автоэлектронной эмиссии. В контексте описанной здесь пересмотренной теории формулы для v ( y ) и таблицы значений для v ( y ) следует игнорировать или рассматривать как значения v ( f ^1/2 ). Если более точные значения для v (f ) требуются, то ^[69] предоставляет формулы, которые дают значения для v ( f ) с абсолютной математической точностью лучше, чем 8 × 10 ⁻¹⁰ . Однако приведенная выше аппроксимационная формула (30c), которая дает значения с точностью до абсолютной математической точности лучше 0,0025, должна давать значения, достаточно точные для всех технологических целей. ^[69]

Комментарии [ редактировать ]

Необходима историческая справка о методах вывода уравнений типа Фаулера-Нордхейма. Есть несколько возможных подходов к выводу этих уравнений с использованием теории свободных электронов . Используемый здесь подход был введен Forbes в 2004 году и может быть описан как «интегрирование через распределение полной энергии с использованием параллельной кинетической энергии K _p в качестве первой переменной интегрирования». ^[73] По сути, это эквивалент для свободных электронов процедуры Модиноса ^{[33] [75]} (в более продвинутой квантово-механической трактовке) «интегрирования по поверхности зоны Бриллюэна». Напротив, обработка CFE свободными электронами Янга в 1959 г. ^[31] Гадзука и Пламмера в 1973 г. ^[34]и Modinos в 1984 г. ^[33] также интегрируют через распределение полной энергии, но используют нормальную энергию ε _n (или связанную величину) в качестве первой переменной интегрирования.

Существует также более старый подход, основанный на основополагающей статье Нордхейма в 1928 г. ^[78], который формулирует проблему по-другому, а затем использует сначала K _p, а затем ε _n (или связанную величину) в качестве переменных интегрирования: это известно как «интегрирование через распределение нормальной энергии». Этот подход продолжает использоваться некоторыми авторами. Хотя он имеет некоторые преимущества, особенно при обсуждении резонансных явлений, он требует интегрирования функции распределения Ферми – Дирака на первом этапе интегрирования: для электронных зонных структур, подобных свободным электронам, это может привести к очень сложным и ошибочным результатам. склонная математика (как в работе Стрэттона по полупроводникам ). ^[79] Кроме того, интегрирование через распределение нормальной энергии не дает экспериментально измеренных распределений электронов по энергиям.

В целом, используемый здесь подход кажется более легким для понимания и приводит к более простой математике.

Это также в принципе ближе к более сложным подходам, используемым при работе с реальными объемными кристаллическими твердыми телами, где первым шагом является либо интегрирование вкладов в ECD по поверхностям с постоянной энергией в пространстве волновых векторов ( k- пространстве) ^{[34 ]} или интегрировать вклады по соответствующей зоне Бриллюэна на поверхности. ^[33] Подход Форбса эквивалентен интегрированию по сферической поверхности в k- пространстве с использованием переменной K _p для определения кольцевого интегрирующего элемента, имеющего цилиндрическую симметрию относительно оси в направлении, нормальном к излучающей поверхности, или для интегрирования по (протяженной) поверхности зоны Бриллюэна с использованием круговых кольцевых элементов.

Теоретические уравнения CFE [ править ]

В предыдущем разделе объясняется, как выводить уравнения типа Фаулера-Нордхейма. Строго говоря, эти уравнения применимы только к CFE из массивных металлов. Идеи, изложенные в следующих разделах, применимы к ДОВСЕ в более общем плане, но ур. (30) будет использоваться для их иллюстрации.

Для CFE основные теоретические рассмотрения обеспечивают связь между локальной плотностью тока эмиссии J и локальным полем барьера F в локальном положении на излучающей поверхности. Эксперименты измеряют эмиссионный ток i из определенной части эмиссионной поверхности как функцию напряжения V, приложенного к некоторому противоэлектроду. Чтобы связать эти переменные с J и F , используются вспомогательные уравнения.

Коэффициент преобразования напряжения в барьерное поле β определяется следующим образом:

${\displaystyle F=\;\beta V,..........(31)}$

Значение F меняется от позиции к позиции на поверхности эмиттера, и значение β изменяется соответственно.

Для металлического эмиттера значение β для данного положения будет постоянным (независимо от напряжения) при следующих условиях: (1) устройство представляет собой «диодную» конструкцию, где единственными присутствующими электродами являются эмиттер и набор «окружение», все части которого находятся под одинаковым напряжением; (2) отсутствует значительный вакуумный объемный заряд, испускаемый полем (FEVSC) (это будет верно, за исключением очень высоких плотностей эмиссионного тока, около 10 ⁹ А / м ² или выше ^{[27] [80]} ); (3) не существует никаких значительных «патч-полей» ^[63] из-за неоднородностей локальной работы выхода.(обычно предполагается, что это правда, но может не быть в некоторых обстоятельствах). Для неметаллов физические эффекты, называемые «проникновение поля» и « изгиб полосы » [M084], могут сделать β функцией приложенного напряжения, хотя, что удивительно, исследований этого эффекта мало.

Плотность эмиссионного тока J меняется от позиции к позиции по поверхности эмиттера. Полный ток эмиссии i из определенной части эмиттера получается интегрированием J по этой части. Чтобы получить простое уравнение для i ( V ), используется следующая процедура. Контрольная точка «r» выбирается в этой части поверхности эмиттера (часто точка, в которой плотность тока самая высокая), и плотность тока в этой контрольной точке обозначается как J _r . Параметр A _r , называемый условной площадью выбросов (по отношению к точке "r"), затем определяется следующим образом:

${\displaystyle i=A_{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }=\int J\mathrm {d} A,..........(32)}$

где интеграл берется по интересующей части эмиттера.

Этот параметр A _r был введен в теорию CFE Стерном, Госслингом и Фаулером в 1929 г. (которые назвали его «средневзвешенной площадью»). ^[16] Для практических излучателей плотность тока эмиссии, используемая в уравнениях типа Фаулера-Нордхейма, всегда является плотностью тока в некоторой контрольной точке (хотя обычно это не указывается). Давно установленное соглашение обозначает эту эталонную плотность тока простым символом J , а соответствующее локальное поле и коэффициент преобразования - простыми символами F и β без индекса «r», использованного выше; в дальнейшем используется это соглашение.

Условная площадь излучения A _r часто будет функцией эталонного местного поля (и, следовательно, напряжения) ^[30], а в некоторых обстоятельствах может быть значительной функцией температуры.

Поскольку A _r имеет математическое определение, оно не обязательно соответствует области, из которой наблюдается излучение одноточечного излучателя в полевом электронном (эмиссионном) микроскопе . С эмиттером большой площади, который содержит много отдельных участков эмиссии, A _r почти всегда будет очень-очень ^{[ требуется пояснение ]} намного меньше, чем «макроскопическая» геометрическая площадь ( A _M ) эмиттера, наблюдаемая визуально (см. Ниже).

Включая эти вспомогательные уравнения в ур. (30a) дает

${\displaystyle i=\;A_{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\mathrm {exp} [-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],..........(33)}$

Это упрощенное стандартное уравнение типа Фаулера-Нордхейма в форме i - V. Соответствующий «физически полное» уравнение получается путем умножения на Л _Z P _F .

Модифицированные уравнения для излучателей большой площади [ править ]

Уравнения в предыдущем разделе применимы ко всем полевым эмиттерам, работающим в режиме CFE. Однако дальнейшие разработки полезны для излучателей с большой площадью, которые содержат много отдельных участков выброса.

Для таких излучателей условная площадь излучения почти всегда будет очень сильно ^{[ требуется пояснение ],} намного меньше, чем видимая «макроскопическая» геометрическая площадь ( A _M ) физического излучателя, наблюдаемая визуально. Безразмерный параметр α _r , эффективность излучения по площади , может быть определен как

${\displaystyle A_{\mathrm {r} }=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }...........(34)}$

Кроме того, «макроскопическая» (или «средняя») плотность тока эмиссии J _M (усредненная по геометрической площади A _M эмиттера) может быть определена и связана с эталонной плотностью тока J _r, использованной выше, следующим образом:

${\displaystyle J_{\mathrm {M} }=\;i/A_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }(i/A_{\mathrm {r} })=\alpha _{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }...........(35)}$

Это приводит к следующим "версиям для больших площадей" упрощенного стандартного уравнения типа Фаулера-Нордхейма:

${\displaystyle J_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}F^{2}\mathrm {exp} [-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],..........(36)}$

${\displaystyle i=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\mathrm {exp} [-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],..........(37)}$

Оба эти уравнения содержат площадную эффективность излучения α _r . Для любого данного эмиттера этот параметр имеет значение, которое обычно малоизвестно. В общем, α _r сильно различается как между разными материалами излучателя, так и между разными образцами одного и того же материала, приготовленными и обработанными по-разному. Значения в диапазоне от 10 ^-10 до 10 ^-6 кажутся вероятными, а значения вне этого диапазона могут быть возможны.

Наличие α _r в ур. (36) учитывает разницу между макроскопическими плотностями тока, часто цитируемыми в литературе (обычно 10 А / м ² для многих форм эмиттеров большой площади, кроме массивов Спиндта ^[50] ), и локальными плотностями тока в местах фактического излучения. , которые могут варьироваться в широких пределах, но обычно считаются порядка 10 ⁹ А / м ² или, возможно, немного меньше.

Значительная часть технической литературы по эмиттерам большой площади не проводит четких различий между локальной и макроскопической плотностями тока, или между условной площадью излучения A _r и макроскопической площадью A _M , и / или опускает параметр α _r из приведенных уравнений. Необходимо соблюдать осторожность, чтобы избежать ошибок интерпретации.

Также иногда удобно разделить коэффициент преобразования β _r на «макроскопическую часть», которая относится к общей геометрии излучателя и его окружения, и «локальную часть», которая относится к способности очень локальной структуры излучателя. поверхность эмиттера для усиления электрического поля. Обычно это делается путем определения «макроскопического поля» F _M, которое представляет собой поле, которое будет присутствовать в месте излучения в отсутствие локальной структуры, вызывающей усиление. Это поле F _M связано с приложенным напряжением «коэффициентом преобразования напряжения в макроскопическое поле» β _M, определяемым как:

${\displaystyle F_{\mathrm {M} }=\;\beta _{\mathrm {M} }V...........(38)}$

В общем случае системы , состоящей из двух параллельных пластин, разделенных на расстояние W , с излучающих наноструктур , созданных на одном из них, β _M = 1 / W .

Затем определяется «коэффициент усиления поля» γ и соотносится со значениями β _r и β _{M следующим} образом:

${\displaystyle \gamma =\;F_{\mathrm {r} }/F_{\mathrm {M} }=\beta _{\mathrm {r} }/\beta _{\mathrm {M} }...........(39)}$

С эк. (31) это дает следующие формулы:

${\displaystyle F=\;\gamma F_{\mathrm {M} }=\beta V..........(40);\;\;\;\;\;\;\;\;\;\beta =\;\beta _{\mathrm {M} }\gamma ..........(41);}$

где, в соответствии с обычным соглашением, суффикс «r» теперь удален из параметров, относящихся к контрольной точке. Существуют формулы для оценки γ с использованием классической электростатики для различных форм излучателей, в частности «полусферы на столбе». ^[81]

Уравнение (40) означает, что версии уравнений типа Фаулера-Нордхейма могут быть записаны, где либо F, либо βV везде заменены на . Это часто делается в технологических приложениях, где основной интерес представляют улучшающие поле свойства наноструктуры с локальным эмиттером. Однако в некоторых прошлых работах неспособность провести четкое различие между барьерным полем F и макроскопическим полем F _M вызвала путаницу или ошибку.${\displaystyle \gamma F_{\mathrm {M} }}$

В более общем плане, цели технологического развития полевых эмиттеров большой площади состоят в том, чтобы повысить однородность излучения за счет увеличения значения площади эффективности излучения α _r и уменьшить «начальное» напряжение, при котором возникает значительная эмиссия, за счет увеличения значение β . Уравнение (41) показывает, что это может быть сделано двумя способами: либо путем разработки наноструктур с «высоким γ », либо путем изменения общей геометрии системы так, что β _M увеличивается. Существуют различные компромиссы и ограничения.

На практике, хотя определение макроскопического поля , используемого выше , является самым распространенным один, другие ( по- разному определены) типы макроскопического поля и коэффициента усиления поля используются в литературе, в частности в связи с использованием зондов для исследования I - V характеристики индивидуальных эмиттеров. ^[82]

В технологическом контексте данные полевой эмиссии часто наносятся на график с использованием (конкретного определения) F _M или 1 / F _M в качестве координаты x . Однако для научного анализа обычно лучше не предварительно манипулировать экспериментальными данными, а напрямую строить необработанные измеренные данные i - V. Значения технологических параметров, таких как (различные формы) γ, затем могут быть получены из подобранных параметров графика данных i - V (см. Ниже) с использованием соответствующих определений.

Модифицированные уравнения для нанометрически острых эмиттеров [ править ]

Большинство теоретических выводов в теории автоэлектронной эмиссии сделано в предположении, что барьер принимает форму Шоттки-Нордхейма ур. (3). Однако такая форма барьера неприменима для излучателей с радиусом кривизны, сравнимым с длиной туннельного барьера. Последнее зависит от работы выхода и поля, но в случаях, представляющих практический интерес, приближение SN-барьера можно считать допустимым для излучателей с радиусами , как объясняется в следующем абзаце.${\displaystyle R}$${\displaystyle R>20{\text{nm}}}$

Основное предположение приближения барьера SN состоит в том, что член электростатического потенциала принимает линейную форму в области туннелирования. Последнее было доказано, только если . ^[83] Следовательно, если область туннелирования имеет длину , все это определяет процесс туннелирования; таким образом, если ур. (1) справедливо и приближение SN-барьера справедливо. Если вероятность туннелирования достаточно высока для получения измеримой полевой эмиссии, L не превышает 1-2 нм. Следовательно, барьер SN справедлив для излучателей с радиусами порядка нескольких десятков нм.${\displaystyle \Phi =Fx}$${\displaystyle x\ll R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x<L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L\ll R}$

Однако современные излучатели намного острее этого, с радиусом порядка нескольких нм. Следовательно, стандартное уравнение FN или любая его версия, предполагающая барьер SN, приводит к значительным ошибкам для таких резких излучателей. Это было доказано теоретически ^{[84] [85]} и подтверждено экспериментально. ^[86]

Вышеупомянутая проблема была рассмотрена в исх. ^[83] Барьер сверхновой был обобщен с учетом кривизны эмиттера. Можно доказать, что электростатический потенциал вблизи любой металлической поверхности с радиусом кривизны может быть асимптотически разложен как ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \Phi (x)=Fx\left[1-{\frac {x}{R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]{\text{, for }}x\ll R{\text{.}}..........(42)}$

Кроме того, потенциал изображения для резкого излучателя лучше представлен тем, который соответствует сферической металлической поверхности, а не плоской. После пренебрежения всеми членами общий потенциальный барьер принимает форму, найденную Кирицакисом и Ксантакисом ^[83]${\displaystyle O(x/R)^{2}}$

${\displaystyle M^{KX}(x)=h-eFx\left(1-{\frac {x}{R}}\right)-{\frac {e^{2}}{16\pi \epsilon _{0}x(1+x/2R)}}..........(43)}$

Если приближение JWKB (4) используется для этого барьера, показатель Гамова принимает форму, которая обобщает уравнение. (5)

${\displaystyle G(h,F,R)={\frac {bh^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {h}{eFR}}\right)..........(44)}$

где определяется формулой (30d), задается формулой (30c) и представляет собой новую функцию, которая может быть аппроксимирована аналогично (30c) (здесь есть типографические ошибки, исправленные в ^[83] ): ${\displaystyle f}$${\displaystyle v(f)}$${\displaystyle \omega (f)}$

${\displaystyle \omega (f)\approx {\frac {4}{5}}-{\frac {7}{40}}f+{\frac {1}{200}}\log(f){\text{.}}..........(45)}$

Учитывая выражение для показателя Гамова как функции высоты бесполевого барьера , излучаемая плотность тока для холодной полевой эмиссии может быть получена из уравнения. (23). Это дает ${\displaystyle h}$

${\displaystyle J=a{\frac {F^{2}}{\phi }}\left({\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}+{\frac {\phi }{eFR}}\psi (f)\right)^{-2}\exp \left[-{\frac {b\phi ^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {\phi }{eFR}}\right)\right]..........(46)}$

где функции и определены как${\displaystyle \lambda _{d}(f)}$${\displaystyle \psi (f)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}\equiv v(f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial v}{\partial f}}\approx 1+{\frac {f}{9}}-{\frac {f\log(f)}{22}}..........(47a)}$

и

${\displaystyle \psi (f)\equiv {\frac {5}{3}}\omega (f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial \omega }{\partial f}}\approx {\frac {4}{3}}-{\frac {f}{15}}-{\frac {f\log(f)}{1200}}..........(47b)}$

В уравнении (46) для целей полноты оно не аппроксимируется единицей, как в (29) и (30a), хотя для большинства практических случаев это очень хорошее приближение. Кроме того, уравнения (43), (44) и (46) в пределе совпадают с соответствующими уравнениями стандартной теории Фаулера-Нордгейма (3), (9) и (30a) ; это ожидается, поскольку первые уравнения обобщают последние.${\displaystyle \lambda _{d}}$${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

Наконец, отметим, что приведенный выше анализ является асимптотическим в пределе , аналогично стандартной теории Фаулера-Нордхейма, использующей барьер сверхновой. Однако добавление квадратичных членов делает его значительно более точным для излучателей с радиусами кривизны в диапазоне ~ 5-20 нм. Для более острых эмиттеров нет общего приближения для плотности тока. Чтобы получить плотность тока, необходимо вычислить электростатический потенциал и вычислить интеграл JWKB численно. Для этого разработаны научные вычислительные программные библиотеки. ^[87]${\displaystyle L\ll R}$

Эмпирическое уравнение CFE i - V [ править ]

На современном этапе развития теории CFE важно проводить различие между теоретическими уравнениями CFE и эмпирическими уравнениями CFE. Первые заимствованы из физики конденсированного состояния (хотя и в контекстах, где их детальное развитие затруднительно). Эмпирическое уравнение CFE, с другой стороны, просто пытается представить фактический экспериментальный вид зависимости тока I от напряжения V .

В 1920-х годах эмпирические уравнения использовались, чтобы найти степень V, которая появляется в показателе степени полулогарифмического уравнения, предполагаемого для описания экспериментальных результатов CFE. В 1928 году теория и эксперимент были объединены, чтобы показать, что (кроме, возможно, очень острых излучателей) эта мощность равна V ⁻¹ . Недавно было предложено провести эксперименты CFE, чтобы попытаться найти степень ( κ ) V в предэкспоненциальной функции следующего эмпирического уравнения CFE: ^[88]

${\displaystyle i=\;CV^{\kappa }\mathrm {exp} [-B/V],..........(48)}$

где B , C и κ считаются константами.

Из ур. (42) легко показать, что

${\displaystyle -\mathrm {dln} i/\mathrm {d} (1/V)=\;\kappa V+B,..........(49)}$

В 1920-х годах экспериментальные методы не могли различить результаты κ = 0 (предполагаемые Милликеном и Лортисеном) ^[13] и κ = 2 (предсказанные исходным уравнением типа Фаулера-Нордхейма). ^[1] Однако теперь появилась возможность проводить достаточно точные измерения dlni / d (1 / V) (при необходимости, используя синхронный усилитель / методы фазочувствительного обнаружения и оборудование с компьютерным управлением) и вычислять κ от наклона соответствующего графика данных. ^[50]

После открытия приближения (30b) теперь очень ясно, что даже для CFE из массивных металлов значение κ = 2 не ожидается. Это можно показать следующим образом. Используя ур. (30c) выше, безразмерный параметр η может быть определен как

${\displaystyle \eta =b\phi ^{3/2}/F_{\phi }=\;(be^{3}/4\pi \epsilon _{0}){\phi }^{-1/2}\approx 9.836239\;\;(\mathrm {eV} /\phi )^{1/2}...........(50)}$

При φ = 4,50 эВ этот параметр имеет значение η = 4,64. Поскольку f = F / F _φ и v ( f ) задается уравнением (30b), показатель степени в упрощенном стандартном уравнении типа Фаулера-Нордхейма (30) может быть записан в альтернативной форме, а затем расширен следующим образом: ^{[69 ]}

${\displaystyle \mathrm {exp} [-v(f)\;b{\phi }^{3/2}/F]\;=\;\mathrm {exp} [-v(f)\;\eta /f]\;\approx \;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\mathrm {exp} [-\eta /f]\;=\;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\mathrm {exp} [-b{\phi }^{3/2}/F]...........(51)}$

При условии, что коэффициент преобразования β не зависит от напряжения, параметр f имеет альтернативное определение f = V / V _φ , где V _φ - напряжение, необходимое в конкретной экспериментальной системе, чтобы уменьшить высоту барьера Шоттки-Нордхейма от φ к нулю. Таким образом, ясно, что множитель v ( f ) в показателе экспоненты теоретического уравнения (30) вызывает дополнительную V- зависимость в предэкспоненциальнойэмпирического уравнения. Таким образом (для эффектов, связанных с барьером Шоттки-Нордхейма, и для эмиттера с φ = 4,5 эВ) получаем предсказание:

${\displaystyle \kappa \approx 2-\eta /6=2-0.77=1.23...........(52)}$

Поскольку в уравнении типа Фаулера-Нордхейма также может существовать зависимость от напряжения, в частности, в условной области выбросов ^[30] A _r и в локальной работе выхода, не обязательно ожидать, что κ для CFE от металл с локальной работой выхода 4,5 эВ должен иметь значение κ = 1,23, но, конечно, нет никаких оснований ожидать, что он будет иметь исходное значение Фаулера-Нордхейма κ = 2. ^[89]

Первая экспериментальная проверка этого предложения была проведена Кирком, который использовал несколько более сложную форму анализа данных, чтобы найти значение 1,36 для своего параметра κ . Его параметр κ очень похож, но не совсем такой же, как параметр κ, используемый здесь, но, тем не менее, его результаты, похоже, подтверждают потенциальную полезность этой формы анализа. ^[90]

Использование эмпирического уравнения CFE (42) и измерение κ может быть особенно полезным для неметаллов. Строго говоря, уравнения типа Фаулера-Нордхейма применимы только к излучению из зоны проводимости массивных кристаллических твердых тел. Однако эмпирические уравнения вида (42) должны применяться ко всем материалам (хотя, вероятно, для очень острых излучателей может потребоваться модификация). Кажется весьма вероятным, что один из способов, которым уравнения CFE для новых материалов могут отличаться от уравнений типа Фаулера-Нордхейма, заключается в том, что эти уравнения CFE могут иметь различную степень F (или V ) в их предэкспонентах. Измерения κ могут дать некоторые экспериментальные свидетельства этого.

Графики Фаулера-Нордхейма и Милликена-Лауритсена [ править ]

Исходное теоретическое уравнение, полученное Фаулером и Нордхеймом ^[1] , за последние 80 лет повлияло на способ построения и анализа экспериментальных данных CFE. В очень широко используемом графике Фаулера-Нордхейма, представленном Stern et al. в 1929 году, ^[16] величина пер { я / V ² } представлено в зависимости от 1 / V . Первоначальное мышление заключалось в том, что (как предсказывалось исходным или элементарным уравнением типа Фаулера-Нордхайма) это приведет к точной прямой линии наклона S _FN . S _FN будет связан с параметрами, которые появляются в экспоненте уравнения типа Фаулера-Нордхейма для i- V форма:

${\displaystyle S_{\mathrm {FN} }=\;-b{\phi }^{3/2}/\beta ...........(47)}$

Следовательно, знание φ позволит определить β или наоборот.

[В принципе, в геометрии системы, где присутствует локальная усиливающая поле наноструктура и может быть определен макроскопический коэффициент преобразования β _M , знание β затем позволяет определить значение эффективного коэффициента усиления поля эмиттера γ по формуле γ = β / β _М . В обычном случае пленочного эмиттера, созданного на одной пластине двухпластинчатого устройства с разделением пластин W (так что β _M = 1 / W ), тогда

${\displaystyle \gamma =\;\beta W...........(48)}$

В настоящее время это одно из наиболее вероятных применений графиков Фаулера-Нордхейма.]

Впоследствии стало ясно, что исходное мышление, приведенное выше, строго верно только для физически нереалистичной ситуации с плоским излучателем и точным треугольным барьером. Для реальных излучателей и реальных барьеров необходимо ввести «поправочный коэффициент наклона» σ _FN , что дает пересмотренную формулу

${\displaystyle S_{\mathrm {FN} }=\;-\sigma _{\mathrm {FN} }b{\phi }^{3/2}/\beta ...........(49)}$

На значение σ _FN , в принципе, будет влиять любой параметр в физически полном уравнении типа Фаулера-Нордхайма для i ( V ), который имеет зависимость от напряжения.

В настоящее время единственным параметром, который считается важным, является поправочный коэффициент, относящийся к форме барьера, а единственным барьером, для которого существует какая-либо хорошо обоснованная подробная теория, является барьер Шоттки-Нордхейма. В этом случае σ _FN задается математической функцией s . Эта функция s была впервые правильно табулирована (как функция параметра Нордхейма y ) Берджессом, Кремером и Хьюстоном в 1953 году; ^[71], а современная трактовка, которая дает s как функцию масштабированного барьерного поля f для барьера Шоттки-Нордхейма, приведена в ^[69].${\displaystyle \nu _{\mathrm {F} }}$Однако уже давно было ясно, что для практической работы эмиттера значение s лежит в диапазоне от 0,9 до 1.

На практике, из-за дополнительной сложности, связанной с подробным учетом поправочного коэффициента наклона, многие авторы (фактически) помещают σ _FN = 1 в ур. (49), тем самым создавая систематическую ошибку в их оценочных значениях β и / или γ , которые обычно составляют около 5%.

Однако эмпирическое уравнение (42), которое в принципе является более общим, чем уравнения типа Фаулера-Нордхейма, предлагает новые способы анализа данных i - V автоэлектронной эмиссии . В общем, можно предположить, что параметр B в эмпирическом уравнении связан с нередуцированной высотой H некоторого характерного барьера, наблюдаемого туннелирующими электронами посредством

${\displaystyle B=\;bH^{3/2}/\beta ...........(50)}$

(В большинстве случаев, но не обязательно во всех, H будет равно локальной работе выхода; конечно, это верно для металлов.) Проблема состоит в том, как определить значение B экспериментально. Есть два очевидных пути. (1) Предположим, что ур. (43) можно использовать для определения достаточно точного экспериментального значения κ по наклону графика формы [–dln { i } / d (1 / V ) vs. V ]. В этом случае, второй участок, из Ln ( я ) / V ^κ по сравнению с 1 / V , должна быть точной прямой линии наклона - B . Такой подход должен быть наиболее точным способом определения B .

(2) В качестве альтернативы, если значение κ точно не известно и не может быть точно измерено, но может быть оценено или угадано, то значение для B может быть получено из графика вида [ln { i } vs. 1 / V ]. Это форма графика, использованная Милликеном и Лауритсеном в 1928 году. (43) дает

${\displaystyle B=\;-\mathrm {dln} (i)/\mathrm {d} (1/V)-\kappa (1/V)...........(51)}$

Таким образом, B может быть определено с хорошей степенью приближения путем определения среднего наклона графика Милликена-Лауритсена в некотором диапазоне значений 1 / V и путем применения поправки, используя значение 1 / V в средняя точка диапазона и предполагаемое значение κ .

Основные преимущества использования графика Милликена-Лауритсена и этой формы процедуры коррекции, а не графика Фаулера-Нордхейма и поправочного коэффициента наклона, заключаются в следующем. (1) Процедура построения несколько проще. (2) Коррекция включает физический параметр ( V ), который является измеряемой величиной, а не физический параметр ( f ), который должен быть вычислен [для того, чтобы затем вычислить значение s ( f ) или, в более общем плане, σ _FN. ( f )]. (3) Оба параметра κсам по себе и процедура исправления более прозрачны (и легче понимаются), чем эквиваленты графика Фаулера-Нордхейма. (4) Эта процедура учитывает все физические эффекты, которые влияют на значение κ , тогда как процедура коррекции графика Фаулера-Нордхейма (в том виде, в котором она проводилась в течение последних 50 лет) учитывает только эти эффекты связаны с формой барьера - предполагая, кроме того, что это форма барьера Шоттки-Нордхейма. (5) Существует более четкое разделение теоретических и технологических проблем: теоретики будут заинтересованы в установлении, какую информацию любые измеренные значения κ предоставляют о теории CFE; но экспериментаторы могут просто использовать измеренные значения κдля получения более точных оценок (при необходимости) коэффициентов усиления месторождения. ^{[ необходима цитата ]}

Эту процедуру коррекции для графиков Милликена-Лауритсена станет проще применять, когда будет проведено достаточное количество измерений κ и появится лучшее представление о типичных значениях на самом деле. В настоящее время кажется вероятным, что для большинства материалов κ будет лежать в диапазоне -1 < κ <3. ^{[ необходима цитата ]}

Дополнительная теоретическая информация [ править ]

Разработать приближенную теорию CFE из металлов, описанных выше, сравнительно легко по следующим причинам. (1) Теория свободных электронов Зоммерфельда с ее частными предположениями о распределении внутренних электронных состояний по энергиям в первом приближении адекватно применима ко многим металлам. (2) В большинстве случаев металлы не имеют поверхностных состояний и (во многих случаях) волновые функции металлов не имеют значительных « поверхностных резонансов ». (3) Металлы имеют высокую плотность состояний на уровне Ферми, поэтому заряд, который генерирует / экранирует внешние электрические поля, находится в основном за пределами верхнего атомного слоя, и никакого значимого «проникновения поля» не происходит. (4) Металлы обладают высокой электропроводностью.: внутри металлических эмиттеров не происходит значительных падений напряжения: это означает, что нет факторов, препятствующих доставке электронов к эмиттирующей поверхности, и что электроны в этой области могут находиться как в эффективном локальном термодинамическом равновесии, так и в эффективном термодинамическом равновесии с электронами в опорной конструкции металла , на которой излучатель установлен. (5) Эффекты атомарного уровня не принимаются во внимание. ^{[ необходима цитата ]}

Развитие «простых» теорий полевой электронной эмиссии и, в частности, разработка уравнений типа Фаулера-Нордхейма, опирается на истинность всех пяти из вышеперечисленных факторов. Для материалов, отличных от металлов (и для металлических эмиттеров с атомарной остротой), один или несколько из вышеперечисленных факторов будут неверными. Например, кристаллические полупроводники не имеют зонной структуры, подобной свободным электронам, имеют поверхностные состояния, подвержены проникновению поля и искривлению зон и могут демонстрировать как внутренние падения напряжения, так и статистическую развязку распределения электронов в поверхностных состояниях от распределение электронов в поверхностной области объемной зонной структуры (это разделение известно как «эффект Модиноса»). ^{[33] [91]}

На практике теория фактического туннельного процесса Фаулера-Нордхейма во многом одинакова для всех материалов (хотя детали формы барьера могут отличаться, и модифицированная теория должна быть разработана для начальных состояний, которые локализованы, а не похожи на бегущую волну. ). Однако, несмотря на такие различия, можно ожидать (для термодинамического равновесияситуаций), что все уравнения CFE будут иметь показатели, которые в целом ведут себя одинаково. Вот почему применение уравнений типа Фаулера-Нордхейма к материалам, выходящим за рамки приведенных здесь выводов, часто работает. Если интерес представляют только параметры (такие как коэффициент усиления поля), которые относятся к наклону графиков Фаулера-Нордхейма или Милликена-Лауритсена и к показателю степени уравнения CFE, то теория типа Фаулера-Нордхейма часто дает разумные оценки. Однако попытки получить значимые значения плотности тока обычно или всегда терпят неудачу.

Обратите внимание, что прямая линия на графике Фаулера-Нордхейма или Милликена-Лауритсена не означает, что излучение из соответствующего материала подчиняется уравнению типа Фаулера-Нордхейма: это указывает только на то, что механизм излучения отдельных электронов, вероятно, является туннелированием Фаулера-Нордхейма. ^{[ необходима цитата ]}

Различные материалы могут иметь радикально разные распределения по энергиям своих внутренних электронных состояний, поэтому процесс интегрирования вкладов плотности тока по внутренним электронным состояниям может привести к существенно разным выражениям для предэкспонент плотности тока для разных классов материалов. . В частности, мощность барьерного поля, фигурирующая в предэкспоненте, может отличаться от исходного значения Фаулера-Нордхейма «2». Исследование эффектов такого рода - активная тема для исследований. Эффекты «резонанса» и « рассеяния » на атомном уровне , если они возникнут, также изменят теорию.

Если материалы подвержены проникновению в поле и изгибу ленты, необходимо иметь хорошие теории таких эффектов (для каждого отдельного класса материалов), прежде чем можно будет разработать детальные теории CFE. Там, где возникают эффекты падения напряжения, теория эмиссионного тока может в большей или меньшей степени стать теорией, которая включает в себя эффекты внутреннего переноса, и может стать очень сложной.

См. Также [ править ]

• Автоэмиссионный микроскоп
• Автоэмиссионные зонды
• Массив полевого эмиттера
• Индикация автоэмиссии
• Эффект Франца – Келдыша.

Ссылки [ править ]