Квантовое туннелирование

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологическая интерпретация квантовой механики де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Квантовое туннелирование или туннелирование (US) - это квантово-механическое явление, при котором волновая функция может распространяться через потенциальный барьер .

Прохождение через барьер может быть конечным и экспоненциально зависит от высоты и ширины барьера. Волновая функция может исчезнуть с одной стороны и снова появиться с другой. Волновые и ее первая производная является непрерывными . В установившемся режиме поток вероятностей в прямом направлении пространственно однороден. Ни частица, ни волна не теряются. Туннелирование происходит с барьерами толщиной около 1–3 нм и меньше. ^[1]

Некоторые авторы также идентифицируют простое проникновение волновой функции в барьер без передачи на другую сторону как туннельный эффект. Квантовое туннелирование не предсказывается законами классической механики, где для преодоления потенциального барьера требуется потенциальная энергия.

Квантовое туннелирование играет важную роль в физических явлениях, таких как ядерный синтез . ^[2] Он может применяться в туннельных диодах , ^[3] квантовых вычислениях и в сканирующем туннельном микроскопе .

Эффект был предсказан еще в начале 20 века. Его признание в качестве общего физического явления пришло к середине века. ^[4]

Квантовое туннелирование призвано создать физические ограничения на размер транзисторов, используемых в микроэлектронике , из-за того, что электроны могут туннелировать мимо транзисторов, которые слишком малы. ^{[5] [6]}

Туннелирование можно объяснить в терминах принципа неопределенности Гейзенберга в том смысле, что квантовый объект может быть известен как волна или как частица в целом. Другими словами, неопределенность точного местоположения легких частиц позволяет этим частицам нарушать правила классической механики и перемещаться в пространстве, не преодолевая барьер потенциальной энергии.

История [ править ]

Квантовое туннелирование было разработано на основе исследования радиоактивности ^[4], которое было открыто в 1896 году Анри Беккерелем . ^[7] Радиоактивность была дополнительно исследована Мари Кюри и Пьером Кюри , за что они получили Нобелевскую премию по физике в 1903 году. ^[7] Эрнест Резерфорд и Эгон Швайдлер изучали ее природу, что позже было подтверждено эмпирически Фридрихом Кольраушем . Идея полураспада и возможность предсказания распада родилась из их работы. ^[4]

В 1901 году Роберт Фрэнсис Эрхарт обнаружил неожиданный режим проводимости при исследовании проводимости газов между близко расположенными электродами с помощью интерферометра Майкельсона . Дж. Дж. Томсон прокомментировал, что открытие требует дальнейшего расследования. В 1911, а затем в 1914 году тогдашний аспирант Франц Ротер непосредственно измерил токи установившейся автоэмиссии. Он использовал метод Эрхарта для контроля и измерения расстояния между электродами, но с помощью чувствительного платформенного гальванометра . В 1926 году Ротер измерил токи автоэмиссии в «жестком» вакууме между близко расположенными электродами . ^[8]

Квантовое туннелирование было впервые замечено в 1927 году Фридрихом Хундом, когда он вычислял основное состояние двухъямного потенциала ^[7]. Леонид Мандельштам и Михаил Леонтович независимо друг от друга открыли его в том же году. Они анализировали значение тогда еще нового волнового уравнения Шредингера . ^[9]

Его первым приложением было математическое объяснение альфа-распада , которое было разработано в 1928 году Джорджем Гамовым (которому были известны открытия Мандельштама и Леонтовича ^[10] ) и независимо Рональдом Герни и Эдвардом Кондоном . ^{[11] [12] [13] [14]} Последние исследователи одновременно решили уравнение Шрёдингера для модельного ядерного потенциала и вывели зависимость между периодом полураспада частицы и энергией излучения, которая напрямую зависит от математической вероятности туннелирование.

После посещения семинара Гамова Макс Борн осознал универсальность туннелирования. Он понял, что это не ограничивается ядерной физикой , а является общим результатом квантовой механики, которая применяется ко многим различным системам. ^[4] Вскоре после этого обе группы рассмотрели случай туннелирования частиц в ядро. Изучение полупроводников и разработка транзисторов и диодов привело к признанию туннелирования электронов в твердых телах к 1957 году. Лео Эсаки , Ивар Дживер и Брайан Джозефсон предсказали туннелирование сверхпроводящих куперовских пар., за что они получили Нобелевскую премию по физике в 1973 году. ^[4] В 2016 году было обнаружено квантовое туннелирование воды . ^[15]

Введение в концепцию [ править ]

Квантовое туннелирование подпадает под область квантовой механики : изучение того, что происходит на квантовом уровне . Туннелирование невозможно увидеть напрямую. Большая часть его понимания сформирована микроскопическим миром, который классическая механика не может объяснить. Чтобы понять это явление , частицы, пытающиеся преодолеть потенциальный барьер, можно сравнить с мячом, пытающимся перекатиться через холм.

Квантовая механика и классическая механика по- разному трактуют этот сценарий. Классическая механика предсказывает, что частицы, у которых недостаточно энергии, чтобы классически преодолеть барьер, не могут достичь другой стороны. Таким образом, мяч без энергии, достаточной для преодоления холма, скатится обратно вниз. Мяч, которому не хватает энергии, чтобы пробить стену, отскакивает назад. В качестве альтернативы мяч может стать частью стены (поглощение).

В квантовой механике эти частицы могут с небольшой вероятностью туннелировать на другую сторону, пересекая таким образом барьер. Мяч в некотором смысле заимствует энергию у своего окружения, чтобы пересечь стену. Затем он возмещает энергию, делая отраженные электроны ^{[ необходимо уточнение ]} более энергичными, чем они могли бы быть в противном случае. ^[16]

Причина этой разницы заключается в том, что материя рассматривается как обладающая свойствами волн и частиц . Одна интерпретация этой двойственности включает принцип неопределенности Гейзенберга , который определяет предел того, насколько точно могут быть известны положение и импульс частицы одновременно. ^[7]Это означает, что ни одно решение не имеет вероятности, равной нулю (или единице), хотя она может приближаться к бесконечности. Если, например, расчет его местоположения был принят как вероятность 1, его скорость должна была бы быть бесконечной (что невозможно). Следовательно, вероятность существования данной частицы на противоположной стороне промежуточного барьера отлична от нуля, и такие частицы будут появляться на «другой» (семантически трудное слово в данном случае) пропорционально этой вероятности.

Проблема туннелирования [ править ]

Волновая функция частицы обобщает все , что может быть известно о физической системе . ^[17] Таким образом, в задачах квантовой механики анализируется волновая функция системы. Используя математические формулировки, такие как уравнение Шредингера , можно вывести волновую функцию. Квадрат абсолютного значения этой волновой функции напрямую связан с распределением вероятностей положения частицы, которое описывает вероятность того, что частица находится в любом заданном месте. Чем шире барьер и выше энергия барьера, тем меньше вероятность туннелирования.

Простая модель туннельного барьера, например прямоугольного барьера , может быть проанализирована и решена алгебраически. В канонической теории поля туннелирование описывается волновой функцией, которая имеет ненулевую амплитуду внутри туннеля; но ток там равен нулю, потому что относительная фаза амплитуды сопряженной волновой функции (производная по времени) ортогональна ей.

Моделирование показывает одну такую ​​систему.

На второй иллюстрации показан принцип неопределенности в действии. Волна ударяется о преграду; барьер заставляет его становиться выше и уже. Волна становится намного более удаленной - теперь она по обе стороны от барьера, она шире с каждой стороны и ниже по максимальной амплитуде, но равна общей амплитуде. На обеих иллюстрациях локализация волны в пространстве вызывает локализацию действия барьера во времени, тем самым рассеивая энергию / импульс волны.

В реальной жизни проблемы часто не имеют, поэтому были разработаны «полуклассические» или «квазиклассические» методы, предлагающие приближенные решения, такие как приближение ВКБ . Вероятности могут быть получены с произвольной точностью, так как ограниченно вычислительными ресурсами, с помощью фейнмановского «S пути интегрального метода. Такая точность редко требуется в инженерной практике. ^{[ необходима цитата ]}

Динамическое туннелирование [ править ]

Концепция квантового туннелирования может быть расширена на ситуации, когда существует квантовый перенос между областями, которые классически не связаны, даже если нет связанного потенциального барьера. Это явление известно как динамическое туннелирование. ^{[18] [19]}

Туннелирование в фазовом пространстве [ править ]

Концепция динамического туннелирования особенно подходит для решения проблемы квантового туннелирования в больших измерениях (d> 1). В случае интегрируемой системы , где ограниченные классические траектории ограничены торами в фазовом пространстве , туннелирование можно понимать как квантовый перенос между полуклассическими состояниями, построенными на двух различных, но симметричных торах. ^[20]

Туннелирование с помощью хаоса [ править ]

В реальной жизни большинство систем не интегрируются и демонстрируют различную степень хаоса. Тогда говорят, что классическая динамика является смешанной, а фазовое пространство системы обычно состоит из островов регулярных орбит, окруженных большим морем хаотических орбит. Существование хаотического моря между двумя симметричными торами, где транспорт в классическом смысле разрешен, способствует квантовому туннелированию между ними. Это явление называется туннелированием с помощью хаоса. ^[21] и характеризуется резкими резонансами скорости туннелирования при изменении любого параметра системы.

Резонансное туннелирование [ править ]

Когда он мал по сравнению с размером регулярных островков, тонкая структура классического фазового пространства играет ключевую роль в туннелировании. В частности, два симметричных тора связаны «последовательностью классически запрещенных переходов через нелинейные резонансы», окружающей два острова. ^[22]${\ displaystyle \ hbar}$

Связанные явления [ править ]

Некоторые явления имеют то же поведение, что и квантовое туннелирование, и могут быть точно описаны туннелированием. Примеры включают туннелирование классической ассоциации волна-частица, ^[23] затухающее волновое взаимодействие (применение волнового уравнения Максвелла к свету ) и применение недисперсионного волнового уравнения из акустики к «волнам на струнах» . До недавнего времени связь возникающих волн называлась только «туннелированием» в квантовой механике; теперь он используется в других контекстах.

Эти эффекты моделируются аналогично прямоугольному потенциальному барьеру . В этих случаях одна передающая среда, через которую распространяется волна , одинакова или почти одинакова повсюду, и вторая среда, через которую волна распространяется по-разному. Это можно описать как тонкую область среды B между двумя областями среды A. Анализ прямоугольного барьера с помощью уравнения Шредингера может быть адаптирован к этим другим эффектам при условии, что волновое уравнение имеет решения бегущей волны в среде A, но вещественные экспоненциальные решения в среде B.

В оптике среда A - это вакуум, а среда B - стекло. В акустике среда A может быть жидкостью или газом, а среда B - твердым телом. В обоих случаях среда A - это область пространства, в которой полная энергия частицы больше ее потенциальной энергии, а среда B является потенциальным барьером. У них есть приходящая волна и результирующие волны в обоих направлениях. Средств и барьеров может быть больше, и барьеры не обязательно должны быть дискретными. В этом случае полезны приближения.

Приложения [ править ]

Туннелирование является причиной некоторых важных макроскопических физических явлений.

Электроника [ править ]

Туннелирование является источником утечки тока в электронике с очень крупномасштабной интеграцией (СБИС) и приводит к значительному потреблению энергии и эффектам нагрева, от которых страдают такие устройства. Это считается нижним пределом того, как можно изготавливать элементы микроэлектроники. ^[24] Туннелирование - это фундаментальный метод, используемый для программирования плавающих вентилей флэш-памяти .

Холодное излучение [ править ]

Холодный выброс из электронов имеет отношение к полупроводникам и сверхпроводники физике. Это похоже на термоэлектронную эмиссию , когда электроны случайным образом прыгают с поверхности металла, следуя за смещением напряжения, потому что они статистически в конечном итоге получают больше энергии, чем барьер, из-за случайных столкновений с другими частицами. Когда электрическое поле очень велико, барьер становится достаточно тонким, чтобы электроны могли туннелировать из атомного состояния, что приводит к току, который изменяется примерно по экспоненте с электрическим полем. ^[25] Эти материалы важны для флеш-памяти , электронных ламп, а также некоторых электронных микроскопов.

Туннельный переход [ править ]

Простой барьер можно создать, разделив два проводника очень тонким изолятором . Это туннельные переходы, изучение которых требует понимания квантового туннелирования. ^[26] Джозефсоновские переходы используют преимущества квантового туннелирования и сверхпроводимости некоторых полупроводников для создания эффекта Джозефсона . Это находит применение в прецизионных измерениях напряжений и магнитных полей , ^[25] , а также многопереходную солнечные батареи .

Клеточные автоматы с квантовыми точками [ править ]

QCA - это технология молекулярно-бинарного логического синтеза, работающая на системе межостровного электронного туннелирования. Это очень маломощное и быстрое устройство, которое может работать на максимальной частоте 15 ПГц . ^[27]

Туннельный диод [ править ]

Диоды - это электрические полупроводниковые устройства, которые пропускают электрический ток в одном направлении больше, чем в другом. Устройство зависит от обедненного слоя между полупроводниками N-типа и P-типа, чтобы служить своей цели. Когда они сильно легированы, обедненный слой может быть достаточно тонким для туннелирования. При приложении небольшого прямого смещения ток из-за туннелирования становится значительным. Это имеет максимум в точке, где смещение напряжения таково, что уровни энергии p- и n- зон проводимости одинаковы. По мере увеличения напряжения смещения две зоны проводимости больше не совпадают, и диод работает нормально. ^[28]

Поскольку туннельный ток быстро спадает, могут быть созданы туннельные диоды, которые имеют диапазон напряжений, для которых ток уменьшается с увеличением напряжения. Это особое свойство используется в некоторых приложениях, например, в высокоскоростных устройствах, где характерная вероятность туннелирования изменяется так же быстро, как напряжение смещения. ^[28]

В резонансно - туннельного диода использует квантового туннелирования в совершенно другом таким образом , чтобы достичь аналогичного результата. Этот диод имеет резонансное напряжение, при котором большой ток способствует определенному напряжению, достигаемому размещением двух тонких слоев с полосой высокой энергетической проводимости рядом друг с другом. Это создает квантовую потенциальную яму с дискретным самым низким уровнем энергии . Когда этот уровень энергии выше, чем у электронов, туннелирования не происходит, и диод находится в обратном смещении. Когда две энергии напряжения совпадают, электроны текут, как разомкнутый провод. При дальнейшем увеличении напряжения туннелирование становится маловероятным, и диод снова начинает действовать как обычный диод, прежде чем станет заметным второй уровень энергии. ^[29]

Туннельные полевые транзисторы [ править ]

В рамках европейского исследовательского проекта были продемонстрированы полевые транзисторы, в которых затвор (канал) управляется посредством квантового туннелирования, а не посредством тепловой инжекции, что снижает напряжение затвора с ≈1 вольт до 0,2 вольт и снижает энергопотребление до 100 раз. Если эти транзисторы могут быть увеличены до микросхем СБИС , они улучшат производительность интегральных схем в расчете на мощность . ^[30]

Ядерный синтез [ править ]

Квантовое туннелирование - важное явление для ядерного синтеза. Температура в ядрах звезд обычно недостаточна, чтобы позволить атомным ядрам преодолеть кулоновский барьер и достичь термоядерного синтеза . Квантовое туннелирование увеличивает вероятность преодоления этого барьера. Хотя эта вероятность все еще мала, чрезвычайно большого количества ядер в ядре звезды достаточно для поддержания устойчивой реакции синтеза - предварительного условия для эволюции жизни в инсоляционных обитаемых зонах. ^[31]

Радиоактивный распад [ править ]

Радиоактивный распад - это процесс испускания частиц и энергии из нестабильного ядра атома с образованием стабильного продукта. Это осуществляется посредством туннелирования частицы из ядра (туннелирование электрона в ядро ​​- это захват электрона ). Это было первое применение квантового туннелирования. Радиоактивный распад является актуальной проблемой для астробиологии, поскольку это следствие квантового туннелирования создает постоянный источник энергии в течение большого интервала времени для окружающей среды за пределами околозвездной обитаемой зоны, где инсоляция была бы невозможна ( подповерхностные океаны ) или эффективной. ^[31]

Астрохимия в межзвездных облаках [ править ]

Включая квантовое туннелирование, можно объяснить астрохимический синтез различных молекул в межзвездных облаках , например синтез молекулярного водорода , воды ( льда ) и пребиотического важного формальдегида . ^[31]

Квантовая биология [ править ]

Квантовое туннелирование - один из центральных нетривиальных квантовых эффектов в квантовой биологии . Здесь важно как туннелирование электронов, так и туннелирование протонов . ^[32] Электронное туннелирование является ключевым фактором многих биохимических окислительно-восстановительных реакций ( фотосинтез , клеточное дыхание ), а также ферментативного катализа. Протонное туннелирование - ключевой фактор спонтанной мутации ДНК . ^[31]

Спонтанная мутация происходит, когда нормальная репликация ДНК происходит после туннелирования особо значимого протона. ^[33] Водородная связь соединяет пары оснований ДНК. Двухъямный потенциал вдоль водородной связи разделяет потенциальный энергетический барьер. Считается, что потенциал двойной ямы асимметричен, одна яма глубже другой, так что протон обычно находится в более глубокой яме. Чтобы мутация произошла, протон должен проникнуть в более мелкую лунку. Движение протона из его обычного положения называется таутомерным переходом . Если в этом состоянии происходит репликация ДНК, правило спаривания оснований для ДНК может быть нарушено, что приведет к мутации. ^[34] Пер-Олов Лоудинбыл первым, кто разработал теорию спонтанной мутации внутри двойной спирали . Считается, что другие случаи мутаций в биологии, вызванные квантовым туннелированием, являются причиной старения и рака. ^[35]

Квантовая проводимость [ править ]

В то время как Друде модель из электропроводности делает отличные предсказания о природе электронов , проводящих в металлах, она может быть ускорена с помощью квантового туннелирования , чтобы объяснить природу столкновений электрона. ^[25] Когда волновой пакет свободных электронов встречает длинный массив равномерно расположенных барьеров , отраженная часть волнового пакета равномерно интерферирует с передаваемым между всеми барьерами, так что 100% передача становится возможной. Теория предсказывает, что если положительно заряженные ядра образуют идеально прямоугольный массив, электроны будут туннелировать через металл как свободные электроны, что приведет к чрезвычайно высокой проводимости., и что примеси в металле значительно повредят его. ^[25]

Сканирующий туннельный микроскоп [ править ]

Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ), изобретенный Гердом Биннигом и Генрихом Рорером , может позволить визуализировать отдельные атомы на поверхности материала. ^[25] Он работает, используя связь между квантовым туннелированием и расстоянием. Когда кончик иглы STM приближается к проводящей поверхности, имеющей смещение напряжения, измерение тока электронов, туннелирующих между иглой и поверхностью, показывает расстояние между иглой и поверхностью. Используя пьезоэлектрические стержникоторые изменяются в размере при приложении напряжения, высоту наконечника можно регулировать, чтобы поддерживать постоянный туннельный ток. Изменяющиеся во времени напряжения, которые прикладываются к этим стержням, могут быть записаны и использованы для изображения поверхности проводника. ^[25] СТМ имеют точность до 0,001 нм, или около 1% атомного диаметра. ^[29]

Кинетический изотопный эффект [ править ]

В химической кинетике замена легкого изотопа элемента на более тяжелый обычно приводит к более медленной скорости реакции. Обычно это объясняется различиями в нулевой колебательной энергии для химических связей, содержащих более легкие и более тяжелые изотопы, и обычно моделируется с использованием теории переходного состояния . Однако в некоторых случаях наблюдаются большие изотопические эффекты, которые нельзя объяснить полуклассическим подходом, и требуется квантовое туннелирование. Р.П. Белл разработал модифицированный подход к кинетике Аррениуса, который обычно используется для моделирования этого явления. ^[36]

Быстрее света [ править ]

Некоторые физики утверждают, что частицы с нулевым спином могут перемещаться при туннелировании со скоростью, превышающей скорость света . ^[4] Очевидно, это нарушает принцип причинности , поскольку тогда существует система отсчета, в которой частица прибывает до того, как покинуть ее. В 1998 году Фрэнсис Э. Лоу кратко рассмотрел феномен туннелирования с нулевым временем. ^[37] Совсем недавно экспериментальные данные о времени туннелирования фононов , фотонов и электронов были опубликованы Гюнтером Нимцем . ^[38]

Другие физики, такие как Herbert Winful , ^[39] спорной эти требования. Винфул утверждал, что волновой пакет туннелирующей частицы распространяется локально, поэтому частица не может туннелировать через барьер нелокально. Винфул также утверждал, что эксперименты, которые якобы демонстрируют нелокальное распространение, были неправильно истолкованы. В частности, групповая скорость волнового пакета не измеряет его скорость, а связана с количеством времени, в течение которого волновой пакет хранится в барьере. Но проблема остается в том, что волновая функция все еще растет внутри барьера во всех точках одновременно. Другими словами, в любой области, недоступной для измерения, нелокальное распространение все же математически определено.

Математическое обсуждение [ править ]

Уравнение Шредингера [ править ]

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для одной частицы в одном измерении можно записать как

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ Psi (x) + V (x) \ Psi ( х) = E \ Psi (x)}$ или же

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),}$

куда

• ${\displaystyle \hbar }$- приведенная постоянная Планка ,
• m - масса частицы,
• x представляет собой расстояние, измеренное в направлении движения частицы,
• Ψ - волновая функция Шредингера,
• V является потенциальной энергией частицы (измеренного по отношению к любому удобному опорному уровню),
• E - энергия частицы, связанная с движением по оси x (измеренная относительно V),
• M (x) - это величина, определяемая V (x) - E, которая не имеет общепринятого названия в физике.

Решения уравнения Шредингера принимают разные формы для разных значений x, в зависимости от того, положительное или отрицательное значение M (x). Когда M (x) постоянна и отрицательна, то уравнение Шредингера можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\;\;\;\;\;\;\mathrm {where} \;\;\;k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$

Решения этого уравнения представляют собой бегущие волны с фазовой постоянной + k или - k . В качестве альтернативы, если M (x) постоянна и положительна, то уравнение Шредингера можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)={\kappa }^{2}\Psi (x),\;\;\;\;\;\;\mathrm {where} \;\;\;{\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$

Решениями этого уравнения являются восходящие и падающие экспоненты в виде затухающих волн . Когда M (x) изменяется в зависимости от положения, возникает такая же разница в поведении, в зависимости от того, является ли M (x) отрицательным или положительным. Отсюда следует, что знак M (x) определяет природу среды, причем отрицательный M (x) соответствует среде A, а положительный M (x) соответствует среде B. Отсюда следует, что кратковременная связь волн может происходить, если область положительной M (x) зажатой между двумя областями отрицательной M (x), тем самым создавая потенциальный барьер.

Математика рассмотрения ситуации, когда M (x) изменяется в зависимости от x, сложна, за исключением особых случаев, которые обычно не соответствуют физической реальности. Полная математическая трактовка содержится в монографии Фрёмана и Фрёмана 1965 года. Их идеи не вошли в учебники физики, но их исправления не имеют количественного эффекта.

Приближение ВКБ [ править ]

Волновая функция выражается как экспонента функции:

${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)}}$, куда ${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$

${\displaystyle \Phi '(x)}$ затем разделяется на действительную и мнимую части:

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x)}$, где A (x) и B (x) - вещественные функции.

Подставляя второе уравнение в первое и используя тот факт, что мнимая часть должна быть равна 0, получаем:

${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$.

Воспроизвести медиа

Квантовое туннелирование в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве . Функция Вигнера для туннелирования через потенциальный барьер в атомных единицах (а.е.). Сплошные линии представляют собой набор уровней от Гамильтона .${\displaystyle U(x)=8e^{-0.25x^{2}}}$ ${\displaystyle H(x,p)=p^{2}/2+U(x)}$

Чтобы решить это уравнение с использованием полуклассического приближения, каждую функцию необходимо разложить в степенной ряд по . Из уравнений степенной ряд должен начинаться по крайней мере с порядка, чтобы удовлетворить действительную часть уравнения; для хорошего классического предела предпочтительнее начинать с максимально возможной степени постоянной Планка , что приводит к${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \hbar ^{-1}}$

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)}$

и

${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x)}$,

со следующими ограничениями на условия самого низкого порядка,

${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$

и

${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0}$.

Здесь можно рассмотреть два крайних случая.

Случай 1 Если амплитуда меняется медленно по сравнению с фазой и${\displaystyle A_{0}(x)=0}$

${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$

что соответствует классическому движению. Решение следующего порядка расширения дает

${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}$

Случай 2

Если фаза изменяется медленно по сравнению с амплитудой, и${\displaystyle B_{0}(x)=0}$

${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$

что соответствует туннелированию. Решение следующего порядка расширения дает

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$

В обоих случаях из знаменателя видно, что оба этих приближенных решения плохи вблизи классических точек поворота . Вдали от потенциального холма частица действует подобно свободной колеблющейся волне; под потенциальным холмом частица претерпевает экспоненциальные изменения амплитуды. Путем рассмотрения поведения в этих пределах и классических поворотных точках может быть принято глобальное решение.${\displaystyle E=V(x)}$

Для начала выбирается классическая точка поворота, которая расширяется в ряд по степеням :${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$

Сохранение только члена первого порядка обеспечивает линейность:

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})}$.

Используя это приближение, уравнение около становится дифференциальным уравнением :${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x)}$.

Это можно решить, используя функции Эйри в качестве решения.

${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)}$

Принимая эти решения для всех классических точек поворота, можно сформировать глобальное решение, которое связывает предельные решения. Учитывая два коэффициента по одну сторону от классической точки поворота, два коэффициента по другую сторону от классической точки поворота можно определить, используя это локальное решение для их соединения.

Следовательно, решения функции Эйри будут асимптотически преобразованы в синус, косинус и экспоненциальные функции в надлежащих пределах. Отношения между и являются${\displaystyle C,\theta }$${\displaystyle C_{+},C_{-}}$

${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

и

Квантовое туннелирование через барьер. В начале координат (x = 0) существует очень высокий, но узкий потенциальный барьер. Виден значительный туннельный эффект.

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

С найденными коэффициентами можно найти глобальное решение. Следовательно, коэффициент прохождения частицы, туннелирующей через единственный потенциальный барьер, равен

${\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}}}$,

где - две классические точки поворота потенциального барьера.${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

Для прямоугольного барьера это выражение упрощается до:

${\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}={\tilde {V}}_{0}^{-(x_{2}-x_{1})}}$.

См. Также [ править ]

• Диэлектрический барьерный разряд
• Автоэлектронная эмиссия
• Метод голштинской селедки
• Протонное туннелирование
• Сверхпроводящий туннельный переход
• Туннельный диод
• Туннельный переход
• Квантовое клонирование
• Белая дыра

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Н. Фрёман, П.-О. Фрёман (1965). Приближение JWKB: вклад в теорию . Амстердам: Северная Голландия.
• Разавы, Мохсен (2003). Квантовая теория туннелирования . World Scientific. ISBN 978-981-238-019-7.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Джеймс Бинни и Скиннер, Д. (2010). Физика квантовой механики: введение (3-е изд.). Cappella Archive. ISBN 978-1-902918-51-8.
• Либофф, Ричард Л. (2002). Вводная квантовая механика . Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-8714-8.
• Виленкин, Александр; Виленкин, Александр; Виницки, Серж (2003). «Создание частиц в туннельной вселенной». Physical Review D . 68 (2): 023520. arXiv : gr-qc / 0210034 . Bibcode : 2003PhRvD..68b3520H . DOI : 10.1103 / PhysRevD.68.023520 . S2CID  118969589 .
• HJW Мюллер-Кирстен (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд . Сингапур: World Scientific.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с квантовым туннелированием .

• Анимация, приложения и исследования, связанные с туннельным эффектом и другими квантовыми явлениями (Université Paris Sud)
• Анимированная иллюстрация квантового туннелирования
• Анимированная иллюстрация квантового туннелирования в устройстве RTD
• Интерактивное решение туннельного уравнения Шредингера.