В квантовой статистике , Бозе-Эйнштейна (B-E) статистические данные описывают один из двух возможных способов , в которых совокупность невзаимодействующих, неразличимых частиц могут занимать набор доступных дискретных энергетических состояний в состоянии термодинамического равновесия . Агрегация частиц в одном и том же состоянии, которая является характеристикой частиц, подчиняющихся статистике Бозе – Эйнштейна, объясняет когезионный поток лазерного света и ползучесть сверхтекучего гелия без трения . Теория такого поведения была разработана (1924–25) Сатьендрой Натхом Бозом., которые осознали, что таким образом можно распределить совокупность одинаковых и неотличимых частиц. Позднее эта идея была принята и расширена Альбертом Эйнштейном в сотрудничестве с Бозе.
Статистика Бозе – Эйнштейна применима только к тем частицам, которые не ограничиваются однократным заселением одного и того же состояния, то есть к частицам, которые не подчиняются ограничениям принципа исключения Паули . Такие частицы имеют целые значения спина и называются бозонами по статистике, которая правильно описывает их поведение. Между частицами также не должно быть значительного взаимодействия.
Распределение Бозе – Эйнштейна
При низких температурах бозоны ведут себя иначе, чем фермионы (которые подчиняются статистике Ферми – Дирака ), так что неограниченное их количество может «конденсироваться» в одно и то же энергетическое состояние. Это, казалось бы, необычное свойство также порождает особое состояние вещества - конденсат Бозе – Эйнштейна . Статистика Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна применима, когда важны квантовые эффекты и частицы « неразличимы ». Квантовые эффекты возникают, если концентрация частиц удовлетворяет
где N - число частиц, V - объем, а n q - квантовая концентрация , для которой расстояние между частицами равно тепловой длине волны де Бройля , так что волновые функции частиц практически не перекрываются.
Статистика Ферми – Дирака применяется к фермионам (частицам, которые подчиняются принципу исключения Паули ), а статистика Бозе – Эйнштейна применяется к бозонам . Поскольку квантовая концентрация зависит от температуры, большинство систем при высоких температурах подчиняются классическому пределу (Максвелла – Больцмана), если только они не имеют очень высокую плотность, как для белого карлика . И Ферми – Дирака, и Бозе – Эйнштейна становятся статистикой Максвелла – Больцмана при высокой температуре или при низкой концентрации.
Статистика B – E была введена для фотонов в 1924 г. Бозе и обобщена на атомы Эйнштейном в 1924–25 гг.
Ожидаемое количество частиц в энергетическом состоянии i для статистики B – E составляет:
с ε i > μ и где n i - количество частиц в состоянии i по общему количеству частиц всех энергетических состояний.является вырождением уровня энергии я , ε я является энергией из я -го состояния, μ является химическим потенциалом , к Б является постоянной Больцмана , а Т является абсолютной температурой .
Дисперсия этого распределения вычисляется непосредственно из приведенного выше выражения для среднего числа. [1]
Для сравнения, среднее количество фермионов с энергией Распределение частиц по энергиям, задаваемое Ферми – Дираком, имеет аналогичный вид:
Как упоминалось выше, и распределение Бозе – Эйнштейна, и распределение Ферми – Дирака приближаются к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:
- В пределе низкой плотности частиц , следовательно или эквивалентно . В этом случае,, который является результатом статистики Максвелла-Больцмана.
- В пределе высокой температуры частицы распределены в большом диапазоне значений энергии, поэтому заселенность каждого состояния (особенно высокоэнергетического с ) снова очень мало, . Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.
Помимо сведения к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокихи низкой плотности, B – E-статистика также сводится к распределению закона Рэлея – Джинса для низкоэнергетических состояний с
, а именно
История
Читая лекцию в Университете Дакки (на территории бывшей Британской Индии и ныне Бангладеш ) по теории излучения и ультрафиолетовой катастрофы , Сатьендра Нат Боз намеревался показать своим студентам, что современная теория неадекватна, потому что она предсказывала результаты. не в соответствии с экспериментальными результатами. Во время этой лекции Бозе допустил ошибку в применении теории, которая неожиданно дала предсказание, совпадающее с экспериментом. Ошибка была простой ошибкой - подобной утверждению, что подбрасывание двух честных монет дает две орла в одной трети времени - что может показаться очевидным неправильным любому, кто имеет базовое понимание статистики (примечательно, что эта ошибка напоминала знаменитую ошибку d 'Аламбер, известный из его статьи Croix ou Pile [2] [3] ). Однако предсказанные результаты совпали с экспериментом, и Бозе понял, что это, возможно, и не ошибка. Впервые он занял позицию, согласно которой распределение Максвелла – Больцмана не будет справедливым для всех микроскопических частиц на всех масштабах. Таким образом, он изучал вероятность обнаружения частиц в различных состояниях в фазовом пространстве, где каждое состояние представляет собой небольшой фрагмент, имеющий фазовый объем h 3 , а положение и импульс частиц не сохраняются отдельно, а рассматриваются как одна переменная.
Боз преобразовал эту лекцию в небольшую статью под названием «Закон Планка и гипотеза световых квантов» [4] [5] и отправил ее в Philosophical Magazine . Однако заключение рецензента было отрицательным, и статья была отклонена. Неустрашимый, он отправил рукопись Альберту Эйнштейну с просьбой опубликовать ее в Zeitschrift für Physik . Эйнштейн немедленно согласился, лично перевел статью с английского на немецкий (Бозе ранее перевел статью Эйнштейна по общей теории относительности с немецкого на английский) и позаботился о том, чтобы она была опубликована. Теория Бозе получила признание, когда Эйнштейн отправил свою статью в поддержку теории Бозе в Zeitschrift für Physik с просьбой опубликовать их вместе. Газета вышла в 1924 году. [6]
Причина, по которой Бозе дал точные результаты, заключалась в том, что, поскольку фотоны неотличимы друг от друга, нельзя рассматривать любые два фотона, имеющие равные квантовые числа (например, поляризацию и вектор импульса), как два отдельных идентифицируемых фотона. По аналогии, если бы в альтернативной вселенной монеты вели себя как фотоны и другие бозоны, вероятность образования двух голов действительно составляла бы одну треть, равно как и вероятность получения головы и хвоста, равная половине для обычные (классические, различимые) монеты. «Ошибка» Бозе приводит к тому, что сейчас называется статистикой Бозе – Эйнштейна.
Бозе и Эйнштейн распространили эту идею на атомы, и это привело к предсказанию существования явления, которое стало известно как конденсат Бозе-Эйнштейна , плотный набор бозонов (которые представляют собой частицы с целым спином, названные в честь Бозе), что было продемонстрировано существуют экспериментально в 1995 году.
Вывод
Вывод из микроканонического ансамбля
В микроканоническом ансамбле рассматривается система с фиксированной энергией, объемом и числом частиц. Возьмем систему, состоящую из одинаковые бозоны, из которых имеют энергию и распределяются по уровни или состояния с одинаковой энергией , т.е. это вырождение, связанное с энергией общей энергии . Расчет количества аранжировок частицы распределены среди состояний - это проблема комбинаторики . Поскольку здесь частицы неразличимы с точки зрения квантовой механики, существует множество способов их расположения. частицы в коробки (для уровень энергии) будет (см. изображение справа)
где это к -combination из набора с м элементов. Общее количество расположений в ансамбле бозонов - это просто произведение биномиальных коэффициентов выше по всем уровням энергии, т.е.
Максимальное количество расположений, определяющее соответствующий номер занятия получается максимизацией энтропии , или, что то же самое, полагая и принимая дополнительные условия во внимание (как множители Лагранжа ). [7] Результат для, , - распределение Бозе – Эйнштейна.
Вывод из большого канонического ансамбля
Распределение Бозе – Эйнштейна, которое применимо только к квантовой системе невзаимодействующих бозонов, естественным образом выводится из большого канонического ансамбля без каких-либо приближений. [8] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал µ, фиксируемый резервуаром).
Из-за качества невзаимодействия каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. То есть количество частиц в системе в целом, которые занимают данное состояние отдельной частицы, образуют суб-ансамбль, который также является большим каноническим ансамблем; следовательно, его можно проанализировать, построив большую статистическую сумму .
Каждое одночастичное состояние имеет фиксированную энергию, . Поскольку суб-ансамбль, связанный с одночастичным состоянием, изменяется только числом частиц, ясно, что полная энергия суб-ансамбля также прямо пропорциональна числу частиц в одночастичном состоянии; где - число частиц, тогда полная энергия суб-ансамбля будет . Начиная со стандартного выражения для большой статистической функции и заменяя с участием , большая статистическая сумма принимает вид
Эта формула применима как к фермионным системам, так и к бозонным системам. Статистика Ферми-Дирака возникает при рассмотрении эффекта принципа исключения Паули : в то время как количество фермионов, занимающих одно и то же одночастичное состояние, может быть только 1 или 0, количество бозонов, занимающих одночастичное состояние, может быть любым целым числом. Таким образом, большую статистическую сумму для бозонов можно рассматривать как геометрический ряд и оценивать как таковую:
Отметим, что геометрический ряд сходится, только если , в том числе случай, когда . Это означает, что химический потенциал бозе-газа должен быть отрицательным, т. Е., в то время как ферми-газ может принимать как положительные, так и отрицательные значения химического потенциала. [9]
Среднее число частиц для этого одночастичного подсостояния определяется как
Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, образует распределение Бозе – Эйнштейна для всего состояния системы. [10] [11]
Разница в количестве частиц (из-за тепловых флуктуаций ) также может быть получена, результат может быть выражен через только что полученное значение:
В результате для сильно занятых состояний стандартное отклонение числа частиц на уровне энергии очень велико, немного больше, чем само число частиц:. Эта большая неопределенность связана с тем, что распределение вероятностей для числа бозонов на данном уровне энергии является геометрическим распределением ; несколько парадоксально, но наиболее вероятное значение N всегда равно 0. (Напротив, классические частицы вместо этого имеют распределение Пуассона по количеству частиц для данного состояния с гораздо меньшей неопределенностью, а наиболее вероятное значение N близкое к.)
Вывод в каноническом подходе
Также возможно получить приближенную статистику Бозе – Эйнштейна в каноническом ансамбле . Эти выводы являются длинными и приводят только к приведенным выше результатам в асимптотическом пределе большого числа частиц. Причина в том, что общее количество бозонов фиксировано в каноническом ансамбле. Распределение Бозе – Эйнштейна в этом случае может быть получено, как и в большинстве текстов, путем максимизации, но математически лучший вывод - это метод средних значений Дарвина – Фаулера, как подчеркивал Дингл. [12] См. Также Мюллер-Кирстен. [7] Однако флуктуации основного состояния в конденсированной области заметно отличаются в каноническом и великоканоническом ансамблях. [13]
Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, помеченных индексом , каждый уровень имеет энергию и содержащий в общей сложности частицы. Предположим, что каждый уровень содержитразличные подуровни, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы, и в этом случае они отличаются друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение связанный с уровнем называется «вырождением» этого энергетического уровня. Любое количество бозонов может занимать один и тот же подуровень.
Позволять быть количеством способов распределения частицы среди подуровни энергетического уровня. Есть только один способ распространения частицы с одним подуровнем, поэтому . Нетрудно заметить, что есть способы распространения частицы на двух подуровнях, которые мы запишем как:
Немного подумав (см. Примечания ниже), можно увидеть, что количество способов распространения частиц в трех подуровнях
чтобы
где мы использовали следующую теорему о биномиальных коэффициентах :
Продолжая этот процесс, мы видим, что это просто биномиальный коэффициент (см. примечания ниже)
Например, численность населения для двух частиц на трех подуровнях составляет 200, 110, 101, 020, 011 или 002, всего шесть, что равно 4! / (2! 2!). Количество способов, которыми набор номеров занятий может быть реализовано, является продуктом способов, которыми может быть заполнен каждый индивидуальный энергетический уровень:
где приближение предполагает, что .
Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла – Больцмана , мы хотим найти набордля которого W является максимальным, при условии, что существует фиксированное общее количество частиц и фиксированная полная энергия. Максимумы а также происходят при одном и том же значении и, поскольку это проще выполнить математически, мы вместо этого максимизируем последнюю функцию. Мы ограничиваем наше решение с помощью множителей Лагранжа, образующих функцию:
С помощью приближение и использование приближения Стирлинга для факториалов дает
Где K - сумма ряда членов, которые не являются функциями. Взяв производную по, и установив результат равным нулю и решив для , дает численность населения Бозе – Эйнштейна:
Посредством процесса, аналогичного описанному в статье о статистике Максвелла – Больцмана , можно увидеть, что:
которое, используя известное соотношение Больцмана становится утверждением второго закона термодинамики при постоянном объеме, и отсюда следует, что а также где S - энтропия ,- химический потенциал , k B - постоянная Больцмана, а T - температура , так что в итоге:
Обратите внимание, что приведенная выше формула иногда записывается:
где - это абсолютная активность , как отмечает МакКуорри. [14]
Также обратите внимание, что когда числа частиц не сохраняются, удаление ограничения сохранения числа частиц эквивалентно установке и, следовательно, химический потенциал до нуля. Это будет иметь место для фотонов и массивных частиц во взаимном равновесии, и результирующее распределение будет распределением Планка .
Гораздо более простой способ представить себе функцию распределения Бозе – Эйнштейна состоит в том, чтобы считать, что n частиц обозначены одинаковыми шарами, а g оболочек отмечены линиями разбиения g-1. Ясно, что перестановки этих n шаров и g - 1 разбиений дадут разные способы расположения бозонов на разных уровнях энергии. Скажем, для 3 (= n ) частиц и 3 (= g ) оболочек, поэтому ( g - 1) = 2, расположение может быть | ●● | ● , или || ●●● , или | ● | ●● , и т.д. Следовательно, количество различных перестановок n + (g-1) объектов, которые имеют n идентичных элементов и ( g - 1) идентичных элементов, будет:
ИЛИ ЖЕ
Цель этих заметок - прояснить некоторые аспекты вывода распределения Бозе – Эйнштейна (B – E) для начинающих. Перечень случаев (или способов) в распределении B – E можно изменить следующим образом. Представьте себе игру в бросание костей, в которой есть игральные кости, каждая из которых принимает значения в наборе , для . Ограничения игры заключаются в том, что значение кубика, обозначаемый , должно быть больше или равно значению die, обозначаемый , в предыдущем броске, т. е. . Таким образом, допустимая последовательность бросков кубика может быть описана n -множеством, так что . Позволятьобозначим множество этих допустимых n -наборов:
(1)
Тогда количество ( определено выше как количество способов распространения частицы среди подуровней энергетического уровня) - мощность , т. е. количество элементов (или допустимых n -элементов) в. Таким образом, проблема нахождения выражения для становится проблемой подсчета элементов в .
Пример n = 4, g = 3:
- (Существуют элементы в )
Подмножество получается фиксацией всех индексов к , кроме последнего индекса, , который увеличивается с к . Подмножество получается путем фиксации , и увеличивая из к . Из-за ограничения по индексам в , индекс должен автоматически принимать значения в . Построение подмножеств а также следует таким же образом.
Каждый элемент можно рассматривать как мультимножество мощности; элементы такого мультимножества берутся из множества мощности , а количество таких мультимножеств - коэффициент мультимножества
В более общем плане каждый элемент это мультимножество мощности (количество кубиков) с элементами, взятыми из набора мощности (количество возможных значений каждого кубика) и количество таких мультимножеств, т. е. это мультимножеством коэффициент
(2)
что в точности совпадает с формулой для, как это было получено выше с помощью теоремы о биномиальных коэффициентах, а именно
(3)
Чтобы понять разложение
(4)
или, например, а также
давайте переставим элементы следующим образом
Ясно, что подмножество из такой же, как и набор
- .
Удалив индекс (показаны красным с двойным подчеркиванием ) в подмножестве из , получаем набор
- .
Другими словами, существует взаимно однозначное соответствие между подмножеством из и набор . Мы пишем
- .
Точно так же легко увидеть, что
- (пустой набор).
Таким образом, мы можем написать
или, в более общем смысле,
;
(5)
а поскольку множества
не пересекаются, поэтому
,
(6)
с условием, что
(7)
Продолжая процесс, приходим к следующей формуле
Используя соглашение (7) 2 выше, получаем формулу
(8)
имея в виду, что для а также будучи константами, мы имеем
.
(9)
Затем можно проверить, что (8) и (2) дают одинаковый результат для , , , так далее.
Междисциплинарные приложения
Рассматриваемое как чистое распределение вероятностей, распределение Бозе – Эйнштейна нашло применение в других областях:
- В последние годы статистика Бозе – Эйнштейна также использовалась в качестве метода взвешивания терминов при поиске информации . Этот метод является одним из набора моделей DFR («Дивергенция от случайности»), [15] основная идея заключается в том, что статистика Бозе – Эйнштейна может быть полезным индикатором в случаях, когда конкретный термин и конкретный документ имеют значительную взаимосвязь, которая не произошло бы чисто случайно. Исходный код для реализации этой модели доступен в проекте Terrier в Университете Глазго.
- Развитие многих сложных систем, включая World Wide Web , бизнес и сети цитирования, закодировано в динамической паутине, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Несмотря на их необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют статистике Бозе и могут подвергаться конденсации Бозе – Эйнштейна. Обращение к динамическим свойствам этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что в конкурентных системах наблюдаются явления « преимущество первопроходца», «подходящее богатство» ( FGR ) и «победитель получает все». являются термодинамически различными фазами лежащих в основе развивающихся сетей. [16]
Смотрите также
- Корреляции Бозе – Эйнштейна
- Конденсат Бозе – Эйнштейна
- Бозе-газ
- Эйнштейн твердый
- бозон Хиггса
- Парастатистика
- Закон планка излучения черного тела
- Сверхпроводимость
- Статистика Ферми – Дирака
- Статистика Максвелла – Больцмана
Заметки
- ^ Пирсолл, Томас (2020). Квантовая фотоника, 2-е издание . Тексты для выпускников по физике. Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-030-47325-9 . ISBN 978-3-030-47324-2.
- ^ Даламбер, Жан (1754). "Croix ou pile". L'Encyclopédie (на французском языке). 4 .
- ^ Даламбер, Жан (1754). "CROIX OU PILE" [Перевод Ричарда Дж. Пульскэмпа] (PDF) . Ксавьерский университет . Проверено 14 января 2019 .
- ^ См. Стр. 14, примечание 3 диссертации: Микеланджели, Алессандро (октябрь 2007 г.). Конденсация Бозе – Эйнштейна: анализ проблем и точные результаты (PDF) (Ph.D.). Международная школа перспективных исследований . Архивировано 3 ноября 2018 года (PDF) . Проверено 14 февраля 2019 . Выложите резюме .
- ^ Бозе (2 июля 1924 г.). «Закон Планка и гипотеза световых квантов» (PostScript) . Ольденбургский университет . Проверено 30 ноября +2016 .
- ^ Bose (1924), «Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese», Zeitschrift für Physik (на немецком языке), 26 (1): 178–181, Bibcode : 1924ZPhy ... 26..178B , doi : 10.1007 / BF01327326 , S2CID 186235974
- ^ a b Х. Дж. Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики, 2-е изд., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 .
- ^ Шривастава, РК; Ашок, Дж. (2005). «Глава 7». Статистическая механика . Нью-Дели : PHI Learning Pvt. ООО ISBN 9788120327825.
- ^ Ландау Л.Д., Lifšic Е.М., Лифшиц Е.М., Питаевский и, Л.П. (1980). Статистическая физика (Том 5). Pergamon Press.
- ^ "Глава 6". Статистическая механика . Январь 2005 г. ISBN. 9788120327825.
- ^ Распределение BE может быть получено также из теории теплового поля.
- ^ РБ Дингл, Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация, Academic Press (1973), стр. 267–271.
- ^ Зифф Р. М; Kac, M .; Уленбек, GE (1977). « Новый взгляд на идеальный газ Бозе – Эйнштейна » Phys. Отчеты 32 : 169-248.
- ^ См. Маккуорри в цитатах
- ^ Амати, G .; К.Дж. Ван Рейсберген (2002). « Вероятностные модели поиска информации на основе измерения отклонения от случайности » ACM TOIS 20 (4): 357–389.
- ^ Бьянкони, Г .; Барабаши, А.-Л. (2001). " Конденсация Бозе – Эйнштейна в сложных сетях " Phys. Rev. Lett. 86 : 5632–35.
Рекомендации
- Аннетт, Джеймс Ф. (2004). Сверхпроводимость, сверхтекучие жидкости и конденсаты . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850755-0.
- Картер, Эшли Х. (2001). Классическая и статистическая термодинамика . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5.
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Пирсон, Прентис-Холл. ISBN 0-13-191175-9.
- Маккуорри, Дональд А. (2000). Статистическая механика (1-е изд.). Саусалито, Калифорния 94965: Университетские научные книги. п. 55 . ISBN 1-891389-15-7.CS1 maint: location ( ссылка )