Тепловая длина волны де Бройля

В физике , то тепловая длина волны де Бройля ( ) примерно в среднем длина волны де Бройля частиц газа в идеальном газе при заданной температуре. Мы можем принять среднее расстояние между частицами в газе примерно равным $($ $V$ $/$ $N$ $)$ $1/3,$ где $V$ - объем, а $N$ - количество частиц. Когда тепловая длина волны де Бройля намного меньше межчастичного расстояния, газ можно рассматривать как классический газ или газ Максвелла – Больцмана. $\lambda _{\mathrm {th} }$ газ. С другой стороны, когда тепловая длина волны де Бройля порядка или больше расстояния между частицами, квантовые эффекты будут преобладать, и газ следует рассматривать как ферми-газ или бозе-газ , в зависимости от природы частиц газа. . Критическая температура является точкой перехода между этими двумя режимами, и при этой критической температуре длина тепловой волны будет приблизительно равна расстоянию между частицами. То есть квантовая природа газа будет очевидна для

\displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\leq 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }

т.е. когда расстояние между частицами меньше тепловой длины волны де Бройля; в этом случае газ будет подчиняться статистике Бозе – Эйнштейна или статистике Ферми – Дирака , в зависимости от того, что подходит. Это, например, случай электронов в типичном металле при T = 300 K , где электронный газ подчиняется статистике Ферми – Дирака , или в конденсате Бозе – Эйнштейна . С другой стороны, для

\displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\gg 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }

т.е. когда расстояние между частицами намного больше тепловой длины волны де Бройля, газ будет подчиняться статистике Максвелла – Больцмана . ^[1] Так обстоит дело с молекулярными или атомарными газами при комнатной температуре, а также с тепловыми нейтронами, производимыми нейтронным источником .

Массивные частицы [ править ]

Для массивных невзаимодействующих частиц тепловая длина волны де Бройля может быть получена из расчета статистической суммы . Предполагая одномерный ящик длиной $L$ , статистическая сумма будет (с использованием энергетических состояний одномерной частицы в коробке ):

$Z=\sum _{n}e^{-E_{n}/k_{\mathrm {B} }T}=\sum _{n}e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}$

Поскольку уровни энергии очень близки друг к другу, мы можем аппроксимировать эту сумму как интеграл: ^[2]

$Z=\int _{0}^{\infty }e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}dn={\sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\rm {th}}}}$

Следовательно,

$\lambda _{\rm {th}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}}$

где - постоянная Планка , $m$ - масса частицы газа, - постоянная Больцмана , а $T$ - температура газа. ^[1] $h$ $k_{\mathrm {B} }$

Это также можно выразить с помощью приведенной постоянной Планка как: $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$

\lambda _{\mathrm {th} }={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\mathrm {B} }T}}},

Безмассовые частицы [ править ]

Для безмассовой частицы длина тепловой волны может быть определена как:

\lambda _{\mathrm {th} }={\frac {ch}{2\pi ^{1/3}k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}}

где c - скорость света. Как и тепловая длина волны для массивных частиц, она порядка средней длины волны частиц в газе и определяет критическую точку, в которой квантовые эффекты начинают преобладать. Например, при наблюдении длинноволнового спектра излучения черного тела можно применить "классический" закон Рэлея-Джинса , но когда наблюдаемые длины волн приближаются к тепловой длине волны фотонов в излучателе черного тела , "квантовый" закон Планка необходимо использовать закон .

Общее определение длины тепловой волны [ править ]

Общее определение тепловой длины волны для идеального квантового газа в любом количестве измерений и для обобщенной связи между энергией и импульсом (дисперсионное соотношение) было дано Яном (Yan 2000). Это имеет практическое значение, поскольку существует множество экспериментальных ситуаций с разными размерностями и дисперсионными соотношениями. Если $n$ - количество измерений, а соотношение между энергией ( $E$ ) и импульсом ( $p$ ) определяется следующим образом:

E=ap^{s}\,

где $a$ и $s$ - константы, тогда длина тепловой волны определяется как:

\lambda _{\mathrm {th} }={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n}

где Γ - гамма-функция . Например, в обычном случае массивных частиц в 3-D газа мы имеем $п = 3$ , а $Е = р 2 /2 м$ , что дает приведенные выше результаты для массивных частиц. Для безмассовых частиц в трехмерном газе $n = 3$ и $E = p c,$ что дает вышеуказанные результаты для безмассовых частиц.

Примеры [ править ]

Ниже приведены некоторые примеры тепловой длины волны де Бройля при 298 К.

Молекула	$m$ (кг)	$\lambda _{\mathrm {th} }$ (м)
H ₂	3,3474E-27	7.1228E-11
№ ₂	4.6518E-26	1,91076E-11
O ₂	5,31352E-26	1,78782E-11
F ₂	6.30937E-26	1.64105E-11
Cl ₂	1.1614E-25	1.2093E-11
HCl	5.97407E-26	1.68586E-11

Ссылки [ править ]

^ a b Чарльз Киттель; Герберт Кремер (1980). Теплофизика (2-е изд.). WH Freeman. п. 73 . ISBN 978-0716710882.
^ Шредер, Дэниел (2000). Введение в теплофизику . США: Эддисон Уэсли Лонгман. С. 253 . ISBN 0-201-38027-7.

Цзыцзюнь Ян, "Общая длина тепловых волн и ее приложения", European Journal of Physics , 21 (2000) 625–631. http://www.iop.org/EJ/article/0143-0807/21/6/314/ej0614.pdf
Ву-Куок, Л., Интеграл конфигурации (статистическая механика) , 2008. этот вики-сайт не работает; см эту статью в веб - архиве на 2012 28 апреля .

[Kittel-1] Чарльз Киттель; Герберт Кремер (1980). Теплофизика (2-е изд.). WH Freeman. п. 73 . ISBN 978-0716710882.

[2] Шредер, Дэниел (2000). Введение в теплофизику . США: Эддисон Уэсли Лонгман. С. 253 . ISBN 0-201-38027-7.

[1]