Ферми газ

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Ферми газ»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Физика конденсированного состояния
Фазы  · Фазовый переход  · QCP
состояния вещества Твердое  тело · Жидкость  · Газ  · Плазма  · Конденсат Бозе – Эйнштейна  · Бозе-газ  · Фермионный конденсат  · Ферми-газ  · Ферми-жидкость  · Сверхтвердое тело  · Сверхтекучесть  · Жидкость Латтинжера  · Временной кристалл
Фазовые явления Параметр заказа  · Фазовый переход  · QCP
Электронные фазы Электронная структура группы  · Плазменные  · Изолятор  · Мотта изолятор  · Полупроводниковый  · полуметалл  · Проводник  · сверхпроводник  · Термоэлектрический  · Пьезоэлектрический  · сегнетоэлектрических  · топологическая изолятор  · Спин бесщелевого полупроводника
Электронные явления Квантовый эффект Холла  · Спиновый эффект Холла  · Эффект Кондо
Магнитные фазы Диамагнетик  · Супердиамагнетик Парамагнетик  · Суперпарамагнетик Ферромагнетик  · Антиферромагнетик Метамагнетик  · Спиновое стекло
Квазичастицы Фонон  · Экситон  · Плазмон- поляритон  · Полярон  · Магнон
Мягкая материя Аморфное твердое тело  · Коллоид  · Гранулированный материал  · Жидкий кристалл  · Полимер
Ученые Ван дер Ваальс  · Оннес  · фон Лауэ  · Брэгг  · Дебай  · Блох  · Онсагер  · Мотт  · Пайерлс  · Ландау  · Латтинджер  · Андерсон  · Ван Флек  · Хаббард  · Шокли  · Бардин  · Купер  · Шриффер  · Джозефсон  · Луи Нил  · Эсаки  · Джавер  · Кон  · Каданов  · Фишер  · Уилсон  · фон Клитцинг  · Бинниг  · Рорер  · Беднорц  · Мюллер  · Лафлин  · Штёрмер  · Ян  · Цуй  · Абрикосов  · Гинзбург  · Леггетт
v т е

Идеальный ферми-газ - это состояние вещества, которое представляет собой ансамбль многих невзаимодействующих фермионов . Фермионы - это частицы, которые подчиняются статистике Ферми – Дирака , такие как электроны , протоны и нейтроны , и, в общем, частицы с полуцелым спином . Эти статистические данные определяют энергетическое распределение фермионов в ферми-газе в тепловом равновесии и характеризуются их плотностью , температурой и набором доступных энергетических состояний. Модель названа в честь итальянского физика Энрико Ферми.. ^[1]

Эта физическая модель может быть точно применена ко многим системам с большим количеством фермионов. Некоторые ключевые примеры - поведение носителей заряда в металле , нуклоны в атомном ядре , нейтроны в нейтронной звезде и электроны в белом карлике .

Описание [ править ]

Иллюстрация энергетических состояний: Диаграмма заполнения энергии для системы с 7 уровнями энергии, энергия вырождена временами (есть состояния, которые имеют энергию ) и имеет заполненность, заданную выражением , с . По принципу запрета Паули до фермионов могут занимать уровень энергии системы, где - спин фермионов.${\ displaystyle E_ {i}}$${\ displaystyle D_ {i}}$${\ displaystyle D_ {i}}$${\ displaystyle E_ {i}}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle i=1,2,3,4,5,6,7}$${\displaystyle (2j+1)\cdot D_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle j}$

Идеальный ферми-газ или свободный ферми-газ - это физическая модель, предполагающая набор невзаимодействующих фермионов в постоянной потенциальной яме . Фермионы - это элементарные или составные частицы с полуцелым спином, поэтому следуют статистике Ферми-Дирака . Эквивалентная модель для частиц с целым спином называется бозе-газом (ансамбль невзаимодействующих бозонов ). При достаточно низкой плотности числа частиц и высокой температуре и ферми-газ, и бозе-газ ведут себя как классический идеальный газ . ^[2]

Согласно принципу исключения Паули , ни одно квантовое состояние не может быть занято более чем одним фермионом с одинаковым набором квантовых чисел . Таким образом, невзаимодействующий ферми-газ, в отличие от бозе-газа, концентрирует небольшое количество частиц на одну энергию. Таким образом, ферми-газу запрещено конденсироваться в конденсат Бозе – Эйнштейна , хотя слабо взаимодействующие ферми-газы могут образовывать куперовскую пару и конденсат (также известный как режим кроссовера БКШ- БЭК). ^[3] Полная энергия ферми-газа при абсолютном нуле больше, чем сумма одночастичных основных состоянийпотому что принцип Паули подразумевает своего рода взаимодействие или давление, которое удерживает фермионы разделенными и движущимися. По этой причине давление ферми-газа отлично от нуля даже при нулевой температуре, в отличие от давления в классическом идеальном газе. Например, это так называемое давление вырождения стабилизирует нейтронную звезду (ферми-газ нейтронов) или белую карликовую звезду (ферми-газ электронов) против внутреннего притяжения , которое якобы могло бы коллапсировать звезду в черную дыру . Только когда звезда достаточно массивна, чтобы преодолеть давление вырождения, она может схлопнуться в сингулярность.

Можно определить температуру Ферми, ниже которой газ можно считать вырожденным (его давление определяется почти исключительно принципом Паули). Эта температура зависит от массы фермионов и плотности энергетических состояний .

Основное предположение модели свободных электронов для описания делокализованных электронов в металле может быть получено из ферми-газа. Поскольку взаимодействиями пренебрегают из-за эффекта экранирования , проблема рассмотрения равновесных свойств и динамики идеального ферми-газа сводится к изучению поведения отдельных независимых частиц. В этих системах температура Ферми обычно составляет многие тысячи кельвинов , поэтому в приложениях для человека электронный газ можно считать вырожденным. Максимальная энергия фермионов при нулевой температуре называется энергией Ферми . Поверхность энергии Ферми в обратном пространстве известна как поверхность Ферми .

Почти модель свободного электрона адаптирует модель Ферми газа рассмотреть кристаллическую структуру из металлов и полупроводников , где электроны в кристаллической решетке замещены блоховские электроны с соответствующим кристаллическим импульсом . Таким образом, периодические системы по-прежнему относительно управляемы, и модель является отправной точкой для более продвинутых теорий, которые имеют дело с взаимодействиями, например, с использованием теории возмущений .

Однородный газ [ править ]

Одномерная бесконечная квадратная яма длиной L является моделью одномерного ящика с потенциальной энергией:

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Это стандартная модельная система в квантовой механике, для которой хорошо известно решение для отдельной частицы. Поскольку потенциал внутри ящика однороден, эту модель называют одномерным однородным газом ^[4], даже несмотря на то, что фактический профиль числовой плотности газа может иметь узлы и пучности, когда общее количество частиц невелико.

Уровни помечены одним квантовым числом n, а энергии выражаются следующим образом:

${\displaystyle E_{n}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}.\,}$

где - энергия нулевой точки (которая может быть выбрана произвольно в качестве формы фиксации калибровки ), масса одного фермиона и - приведенная постоянная Планка .${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \hbar }$

Для N фермионов со спином 1/2 в ящике не более двух частиц могут иметь одинаковую энергию, т. Е. Две частицы могут иметь энергию , две другие частицы могут иметь энергию и так далее. Две частицы с одинаковой энергией имеют спин ½ (спин вверх) или −½ (спин вниз), что приводит к двум состояниям для каждого уровня энергии. В конфигурации, для которой полная энергия самая низкая (основное состояние), все уровни энергии до n  =  N / 2 заняты, а все более высокие уровни пусты.${\textstyle E_{1}}$${\textstyle E_{2}}$

Определяя эталон для энергии Ферми как , энергия Ферми, следовательно, дается выражением${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}=E_{n}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor \right)^{2},}$

где - функция пола, оцененная при n  =  N / 2.${\displaystyle \left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor }$

Термодинамический предел [ править ]

В термодинамическом пределе общее число частиц N настолько велико, что квантовое число n можно рассматривать как непрерывную переменную. В этом случае общий профиль числовой плотности в ящике действительно однороден.

Количество квантовых состояний в диапазоне :${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+\operatorname {d} \!n}$

${\displaystyle D_{n}(n_{1})\operatorname {d} \!n=2\operatorname {d} \!n\,.}$

Без ограничения общности , энергия нулевой точки выбрана равной нулю, что дает следующий результат:

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\implies \operatorname {d} \!E={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\operatorname {d} \!n={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}\operatorname {d} \!n\,.}$

Поэтому в ассортименте:

${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{1}^{2}<E<E_{1}+\operatorname {d} \!E\,,}$

количество квантовых состояний:

${\displaystyle D_{n}(n_{1})\operatorname {d} \!n=2{\frac {\operatorname {d} \!E}{\operatorname {d} \!E/\operatorname {d} \!n}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\operatorname {d} \!E\equiv D(E_{1})\operatorname {d} \!E\,.}$

Здесь степень вырождения равна:

${\displaystyle D(E)={\frac {2}{\operatorname {d} \!E/\operatorname {d} \!n}}={\frac {2L}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$

А плотность состояний равна:

${\displaystyle g(E)\equiv {\frac {1}{L}}D(E)={\frac {2}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$

В современной литературе, ^[4] выше , иногда также называют «плотность состояний». Однако отличается от фактора объемом системы (который в этом одномерном случае).${\displaystyle D(E)}$${\displaystyle g(E)}$${\displaystyle D(E)}$${\displaystyle L}$

На основе следующей формулы:

${\displaystyle \int _{0}^{E_{F}}D(E)dE=N\,,}$

энергия Ферми в термодинамическом пределе может быть вычислена как:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {N}{2}}\right)^{2}\,.}$

3D однородный газ [ править ]

Случай трехмерного изотропного и нерелятивистского однородного ферми-газа известен как сфера Ферми .

Трехмерная бесконечная квадратная яма (т.е. кубический ящик со стороной L ) имеет потенциальную энергию

${\displaystyle V(x,y,z)={\begin{cases}0,&-{\frac {L}{2}}<x,y,z<{\frac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Теперь состояния помечены тремя квантовыми числами n _x , n _y и n _z . Энергии одиночных частиц равны

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,}$,

где n _x , n _y , n _z - натуральные числа. В этом случае, например, несколько состояний имеют одинаковую энергию (известную как вырожденные уровни энергии ) .${\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}}$

Термодинамический предел [ править ]

Когда ящик содержит N невзаимодействующих фермионов со спином 1/2, интересно вычислить энергию в термодинамическом пределе, где N настолько велико, что квантовые числа n _x , n _y , n _z можно рассматривать как непрерывные переменные.

С вектором каждое квантовое состояние соответствует точке в n-пространстве с энергией${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle E_{\mathbf {n} }=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|\mathbf {n} |^{2}\,}$

С обозначением квадрата обычной евклидовой длины . Количество состояний с энергией меньше E _F  +   E ₀ равно количеству состояний, которые лежат в сфере радиуса в области n-пространства, где n _x , n _y , n _z положительны. В основном состоянии это количество равно количеству фермионов в системе:${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}}$${\displaystyle |\mathbf {n} |={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$${\displaystyle |\mathbf {n} _{\mathrm {F} }|}$

${\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F} }^{3}\,}$

Фактор два выражает два спиновых состояния, а коэффициент 1/8 выражает долю сферы, которая находится в области, где все n положительны.

${\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}$

Энергия Ферми определяется выражением

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{\mathrm {F} }^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}}$

Это приводит к соотношению между энергией Ферми и количеством частиц в объеме (когда L ² заменяется на V ^2/3 ):

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}\,}$

Это также энергия частицы с самой высокой энергией ( th частица), превышающая энергию нулевой точки . Й частица имеет энергию${\displaystyle N}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle N'}$

${\displaystyle E_{N'}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N'}{V}}\right)^{2/3}\,=E_{0}+E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}}$

Полная энергия ферми-сферы фермионов (которые занимают все энергетические состояния в ферми-сфере) определяется выражением:${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle E_{\rm {T}}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N^{\prime }}\,\mathrm {d} N^{\prime }=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$

Следовательно, средняя энергия, приходящаяся на одну частицу, определяется как:

${\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }}$

Плотность состояний [ править ]

Для трехмерного однородного ферми-газа с фермионами со спином 1/2 число частиц как функция энергии получается заменой энергии Ферми на переменную энергию :${\textstyle N(E)}$${\textstyle (E-E_{0})}$

${\displaystyle N(E)={\frac {V}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-E_{0})\right]^{3/2}}$,

из которого может быть получена плотность состояний (количество энергетических состояний на энергию в объеме) . Его можно вычислить, дифференцируя количество частиц по энергии:${\displaystyle g(E)}$

${\displaystyle g(E)={\frac {1}{V}}{\frac {\partial N(E)}{\partial E}}={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}}$.

Этот результат предоставляет альтернативный способ вычисления полной энергии ферми-сферы фермионов (которые занимают все энергетические состояния внутри ферми-сферы):${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{T}&=\int _{0}^{N}E\mathrm {d} N(E)=EN(E){\big |}_{0}^{N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F})N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{\frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right)N\end{aligned}}}$

Термодинамические величины [ править ]

Давление вырождения [ править ]

Используя первый закон термодинамики , эту внутреннюю энергию можно выразить как давление, то есть

${\displaystyle P=-{\frac {\partial E_{\rm {T}}}{\partial V}}={\frac {2}{5}}{\frac {N}{V}}E_{\mathrm {F} }={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3},}$

где это выражение сохраняется при температурах много меньших, чем температура Ферми. Это давление известно как давление вырождения . В этом смысле системы, состоящие из фермионов, также называют вырожденной материей .

Стандартные звезды избегают коллапса, уравновешивая тепловое давление ( плазма и излучение) с гравитационными силами. В конце жизни звезды, когда тепловые процессы ослабевают, некоторые звезды могут стать белыми карликами, которые противодействуют гравитации только за счет давления вырождения электронов . Используя ферми-газ в качестве модели, можно рассчитать предел Чандрасекара , то есть максимальную массу, которую может приобрести любая звезда (без значительного термически генерируемого давления) перед коллапсом в черную дыру или нейтронную звезду. Последняя представляет собой звезду, в основном состоящую из нейтронов, коллапс которой также предотвращается давлением нейтронного вырождения.

В случае металлов давление вырождения электронов способствует сжимаемости или модулю объемной упругости материала.

Химический потенциал [ править ]

Предполагая, что концентрация фермионов не изменяется с температурой, тогда полный химический потенциал µ (уровень Ферми) трехмерного идеального ферми-газа связан с нулевой температурой энергии Ферми E _F с помощью разложения Зоммерфельда (предполагая ):${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\mathrm {F} }}$

${\displaystyle \mu (T)=E_{0}+E_{\mathrm {F} }\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{4}+\cdots \right]}$,

где T - температура . ^{[5] [6]}

Таким образом, внутренний химический потенциал , μ - Е ₀ , примерно равен энергии Ферми при температурах , которые значительно ниже , чем характеристическая температура Ферми Т _F . Эта характерная температура составляет порядка 10 ⁵ К для металла, следовательно, при комнатной температуре (300 К) энергия Ферми и внутренний химический потенциал по существу эквивалентны.

Типичные значения [ править ]

Металлы [ править ]

В рамках модели свободных электронов электроны в металле можно рассматривать как однородный ферми-газ. Плотность электронов проводимости в металлах составляет примерно от 10 ²⁸ до 10 ²⁹ электронов на м ³ , что также является типичной плотностью атомов в обычном твердом веществе. Эта числовая плотность дает энергию Ферми порядка:${\displaystyle N/V}$

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\ 10^{28\ \sim \ 29}\ \mathrm {m} ^{-3}\right)^{2/3}\approx 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV} }$,

где m _e - масса покоя электрона . ^[7] Эта энергия Ферми соответствует температуре Ферми порядка 10 ⁶ кельвинов, что намного выше температуры поверхности Солнца . Любой металл закипит, не достигнув этой температуры при атмосферном давлении. Таким образом, для любой практической цели металл можно рассматривать как ферми-газ при нулевой температуре в первом приближении (нормальные температуры малы по сравнению с T _F ).

Белые карлики [ править ]

Звезды, известные как белые карлики, имеют массу, сопоставимую с массой нашего Солнца , но имеют примерно одну сотую его радиуса. Высокая плотность означает, что электроны больше не связаны с отдельными ядрами и вместо этого образуют вырожденный электронный газ. Плотность электронов в белом карлике составляет порядка 10 ³⁶ электронов / м ³ . Это означает, что их энергия Ферми равна:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} =0.3\ \mathrm {MeV} }$

Ядро [ править ]

Другой типичный пример - это частицы в ядре атома. Радиус ядра составляет примерно:

${\displaystyle R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}}$

где A - количество нуклонов .

Таким образом, плотность нуклонов в ядре равна:

${\displaystyle \rho ={\frac {A}{{\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m} ^{-3}}$

Эта плотность должна быть разделена на два, потому что энергия Ферми относится только к фермионам одного и того же типа. Присутствие нейтронов не влияет на энергию Ферми протонов в ядре, и наоборот.

Энергия Ферми ядра приблизительно равна:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\rm {p}}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV} }$,

где m _p - масса протона.

Радиус ядра допускает отклонения вокруг значения упомянутых выше, так что типичное значение для энергии Ферми обычно дается как 38 МэВ .

Однородный газ произвольных размеров [ править ]

Плотность состояний [ править ]

Используя объемный интеграл по размерам, плотность состояний равна:${\textstyle d}$

${\displaystyle g^{(d)}(E)=g_{s}\int {\frac {\mathrm {d} ^{d}\mathbf {k} }{(2\pi )^{d}}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ \left({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{\Gamma (d/2)}}}$

Энергия Ферми получается путем поиска плотности числа частиц:

${\displaystyle \rho ={\frac {N}{V}}=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }^{(d)}}g^{(d)}(E)\,\mathrm {d} E}$

Получить:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{(d)}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\tfrac {1}{g_{s}}}\Gamma \left({\tfrac {d}{2}}+1\right){\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$

где - соответствующий d -мерный объем, - размерность внутреннего гильбертова пространства. В случае спина 1/2 каждая энергия дважды вырождена, так что в этом случае .${\textstyle V}$${\textstyle g_{s}}$${\textstyle g_{s}=2}$

Частный результат получается при , где плотность состояний становится постоянной (не зависит от энергии):${\displaystyle d=2}$

${\displaystyle g^{(2\mathrm {D} )}(E)={\frac {g_{s}}{2}}{\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}}$.

Ферми-газ в гармонической ловушке [ править ]

Гармоническая ловушка потенциал :

${\displaystyle V(x,y,z)={\frac {1}{2}}m\omega _{x}^{2}x^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{y}^{2}y^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}}$

представляет собой модельную систему, имеющую множество приложений ^[4] в современной физике. Плотность состояний (или, точнее, степень вырождения) для данного вида спина равна:

${\displaystyle g(E)={\frac {E^{2}}{2(\hbar \omega _{\text{ho}})^{3}}}\,,}$

где - частота гармонических колебаний.${\displaystyle \omega _{\text{ho}}={\sqrt[{3}]{\omega _{x}\omega _{y}\omega _{z}}}}$

Энергия Ферми для данного вида спина равна:

${\displaystyle E_{\rm {F}}=(6N)^{1/3}\hbar \omega _{\text{ho}}\,.}$

Связанные величины Ферми [ править ]

Некоторые полезные величины, связанные с энергией Ферми, также часто встречаются в современной литературе.

Температура Ферми определяется как , где - постоянная Больцмана . Температуру Ферми можно рассматривать как температуру, при которой тепловые эффекты сравнимы с квантовыми эффектами, связанными со статистикой Ферми. ^[8] Температура Ферми для металла на пару порядков выше комнатной. Другие величины , определенные в данном контексте являются импульсом Ферми и скорость Ферми ^[9] , которые являются импульсом и групповой скоростью , соответственно, из фермиона на поверхности Ферми . Импульс Ферми также можно описать как , где${\displaystyle T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\rm {B}}}}}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2mE_{\mathrm {F} }}}}$ ${\displaystyle v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m}}}$${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar k_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle k_{\mathrm {F} }}$- радиус сферы Ферми и называется волновым вектором Ферми . ^[10]

Обратите внимание, что эти величины не определены четко в случаях, когда поверхность Ферми не является сферической.

Обработка при конечной температуре [ править ]

Большой канонический ансамбль [ править ]

Большинство приведенных выше вычислений точны при нулевой температуре, но остаются хорошими приближениями для температур ниже температуры Ферми. Для других термодинамических переменных необходимо написать термодинамический потенциал . Для ансамбля идентичных фермионов лучший способ вывести потенциал - это большой канонический ансамбль с фиксированными температурой, объемом и химическим потенциалом µ . Причина заключается в принципе исключения Паули, поскольку числа заполнения каждого квантового состояния задаются либо 1, либо 0 (либо есть электрон, занимающий состояние, либо нет), поэтому (большая) статистическая сумма может быть записана как${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{\{q\}}e^{-\beta (E_{q}-\mu N_{q})}=\prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q}\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

где , индексирует ансамбли всех возможных микросостояний, которые дают одинаковую полную энергию и количество частиц , - энергия отдельной частицы состояния (она учитывается дважды, если энергия состояния вырождена) и его заполненность. Таким образом, великий потенциал записывается как${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \{q\}}$${\textstyle E_{q}=\sum _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$${\textstyle N_{q}=\sum _{q}n_{q}}$${\textstyle \varepsilon _{q}}$${\textstyle q}$${\textstyle n_{q}=0,1}$

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\ln \left({\mathcal {Z}}\right)=-k_{\rm {B}}T\sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right)}$.

Тот же результат может быть получен в каноническом и микроканоническом ансамблях , поскольку результат каждого ансамбля должен давать одинаковое значение в термодинамическом пределе . Здесь рекомендуется большой канонический ансамбль , поскольку он избегает использования комбинаторики и факториалов .${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$

Как было показано в предыдущих разделах, в макроскопическом пределе мы можем использовать непрерывное приближение (приближение Томаса – Ферми ) для преобразования этой суммы в интеграл:

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon )\ln(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon )})\,\mathrm {d} \varepsilon }$

где D ( ε ) - полная плотность состояний.

Связь с распределением Ферми-Дирака [ править ]

Большой потенциал связан с числом частиц при конечной температуре следующим образом

${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\mathrm {d} \varepsilon }$

где производная берется при фиксированных температуре и объеме, и она выглядит

${\displaystyle {\mathcal {f}}(x)={\frac {1}{e^{x}+1}}}$

также известное как распределение Ферми – Дирака .

Точно так же полная внутренняя энергия равна

${\displaystyle U=\Omega -T\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu }-\mu \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,\mathrm {d} \varepsilon .}$

Точное решение для степенной плотности состояний [ править ]

Многие представляющие интерес системы имеют полную плотность состояний в степенной форме:

${\displaystyle D(\varepsilon )=Vg(\varepsilon )={\frac {Vg_{0}}{\Gamma (\alpha )}}(\varepsilon -\varepsilon _{0})^{\alpha -1},\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$

для некоторых значений g ₀ , α , ε ₀ . Результаты предыдущих разделов обобщаются для измерений d , давая степенной закон с:

• α = d / 2 для нерелятивистских частиц в d -мерном ящике,
• α = d для нерелятивистских частиц в d -мерной гармонической потенциальной яме,
• α = d для гиперрелятивистских частиц в d- мерном ящике.

Для такой степенной плотности состояний большой потенциальный интеграл дает точное значение: ^[11]

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-Vg_{0}(k_{\rm {B}}T)^{\alpha +1}F_{\alpha }\left({\frac {\mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$

где - полный интеграл Ферми – Дирака (связанный с полилогарифмом ). Из этого грандиозного потенциала и его производных можно извлечь все интересующие термодинамические величины.${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$

Расширения модели [ править ]

Релятивистский ферми-газ [ править ]

В статье рассматривается только случай, когда частицы имеют параболическую связь между энергией и импульсом, как это имеет место в нерелятивистской механике. Для частиц с энергиями, близкими к их соответствующей массе покоя , применимы уравнения специальной теории относительности . Где одночастичная энергия определяется как:

${\displaystyle E={\sqrt {(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}}}$.

Для этой системы энергия Ферми определяется выражением:

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\sqrt {(p_{\mathrm {F} }c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}-mc^{2}\approx p_{\mathrm {F} }c}$,

где равенство справедливо только в ультрарелятивистском пределе , и${\displaystyle \approx }$

${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar \left({\frac {1}{g_{s}}}6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{1/3}}$. ^[12]

Модель релятивистского ферми-газа также используется для описания больших белых карликов, близких к пределу Чандрезекара. Для ультрарелятивистского случая давление вырождения пропорционально .${\displaystyle (N/V)^{4/3}}$

Ферми-жидкость [ править ]

В 1956 г. Лев Ландау разработал теорию ферми-жидкости , в которой он рассмотрел случай ферми-жидкости, т. Е. Системы с отталкивающими, не обязательно малыми, взаимодействиями между фермионами. Теория показывает, что термодинамические свойства идеального ферми-газа и ферми-жидкости не сильно различаются. Можно показать, что ферми-жидкость эквивалентна ферми-газу, состоящему из коллективных возбуждений или квазичастиц , каждая из которых имеет различную эффективную массу и магнитный момент .

См. Также [ править ]

• Бозе-газ
• Фермионный конденсат
• Газ в коробке
• Желе
• Двумерный электронный газ

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Нил У. Эшкрофт и Н. Дэвид Мермин , физики твердого тела (Харкорт: Orlando, 1976).
• Чарльз Киттель , Введение в физику твердого тела , 1-е изд. 1953 - 8 изд. 2005, ISBN 0-471-41526-X