Квантовый эффект Холла

Квантовый эффект Холла (или целое число , квантовый эффект Холла ) представляет собой квантованный вариант эффекта Холла , наблюдается в двумерных электронных системах подвергают низких температурах и сильных магнитных полей , в которых зал сопротивления R _ху экспонатов шаги , которые берут на себя квантованное ценности на определенном уровне

${\ displaystyle R_ {xy} = {\ frac {V _ {\ text {Hall}}} {I _ {\ text {channel}}}} = {\ frac {h} {e ^ {2} \ nu}}, }$

где V _Hall является напряжение Холла , I _канал является каналом тока , е является элементарный заряд и ч является постоянная Планка . Дивизор ν может принимать целое число ( ν = 1, 2, 3, ... ) или дробное ( ν =1/3, 2/5, 3/7, 2/3, 3/5, 1/5, 2/9, 3/13, 5/2, 12/5, ... ) значения. Здесь ν примерно, но не совсем равно фактору заполнения уровней Ландау . Квантовый эффект Холла называется целочисленным или дробным квантовым эффектом Холла в зависимости от того, является ли ν целым или дробным числом соответственно.

Поразительной особенностью целочисленного квантового эффекта Холла является постоянство квантования (т.е. плато Холла) при изменении электронной плотности. Поскольку концентрация электронов остается постоянной, когда уровень Ферми находится в чистой спектральной щели, эта ситуация соответствует ситуации, когда уровень Ферми представляет собой энергию с конечной плотностью состояний, хотя эти состояния локализованы (см. Локализацию Андерсона ). ^[1]

Дробный квантовый эффект Холла является более сложным, его существование зависит главным образом от электрон-электронного взаимодействия. Дробный квантовый эффект Холла также понимается как целочисленный квантовый эффект Холла, но не электронов, а композитов потока заряда, известных как композитные фермионы . В 1988 г. было высказано предположение о существовании квантового эффекта Холла без уровней Ландау . ^[2] Этот квантовый эффект Холла называется квантовым аномальным эффектом Холла (QAH). Существует также новая концепция квантового спинового эффекта Холла, который является аналогом квантового эффекта Холла, когда вместо зарядовых токов текут спиновые токи. ^[3]

Приложения [ править ]

Квантование проводимости Холла ( ) имеет важное свойство - быть чрезвычайно точным. Было обнаружено, что фактические измерения холловской проводимости являются целыми или дробными кратными${\ Displaystyle G_ {xy} = 1 / R_ {xy}}$e ²/часпочти до одной части на миллиард. Это явление, называемое точным квантованием , на самом деле не изучено, но иногда его объясняют как очень тонкое проявление принципа калибровочной инвариантности . ^[4] Это позволило для определения нового практического стандарта для электрического сопротивления , на основе сопротивления кванта заданной константой Клитцинг R _K . Он назван в честь Клауса фон Клитцинга , первооткрывателя точного квантования. Квантовый эффект Холла также обеспечивает чрезвычайно точное независимое определение постоянной тонкой структуры , имеющей фундаментальное значение дляквантовая электродинамика .

В 1990 г. фиксированное условное значение R _K-90 =25 812 .807 Ом было определено для использования при калибровке сопротивления по всему миру. ^[5] 16 ноября 2018 г. 26-е заседание Генеральной конференции по мерам и весам решило установить точные значения h (постоянная Планка) и e (элементарный заряд) ^[6], заменив значение 1990 г. точным постоянным значение R _K =час/e ² знак равно 25 812 .807 45 ... Ом . ^[7]

История [ править ]

МОП - транзистор (металл-оксид-полупроводник полевой транзистор ), изобретенный Mohamed Atalla и Давон Канг в Bell Labs в 1959 году, ^[8] позволило физики для изучения поведения электронов в почти идеального двумерного газа . ^[9] В полевом МОП-транзисторе электроны проводимости перемещаются в тонком поверхностном слое, и напряжение « затвора » контролирует количество носителей заряда в этом слое. Это позволяет исследователям исследовать квантовые эффекты , используя полевые МОП-транзисторы высокой чистоты при температурах жидкого гелия . ^[9]

Целочисленное квантование проводимости Холла было первоначально предсказано исследователями из Токийского университета Цунейя Андо, Юкио Мацумото и Ясутада Уэмура в 1975 году на основе приблизительного расчета, в который они сами не верили. ^[10] В 1978 году исследователи из Университета Гакусуин Дзюн-ичи Вакабаяси и Синдзи Кавадзи впоследствии наблюдали этот эффект в экспериментах, проведенных на инверсионном слое полевых МОП-транзисторов. ^[11]

В 1980 году Клаус фон Клитцинг , работая в лаборатории сильного магнитного поля в Гренобле над образцами кремниевых полевых МОП-транзисторов, разработанных Майклом Пеппером и Герхардом Дорда, сделал неожиданное открытие, что сопротивление Холла было точно квантовано. ^{[12] [9]} За это открытие фон Клитцинг был удостоен Нобелевской премии по физике 1985 года . Связь между точным квантованием и калибровочной инвариантностью была впоследствии предложена Робертом Лафлином , который связал квантованную проводимость с квантованным переносом заряда в зарядовой накачке Таулеса. ^{[4] [13]} Большинство целочисленных квантовых экспериментов Холла в настоящее время проводятся на гетероструктуры из арсенида галлия , хотя могут использоваться многие другие полупроводниковые материалы. В 2007 году число квантового эффекта Холла было сообщено в графене при температурах до комнатной температуры, ^[14] и в магния цинка оксида ZnO-Mg _х Zn _{1- х} О. ^[15]

Целочисленный квантовый эффект Холла - уровни Ландау [ править ]

В двух измерениях, когда классические электроны подвергаются воздействию магнитного поля, они движутся по круговым циклотронным орбитам. При квантово-механической обработке системы эти орбиты квантуются. Чтобы определить значения уровней энергии, необходимо решить уравнение Шредингера.

Поскольку система подвергается воздействию магнитного поля, его необходимо ввести как электромагнитный векторный потенциал в уравнение Шредингера . Рассматриваемая система представляет собой электронный газ, который может свободно перемещаться в направлениях x и y, но жестко ограничен в z направление. Затем к нему прикладывается магнитное поле вдоль направления z, и согласно шкале Ландау электромагнитный векторный потенциал равен, а скалярный потенциал равен . Таким образом, уравнение Шредингера для частицы с зарядом и эффективной массой в этой системе выглядит так:${\ Displaystyle \ mathbf {A} = (0, Bx, 0)}$${\ displaystyle \ phi = 0}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\phi (x,y,z)=\varepsilon \phi (x,y,z)}$

где канонический импульс, который заменяется оператором и полная энергия.${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle -i\hbar \nabla }$${\displaystyle \varepsilon }$

Чтобы решить это уравнение, можно разделить его на два уравнения, поскольку магнитное поле просто влияет на движение по x и y. Полная энергия становится суммой двух вкладов . Соответствующие два уравнения:${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}}$

По оси z:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\right]u(z)=\varepsilon _{z}u(z)}$

Проще говоря, это считается бесконечной ямой, поэтому решения для направления z - это энергии, а волновые функции - синусоидальные. Для х и у, то решение уравнения Шредингера является произведением плоской волны в направлении оси у с некоторой неизвестной функцией от х , так как вектор - потенциал не зависит от у, то есть . Подставляя этот анзац в уравнение Шредингера, можно получить уравнение одномерного гармонического осциллятора с центром в .${\displaystyle V(z)}$${\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$ ${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$${\displaystyle \varphi _{xy}=u(x)e^{iky}}$${\displaystyle x_{k}={\frac {\hbar k}{eB}}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}w_{c}^{2}(x+l_{B}^{2}k)\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

где определяется как циклотронная частота и магнитная длина. Энергии:${\displaystyle w_{c}={\frac {eB}{m^{*}}}}$${\displaystyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n}=\hbar w_{c}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle n=1,2,3...}$

А волновые функции движения в плоскости xy задаются произведением плоской волны от y и полиномов Эрмита , которые являются волновыми функциями гармонического осциллятора.

Из выражения для уровней Ландау видно, что энергия зависит только от , а не от . Состояния с одинаковыми, но разными являются вырожденными. Плотность состояний коллапсирует от постоянной для двумерного электронного газа (плотность состояний на единицу поверхности при заданной энергии с учетом вырождения из-за спина ) до серии -функций, называемых разделенными уровнями Ландау . Однако в реальной системе уровни Ландау приобретают ширину, равную промежутку времени между событиями рассеяния. Обычно предполагается, что точная форма уровней Ландау - это гауссовский или лоренцевский профиль.${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n(\varepsilon )={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar w_{c}}$${\displaystyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$${\displaystyle \tau _{i}}$

Еще одна особенность состоит в том, что волновые функции образуют параллельные полосы в -направлении, равномерно разнесенные вдоль -оси, вдоль линий . Так как в любом направлении в плоскости нет ничего особенного, если векторный потенциал был выбран иначе, следует найти круговую симметрию.${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle xy}$

Учитывая выборку размеров и применение периодических граничных условий в -направлении, являющемся целым числом, можно получить, что каждому параболическому потенциалу присваивается значение .${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$

Параболические потенциалы вдоль оси -оси с центром в точке 1-й волновой функции, соответствующей ограничению бесконечной ямы в направлении. В -направлении - бегущие плоские волны.${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$

Число состояний для каждого Уровня Ландау и может быть вычислено из отношения между полным магнитным потоком, который проходит через образец, и магнитным потоком, соответствующим состоянию.${\displaystyle k}$

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&w_{c}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}w_{c}A}{2\pi \hbar }}}$

Таким образом, плотность состояний на единицу поверхности равна .${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}w_{c}}{2\pi \hbar }}}$

Обратите внимание на зависимость плотности состояний от магнитного поля. Чем больше магнитное поле, тем больше состояний находится на каждом уровне Ландау. Как следствие, в системе больше ограничений, поскольку занято меньше уровней энергии.

Перепишем последнее выражение, так как ясно, что каждый уровень Ландау содержит столько же состояний, сколько в 2DEG в .${\displaystyle n_{B}=\hbar w_{c}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar w_{c}}$

Учитывая тот факт, что электроны являются фермионами , каждому состоянию, доступному на уровнях Ландау, соответствуют два электрона, по одному электрону с каждым значением для спина . Однако, если приложено большое магнитное поле, энергии расщепляются на два уровня из-за магнитного момента, связанного с выравниванием спина с магнитным полем. Разница в энергиях быть фактором , который зависит от материала ( для свободных электронов) и магнетона Боры . Знак берется, когда спин параллелен полю и когда он антипараллелен. Этот факт, называемый спиновым расщеплением, означает, что плотность состояний для каждого уровня уменьшается вдвое. Обратите внимание, что${\displaystyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{B}B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle \mu _{B}}$ ${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$${\displaystyle \Delta E}$ пропорциональна магнитному полю, поэтому чем больше магнитное поле, тем более актуальным является расщепление.

Плотность состояний в магнитном поле без учета спинового расщепления. (а) Состояния в каждом диапазоне сжаты до уровня Ландау -функции. (б) Уровни Ландау имеют ненулевую ширину в более реалистичной картине и перекрываются, если . (c) Уровни становятся различными, когда .${\displaystyle \hbar w_{c}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \hbar w_{c}<\Gamma }$${\displaystyle \hbar w_{c}>\Gamma }$

Чтобы получить количество занятых уровней Ландау, определяют так называемый фактор заполнения как отношение между плотностью состояний в 2DEG и плотностью состояний на уровнях Ландау.${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{2D}}{n_{B}}}={\frac {hn_{2D}}{eB}}}$

Как правило, коэффициент заполнения не является целым числом. Это целое число, когда имеется точное количество заполненных уровней Ландау. Вместо этого оно становится нецелым числом, когда верхний уровень не полностью занят. Поскольку при увеличении магнитного поля уровни Ландау повышаются по энергии и количество состояний на каждом уровне увеличивается, поэтому меньшее количество электронов занимает верхний уровень, пока он не станет пустым. Если магнитное поле будет продолжать увеличиваться, в конечном итоге все электроны окажутся на нижнем уровне Ландау ( ), и это называется пределом магнитного кванта.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n_{B}\propto B}$${\displaystyle \nu <1}$

Заполнение уровней Ландау в магнитном поле без учета спинового расщепления, показывающее, как уровень Ферми движется, чтобы поддерживать постоянную плотность электронов. Поля находятся в соотношении и дают и .${\displaystyle 2:3:4}$${\displaystyle \nu =4,{\frac {8}{3}}}$${\displaystyle 2}$

Фактор заполнения можно связать с удельным сопротивлением и, следовательно, с проводимостью системы:

Продольное удельное сопротивление

Когда - целое число, энергия Ферми находится между уровнями Ландау, где нет состояний, доступных для носителей, поэтому проводимость становится нулевой (считается, что магнитное поле достаточно велико, чтобы не было перекрытия между уровнями Ландау, в противном случае было бы мало электронов и проводимость была бы приблизительно ). Следовательно, удельное сопротивление тоже становится равным нулю (доказано, что при очень сильных магнитных полях продольная проводимость и удельное сопротивление пропорциональны). ^[16]${\displaystyle \nu }$${\displaystyle 0}$

Вместо этого, когда является полуцелым числом, энергия Ферми находится на пике распределения плотности некоторого Уровня Ландау. Это значит, что проводимость будет максимальной.${\displaystyle \nu }$

Такое распределение минимумов и максимумов соответствует «квантовым колебаниям», называемым колебаниями Шубникова – де Гааза, которые становятся более актуальными по мере увеличения магнитного поля. Очевидно, что высота пиков увеличивается с увеличением магнитного поля, поскольку плотность состояний увеличивается с увеличением поля, поэтому имеется больше носителей, которые вносят вклад в удельное сопротивление. Интересно отметить, что если магнитное поле очень мало, продольное удельное сопротивление является постоянным, что означает достижение классического результата.

Продольное и поперечное (холловское) сопротивление и двумерного электронного газа как функция магнитного поля. На вставке показаны разделенные на квантовые единицы проводимости в зависимости от фактора заполнения .${\displaystyle \rho _{xx}}$${\displaystyle \rho _{xy}}$${\displaystyle 1/\rho _{xx}}$${\displaystyle e^{2}/h}$${\displaystyle \nu }$

Поперечное сопротивление

Из классического соотношения поперечного сопротивления и его подстановки вычисляем квантование поперечного сопротивления и проводимости:${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{2D}}}}$${\displaystyle n_{2D}=\nu {\frac {eB}{h}}}$

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

Из этого можно сделать вывод, что поперечное сопротивление кратно величине, обратной величине так называемого кванта проводимости . Тем не менее в экспериментах наблюдается плато между уровнями Ландау, что указывает на то, что носители заряда действительно присутствуют. Эти носители локализованы, например, в примесях материала, где они удерживаются на орбитах, поэтому они не могут вносить вклад в проводимость. Поэтому удельное сопротивление между уровнями Ландау остается постоянным. Опять же, если магнитное поле уменьшается, получается классический результат, в котором удельное сопротивление пропорционально магнитному полю.${\displaystyle e^{2}/h}$

Фотонный квантовый зал [ править ]

Квантовый эффект Холла может наблюдаться не только в двумерных электронных системах , но и в фотонах. Фотоны не обладают внутренним электрическим зарядом , но посредством манипуляции дискретными оптическими резонаторами и квантово-механической фазой создают в них искусственное магнитное поле . ^[17] Этот процесс можно выразить через метафору фотонов, прыгающих между несколькими зеркалами. Путем попадания света через несколько зеркал фотоны направляются и получают дополнительную фазу, пропорциональную их угловому моменту . Это создает эффект, как будто они находятся в магнитном поле .

Математика [ править ]

Целые числа, появляющиеся в эффекте Холла, являются примерами топологических квантовых чисел . Они известны в математике как первые числа Черна и тесно связаны с фазой Берри . Поразительной моделью, представляющей большой интерес в этом контексте, является модель Азбеля – Харпера – Хофштадтера, квантовая фазовая диаграмма которой представляет собой бабочку Хофштадтера, показанную на рисунке. По вертикальной оси отложена напряженность магнитного поля, по горизонтальной оси - химический потенциал., фиксирующий электронную плотность. Цвета представляют собой целые холловские проводимости. Теплые цвета представляют собой положительные целые числа, а холодные - отрицательные. Заметим, однако, что плотность состояний в этих областях квантованной холловской проводимости равна нулю; следовательно, они не могут производить плато, наблюдаемые в экспериментах. Фазовая диаграмма фрактальна и имеет структуру на всех уровнях. На рисунке очевидное самоподобие . При наличии беспорядка, который является источником наблюдаемых в экспериментах плато, эта диаграмма сильно отличается, и фрактальная структура в основном размывается.

Что касается физических механизмов, примеси и / или отдельные состояния (например, краевые токи) важны как для «целочисленных», так и для «дробных» эффектов. Кроме того, кулоновское взаимодействие также существенно в дробном квантовом эффекте Холла . Наблюдаемое сильное сходство между целочисленными и дробными квантовыми эффектами Холла объясняется тенденцией электронов образовывать связанные состояния с четным числом квантов магнитного потока, называемые составными фермионами .

Интерпретация константы фон Клитцинга атомом Бора [ править ]

Значение постоянной фон Клитцинга может быть получено уже на уровне отдельного атома в рамках модели Бора , рассматривая его как одноэлектронный эффект Холла. В то время как во время циклотронного движения по круговой орбите центробежная сила уравновешивается силой Лоренца, ответственной за поперечное индуцированное напряжение и эффект Холла, можно рассматривать кулоновскую разность потенциалов в атоме Бора как индуцированное одноатомное напряжение Холла и периодическое движение электрона по окружности холловским током. Определив ток Холла одиночного атома как скорость, с которой один заряд электрона совершает кеплеровские обороты с угловой частотой${\displaystyle e}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle I={\frac {\omega e}{2\pi }},}$

и индуцированное напряжение Холла как разность кулоновского потенциала ядра водорода в точке орбиты электрона и на бесконечности:

${\displaystyle U=V_{\text{C}}(\infty )-V_{\text{C}}(r)=0-V_{\text{C}}(r)={\frac {e}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

Можно получить квантование определенного сопротивления Холла орбиты Бора с шагом постоянной фон Клитцинга как

${\displaystyle R_{\text{Bohr}}(n)={\frac {U}{I}}=n{\frac {h}{e^{2}}}}$

которая для атома Бора линейна, но не обратна целому числу n .

Релятивистские аналоги [ править ]

Релятивистские примеры целочисленного квантового эффекта Холла и квантового спинового эффекта Холла возникают в контексте калибровочной теории решетки . ^{[18] [19]}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• ДР Йенни (1987). «Интегральный квантовый эффект Холла для неспециалистов». Ред. Мод. Phys . 59 (3): 781–824. Bibcode : 1987RvMP ... 59..781Y . DOI : 10.1103 / RevModPhys.59.781 .
• Д. Се; Д. Цянь; Л. Рэй; Ю. Ся; YS Hor; RJ Cava; М.З. Хасан (2008). «Топологический дираковский диэлектрик в квантовой спиновой холловской фазе». Природа . 452 (7190): 970–974. arXiv : 0902.1356 . Bibcode : 2008Natur.452..970H . DOI : 10,1038 / природа06843 . PMID  18432240 . S2CID  4402113 .
• 25 лет квантовому эффекту Холла , К. фон Клитцинг, семинар Пуанкаре (Париж-2004). Постскриптум . Pdf .
• Пресс-релиз Magnet Lab Квантовый эффект Холла при комнатной температуре
• Avron, Joseph E .; Осадчий, Даниил; Зайлер, Руеди (2003). «Топологический взгляд на квантовый эффект Холла». Физика сегодня . 56 (8): 38. Bibcode : 2003PhT .... 56h..38A . DOI : 10.1063 / 1.1611351 .
• Зюн Ф. Эзава: Квантовые эффекты Холла - теоретико-полевой подход и связанные темы. World Scientific, Сингапур, 2008 г., ISBN 978-981-270-032-2 
• Санкар Д. Сарма, Арон Пинчук: перспективы в квантовых эффектах Холла. Wiley-VCH, Weinheim 2004, ISBN 978-0-471-11216-7 
• А. Баумгартнер; Т. Ин; К. Энслин; К. Марановский; А. Госсард (2007). «Квантовый эффект Холла в экспериментах со сканирующим затвором». Phys. Rev. B . 76 (8): 085316. Bibcode : 2007PhRvB..76h5316B . DOI : 10.1103 / PhysRevB.76.085316 .
• Рашба Е.И., Тимофеев В.Б. Квантовый эффект Холла. Phys. - Полупроводники, т. 20, стр. 617–647 (1986).