Квантование Ландау

Квантование Ландау в квантовой механике - это квантование циклотронных орбит заряженных частиц в магнитных полях. В результате заряженные частицы могут занимать только орбиты с дискретными значениями энергии, называемые уровнями Ландау. Уровни Ландау вырождены , и количество электронов на уровне прямо пропорционально силе приложенного магнитного поля. Квантование Ландау непосредственно отвечает за колебания электронных свойств материалов в зависимости от приложенного магнитного поля. Он назван в честь советского физика Льва Ландау . ^[1]

Вывод [ править ]

Рассмотрим систему невзаимодействующих частиц с зарядом q и спином S, ограниченную областью A = L _x L _y в плоскости xy . Приложите однородное магнитное поле вдоль оси z . В единицах CGS гамильтониан этой системы (здесь не учитываются эффекты спина. Учет спина вводит дополнительный член в оператор гамильтониана)${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.}$

Здесь - оператор канонического импульса, а - электромагнитный векторный потенциал , который связан с магнитным полем соотношением${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,}$

Существует некоторая калибровочная свобода в выборе векторного потенциала для данного магнитного поля. Гамильтониан является калибровочно-инвариантным , что означает, что добавление градиента скалярного поля к Â изменяет общую фазу волновой функции на величину, соответствующую скалярному полю. Но на физические свойства не влияет конкретный выбор калибра. Для простоты расчета выберите датчик Ландау , который

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$

где B = | B | и x̂ - компонент x оператора позиции.

В этой калибровке гамильтониан равен

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$

Оператор коммутирует с этим гамильтонианом, так как оператор у отсутствуют по выбору датчика. Таким образом, оператор можно заменить его собственным значением ħk _y . Так как в гамильтониане не фигурирует, а в кинетической энергии появляется только z-импульс, это движение вдоль z-направления является свободным движением. ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

Гамильтониан также можно записать проще, если учесть, что циклотронная частота равна ω _c = qB / mc , что дает

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$

Это в точности гамильтониан для квантового гармонического осциллятора , за исключением того, что минимум потенциала смещен в координатном пространстве на x ₀ = ħk _y / mω _c .

Чтобы найти энергии, обратите внимание, что перевод потенциала гармонического осциллятора не влияет на энергии. Энергии этой системы, таким образом , идентичны таковым стандартного квантового гармонического осциллятора , ^[2]

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0~.}$

Энергия не зависит от квантового числа k _y , поэтому будет конечное число вырождений (если частица находится в неограниченном пространстве, это вырождение будет соответствовать непрерывной последовательности ). Значение является непрерывным, если частица не ограничена в z-направлении, и дискретным, если частица также ограничена в z-направлении.${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$

Напомним, что для волновых функций это коммутирует с гамильтонианом. Затем волновая функция множится в произведение собственных состояний импульса в направлении y и собственных состояний гармонического осциллятора, сдвинутых на величину x ₀ в направлении x :${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})}$

где . Таким образом, состояние электрона характеризуется квантовыми числами n , k _y и k _z .${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar }$

Уровни Ландау [ править ]

Каждый набор волновых функций с одинаковым значением n называется уровнем Ландау. Эффекты уровней Ландау наблюдаются только тогда, когда средняя тепловая энергия меньше, чем разделение уровней энергии, kT ≪ ħω _c , что означает низкие температуры и сильные магнитные поля.

Каждый уровень Ландау вырожден из-за второго квантового числа k _y , которое может принимать значения

${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}}$,

где N - целое число. Допустимые значения N дополнительно ограничиваются условием, что центр силы осциллятора, x ₀ , должен физически находиться внутри системы, 0 ≤ x ₀ <L _x . Это дает следующий диапазон для N :

${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$

Для частиц с зарядом q = Ze верхний предел N можно просто записать как отношение потоков :

${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$

где Φ ₀ = hc / e - основной квант потока, а Φ = BA - поток через систему (с площадью A = L _x L _y ).

Таким образом, для частиц со спином S максимальное количество D частиц на уровень Ландау равно

${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~,}$

что для электронов (где Z = 1 и S = 1/2) дает D = 2Φ / Φ ₀ , два доступных состояния для каждого кванта потока, проникающего в систему.

Вышесказанное дает лишь приблизительное представление о влиянии геометрии конечных размеров. Строго говоря, использование стандартного решения гармонического осциллятора справедливо только для систем, неограниченных по оси x (бесконечные полосы). Если размер L _x конечен, граничные условия в этом направлении порождают нестандартные условия квантования магнитного поля, включающие (в принципе) оба решения уравнения Эрмита. Заполнение этих уровней большим количеством электронов все еще ^[3] является активной областью исследований.

В целом уровни Ландау наблюдаются в электронных системах. По мере увеличения магнитного поля все больше и больше электронов могут поместиться на данный уровень Ландау. Оккупация самых высоких диапазонов уровней Ландау от полностью заполнен до полностью опустошить, что приводит к колебаниям в различных электронных свойств (см эффект де Гааза-ван Альфена и эффект Шубникова-де Гааза ).

Если включить зеемановское расщепление , каждый уровень Ландау расщепляется на пару, один для электронов со спином вверх, а другой для электронов со спином вниз. Тогда заполнение каждого спинового уровня Ландау есть не что иное, как отношение потоков D = Φ / Φ ₀ . Зеемановское расщепление оказывает существенное влияние на уровни Ландау, поскольку их энергетические масштабы одинаковы: 2 μ _B B = ħω . Однако энергия Ферми и энергия основного состояния остаются примерно одинаковыми в системе со многими заполненными уровнями, поскольку пары разделенных уровней энергии уравновешивают друг друга при суммировании.

Обсуждение [ править ]

Этот вывод трактует x и y как слегка асимметричные. Однако из-за симметрии системы не существует физической величины, которая различает эти координаты. Тот же результат мог быть получен при соответствующей замене x и y .

Более того, вышеприведенный вывод предполагал, что электрон удерживается в z- направлении, что является релевантной экспериментальной ситуацией - например, в двумерных электронных газах. Тем не менее, это предположение не является существенным для результатов. Если электроны могут двигаться в направлении z , волновая функция приобретает дополнительный мультипликативный член exp ( ik _z z ); энергия, соответствующая этому свободному движению, ( ħ k _z ) ² / ( 2m ) , добавляется к Eобсуждали. Этот член затем заполняет разделение по энергии различных уровней Ландау, размывая эффект квантования. Тем не менее движение в плоскости x - y , перпендикулярной магнитному полю, по-прежнему квантовано.

Уровни Ландау в симметричной калибровке [ править ]

Симметричная калибровка относится к выбору

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}}$

В терминах безразмерных длин и энергий гамильтониан можно выразить как

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$

Правильные единицы могут быть восстановлены путем введения коэффициентов и${\displaystyle q,c,\hbar ,\mathbf {B} }$${\displaystyle m}$

Рассмотрим операторов

${\displaystyle {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

Эти операторы подчиняются определенным коммутационным соотношениям

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}$.

В терминах указанных выше операторов гамильтониан можно записать как

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}}$

Индекс уровня Ландау - собственное значение${\displaystyle n}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

Компонент z углового момента равен

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$

Воспользовавшись этим свойством, мы выбрали собственные функции, которые диагонализируют и , Собственное значение обозначено , где ясно, что это на -м уровне Ландау. Однако он может быть сколь угодно большим, что необходимо для получения бесконечного вырождения (или конечного вырождения на единицу площади), проявляемого системой.${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle -m\hbar }$${\displaystyle m\geq -n}$${\displaystyle n}$

Применение увеличивается на одну единицу при сохранении , тогда как применение одновременно увеличивается и уменьшается на единицу. Аналогия с квантовым гармоническим осциллятором дает решения${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle }$

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle |n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle }$

Каждый уровень Ландау имеет вырожденные орбитали, помеченные квантовыми числами k _y и в калибровке Ландау и симметричной калибровке соответственно. Вырождение на единицу площади одинаково на каждом уровне Ландау.${\displaystyle m}$

Можно убедиться, что указанные состояния соответствуют выбору волновых функций, пропорциональных

${\displaystyle \psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}}$

где .${\displaystyle w=x+iy}$

В частности, самый низкий уровень Ландау состоит из произвольных аналитических функций умножения Гаусса, .${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$

Эффекты преобразования шкалы [ править ]

${\displaystyle \mathbf {A} \to \mathbf {A} '=\mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}\lambda (\mathbf {x} )}$

Определение кинематических импульсов:

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\pi }}}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c}$

где канонические импульсы. Гамильтониан является калибровочной инвариантно так и будет оставаться инвариантным относительно калибровочных преобразований , но будет зависеть от датчика. Для наблюдения эффекта калибровочного преобразования на квантовое состояние частицы, рассмотрим состояние с A и A 'как векторный потенциал , с состояниями и .${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$${\displaystyle \langle {\hat {\boldsymbol {\pi }}}\rangle }$${\displaystyle \langle {\hat {\mathbf {x} }}\rangle }$${\displaystyle \langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle }$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\alpha '\rangle }$

Поскольку и инвариантно относительно калибровочного преобразования, получаем${\displaystyle \langle {\hat {\mathbf {x} }}\rangle }$${\displaystyle \langle {\hat {\boldsymbol {\pi }}}\rangle }$

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {\mathbf {x} }}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\mathbf {x} }}|\alpha '\rangle }$

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {\boldsymbol {\pi }}}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\boldsymbol {\pi }}}'|\alpha '\rangle }$

${\displaystyle \langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha '|\alpha '\rangle }$

Рассмотрим такой оператор , что${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle |\alpha '\rangle ={\mathcal {G}}|\alpha \rangle }$

из приведенного выше соотношения выводим, что

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\hat {\mathbf {x} }}{\mathcal {G}}={\hat {\mathbf {x} }}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e{\hat {\mathbf {A} }}}{c}}-{\frac {e{\boldsymbol {\nabla }}\lambda (\mathbf {x} )}{c}}\right){\mathcal {G}}={\hat {p}}-{\frac {e{\hat {\mathbf {A} }}}{c}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\mathcal {G}}=1}$

из этого делаем вывод

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\exp \left({\frac {ie\lambda (\mathbf {x} )}{\hbar c}}\right)}$

Магнитная восприимчивость ферми-газа [ править ]

Самый важный пример ферми-газа электронов. Такие ферми-газы являются частью основы для понимания физических свойств металлов. В 1939 году Ландау получил оценку магнитной восприимчивости ферми-газа, известной как восприимчивость Ландау , которая постоянна для малых магнитных полей. Ландау также заметил, что восприимчивость колеблется с высокой частотой для больших магнитных полей ^[4], это физическое явление известно как эффект Де Гааза – Ван Альфена .

Двумерная решетка [ править ]

Сильной связи энергетический спектр заряженных частиц в двумерной бесконечной решетке знать , чтобы быть самоподобная и фрактал , как показано в бабочку Хофштадтера . При целочисленном отношении кванта магнитного потока и магнитного потока через ячейку решетки восстанавливаются уровни Ландау для больших целых чисел. ^[5]

См. Также [ править ]

• Эффект Баркгаузена
• Эффект Де Хааса – Ван Альфена
• Эффект Шубникова – де Гааза
• Квантовый эффект Холла
• Волновая функция Лафлина
• Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ландау, ЛД; и Лифшиц, Е.М.; (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Курс теоретической физики . Vol. 3 (3-е изд. Лондон: Pergamon Press). ISBN 0750635398 .