Закон Рэлея – Джинса согласуется с экспериментальными результатами на больших длинах волн (низкие частоты), но категорически не согласен с короткими длинами волн (высокими частотами). Это несоответствие между наблюдениями и предсказаниями классической физики широко известно как ультрафиолетовая катастрофа . [1] [2] Его разрешение в 1900 году с выводом Максом Планком закона Планка , который дает правильное излучение на всех частотах, было основополагающим аспектом развития квантовой механики в начале 20 века.
Историческое развитие
В 1900 году британский физик лорд Рэлей вывел зависимость от λ −4 закона Рэлея – Джинса на основе классических физических аргументов и эмпирических фактов. [1] Более полный вывод, включающий константу пропорциональности, был представлен Рэлеем и сэром Джеймсом Джинсом в 1905 году. Закон Рэлея-Джинса выявил важную ошибку в теории физики того времени. Закон предсказал выход энергии, расходящийся к бесконечности, когда длина волны приближается к нулю (когда частота стремится к бесконечности). Измерения спектрального излучения реальных черных тел показали, что излучение согласуется с законом Рэлея – Джинса на низких частотах, но расходится на высоких частотах; достигает максимума, а затем падает с частотой, поэтому общая излучаемая энергия конечна.
где h - постоянная Планка, а k B - постоянная Больцмана . Закон Планка не страдает от ультрафиолетовой катастрофы и хорошо согласуется с экспериментальными данными, но его полное значение (которое в конечном итоге привело к квантовой теории) было оценено только несколько лет спустя. С,
тогда в пределе высоких температур или длинных волн член в экспоненте становится малым, а экспонента хорошо аппроксимируется членом первого порядка полинома Тейлора ,
Так,
Это приводит к тому, что формула черного тела Планка сводится к
что идентично классическому выражению Рэлея – Джинса.
Тот же аргумент можно применить к излучению абсолютно черного тела, выраженному через частоту ν = c / λ . В пределе малых частот, то есть,
Последнее выражение является законом Рэлея – Джинса в пределе малых частот.
Согласованность выражений, зависящих от частоты и длины волны
При сравнении выражений закона Рэлея – Джинса, зависящих от частоты и длины волны, важно помнить, что
, а также
Следовательно,
даже после подстановки значения , так как имеет единицы энергии, излучаемой в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу длины волны , тогда какимеет единицы энергии, излучаемой в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу частоты . Чтобы быть последовательными, мы должны использовать равенство
где обе стороны теперь имеют единицы мощности (энергия, излучаемая в единицу времени) на единицу площади излучающей поверхности на единицу телесного угла.
Исходя из закона Рэлея – Джинса по длине волны, получаем
где
.
Это приводит нас к обнаружению:
.
Другие формы закона Рэлея-Джинса
В зависимости от приложения функция Планка может быть выражена в 3 различных формах. Первый включает в себя энергию, излучаемую в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу спектра. В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются выражением
или же
В качестве альтернативы закон Планка можно записать в виде выражения для излучаемой мощности, интегрированной по всем телесным углам. В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются выражением
или же
В других случаях закон Планка записывается как для энергии на единицу объема (плотности энергии). В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются выражением