Закон Стефана – Больцмана описывает мощность, излучаемую черным телом, с точки зрения его температуры . В частности, закон Стефана-Больцмана утверждает , что полная энергия , излучаемая на единицу площади поверхности из черного тела по всем длинам волн в единицу времени (также известная как излучательная способность черного тела ) прямо пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры T черного тела :
Константа пропорциональности сг , называется постоянная Стефана-Больцмана , является производным от других известных физических констант . С 2019 года значение константы равно
где k - постоянная Больцмана , h - постоянная Планка , c - скорость света в вакууме . Сияния с определенным углом зрения (ватт на квадратный метр в стерадиан ) задается
Тело, которое не поглощает все падающее излучение (иногда называемое серым телом), излучает меньше общей энергии, чем черное тело, и характеризуется излучательной способностью ,:
Излучение имеет размеры от потока энергии (энергии в единицу времени на единицу площади), и единицы СИ измерения являются джоулей в секунду на квадратный метр, или , что эквивалентно, ватт на квадратный метр. Единицей измерения абсолютной температуры T в системе СИ является кельвин .- коэффициент излучения серого тела; если это идеальное черное тело,. В еще более общем (и реалистичном) случае коэффициент излучения зависит от длины волны,.
Чтобы найти полную мощность, излучаемую объектом, умножьте его на площадь его поверхности,:
Частицы длин волн и субволнового масштаба, [1] метаматериалы , [2] и другие наноструктуры не подпадают под лучево-оптические ограничения и могут быть разработаны таким образом, чтобы выходить за рамки закона Стефана-Больцмана.
История
В 1864 году Джон Тиндалл представил измерения инфракрасного излучения платиновой нити и соответствующего цвета нити. [3] Пропорциональность четвертой степени абсолютной температуры была выведена Йозефом Стефаном (1835–1893) в 1879 году на основе экспериментальных измерений Тиндаля в статье Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( О соотношении между тепловое излучение и температура ) в бюллетенях сессий Венской академии наук. [4] [5]
Вывод закона из теоретических соображений был представлен Людвигом Больцманом (1844–1906) в 1884 году, опираясь на работы Адольфо Бартоли . [6] Бартоли в 1876 г. вывел существование радиационного давления из принципов термодинамики . Вслед за Бартоли Больцман рассматривал идеальную тепловую машину, использующую электромагнитное излучение вместо идеального газа в качестве рабочего вещества.
Закон был практически сразу подтвержден экспериментально. Генрих Вебер в 1888 году указал на отклонения при более высоких температурах, но идеальная точность в пределах погрешностей измерения была подтверждена до температур 1535 К к 1897 году. [7] Закон, включая теоретическое предсказание постоянной Стефана – Больцмана как функции скорости света , то постоянная Больцмана и постоянная Планка , является прямым следствием из закона Планка , сформулированные в 1900 году.
После переопределения базовых единиц СИ в 2019 году , в котором фиксируются значения постоянной Больцмана k , постоянной Планка h и скорости света c , постоянная Стефана – Больцмана равна точно
- σ = 5,670 374 419 184 429 453 970 996 731 889 230 875 840 122 970 291 30 ... × 10 -8 Вт / м 2 К 4 .
Примеры
Температура Солнца
С помощью своего закона Стефан также определил температуру поверхности Солнца . [8] Он сделал вывод из данных Жака-Луи Соре (1827–1890) [9], что плотность потока энергии от Солнца в 29 раз больше, чем плотность потока энергии некоторой нагретой металлической пластинки (тонкой пластины). Круглая пластинка располагалась на таком расстоянии от измерительного прибора, чтобы ее можно было видеть под тем же углом, что и Солнце. По оценке Соре, температура ламели составляет примерно от 1900 ° C до 2000 ° C. Стефан предположил, что потока энергии от Солнца поглощается атмосферой Земли , поэтому он принял за правильный поток энергии Солнца значение, в 3/2 раза превышающее значение Соре, а именно 29 × 3/2 = 43,5.
Точные измерения атмосферного поглощения не проводились до 1888 и 1904 годов. Температура, полученная Стефаном, была медианным значением предыдущих, 1950 ° C, и абсолютным термодинамическим значением 2200 K. Поскольку 2,57 4 = 43,5, из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза больше, чем температура ламели, поэтому Стефан получил значение 5430 ° C или 5700 K (современное значение 5778 K [10] ). Это было первое разумное значение температуры Солнца. До этого заявлялись значения от 1800 ° C до 13000000 ° C [11] . Нижнее значение 1800 ° C было определено Клодом Пуйе (1790–1868) в 1838 году с использованием закона Дюлонга – Пети . [12] Пуйе также взял только половину значения правильного потока энергии Солнца.
Температура звезд
Температуру звезд, отличных от Солнца, можно приблизительно оценить с помощью аналогичных средств, рассматривая излучаемую энергию как излучение черного тела . [13] Итак:
где L - светимость , σ - постоянная Стефана – Больцмана , R - радиус звезды, T - эффективная температура . Эту же формулу можно использовать для вычисления приблизительного радиуса звезды главной последовательности относительно Солнца:
где - радиус Солнца ,это солнечная светимость и так далее.
С помощью закона Стефана – Больцмана астрономы могут легко определить радиусы звезд. Закон встречается также в термодинамике в черных дырах в так называемом Хокинг .
Эффективная температура Земли
Точно так же мы можем вычислить эффективную температуру Земли T ⊕ , приравняв энергию, полученную от Солнца, к энергии, излучаемой Землей, в приближении черного тела (собственное производство энергии Землей достаточно мало, чтобы им можно было пренебречь). Светимость Солнца L ⊙ определяется по формуле :
На Земле эта энергия проходит через сферу с радиусом в 0 , то расстояние между Землей и Солнцем, и облученностью (принимаемой мощностью на единицу площади) задаются
Земля имеет радиус R ⊕ и, следовательно, ее поперечное сечение. Таким образом, радиационный поток (т.е. солнечная энергия), поглощаемый Землей, определяется по формуле:
Поскольку закон Стефана – Больцмана использует четвертую степень, он оказывает стабилизирующее влияние на обмен, и поток, излучаемый Землей, имеет тенденцию быть равен поглощенному потоку, близкому к установившемуся состоянию, когда:
Тогда T ⊕ можно найти:
где T ⊙ - температура Солнца, R ⊙ радиус Солнца, а a 0 - расстояние между Землей и Солнцем. Это дает эффективную температуру на поверхности Земли 6 ° C при условии, что она отлично поглощает все падающие на нее излучения и не имеет атмосферы.
Альбедо Земли составляет 0,3, что означает, что 30% солнечной радиации, попадающей на планету, рассеивается обратно в космос без поглощения. Влияние альбедо на температуру можно приблизительно оценить, предположив, что поглощенная энергия умножена на 0,7, но что планета все еще излучает как черное тело (последнее по определению эффективной температуры , которое мы и рассчитываем). Это приближение снижает температуру в 0,7 1/4 раза , что дает 255 К (-18 ° C). [14] [15]
Вышеуказанная температура является температурой Земли, наблюдаемой из космоса, а не температурой земли, а средней температурой по всем излучающим телам Земли от поверхности до большой высоты. Из-за парникового эффекта фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 K (15 ° C), что выше, чем эффективная температура 255 K, и даже выше, чем температура 279 K, которую могло бы иметь черное тело.
В приведенном выше обсуждении мы предположили, что вся поверхность Земли имеет одну температуру. Другой интересный вопрос состоит в том, чтобы спросить, какой будет температура поверхности черного тела на Земле, если предположить, что она достигает равновесия с падающим на нее солнечным светом. Это, конечно, зависит от угла падения солнца на поверхность и от того, сколько воздуха прошло через солнечный свет. Когда солнце находится в зените, а поверхность горизонтальна, энергетическая освещенность может достигать 1120 Вт / м 2 . [16] Тогда закон Стефана – Больцмана дает температуру
или 102 ° С. (Выше атмосферы результат еще выше: 394 К.) Мы можем думать о земной поверхности как о «пытающейся» достичь равновесной температуры в течение дня, но охлаждаемой атмосферой и «пытающейся» достичь равновесия со звездным светом. и, возможно, лунный свет ночью, но его согревает атмосфера.
Происхождение
Термодинамический вывод плотности энергии
Тот факт, что плотность энергии ящика, содержащего излучение, пропорциональнаможно вывести с помощью термодинамики. [17] [18] Этот вывод использует соотношение между давлением излучения p и плотностью внутренней энергии, соотношение, которое может быть показано с помощью формы тензора энергии-импульса электромагнитного поля . Это отношение:
Теперь из фундаментального термодинамического соотношения
после деления на и исправление :
Последнее равенство вытекает из следующего соотношения Максвелла :
Из определения плотности энергии следует, что
где плотность энергии излучения зависит только от температуры, поэтому
Теперь равенство
после замены а также для соответствующих выражений можно записать как
Поскольку частная производная можно выразить как отношение только между а также (если выделить его на одной стороне равенства), частную производную можно заменить обычной производной. После разделения дифференциалов равенство принимает вид
что немедленно приводит к , с участием как некоторая постоянная интеграции.
Вывод из закона Планка
Этот закон можно вывести, рассмотрев небольшую плоскую поверхность черного тела, излучающуюся в полусферу. Этот вывод использует сферические координаты , где θ является зенитным углом, а φ - азимутальным углом; а маленькая плоская поверхность черного тела лежит в плоскости xy, где θ = π / 2 .
Интенсивность света, излучаемого поверхностью черного тела, определяется законом Планка :
- где
- - количество мощности на единицу площади поверхности на единицу телесного угла на единицу частоты, излучаемую с частотойчерным телом при температуре T .
- является постоянной Планка
- это скорость света , и
- - постоянная Больцмана .
Количество - мощность, излучаемая поверхностью площади A через телесный угол dΩ в диапазоне частот от ν до ν + dν .
Закон Стефана-Больцмана дает мощность, излучаемую на единицу площади излучающего тела:
Обратите внимание, что косинус появляется потому, что черные тела являются ламбертовскими (т.е. они подчиняются закону косинусов Ламберта ), а это означает, что интенсивность, наблюдаемая вдоль сферы, будет фактической интенсивностью, умноженной на косинус зенитного угла. Чтобы вывести закон Стефана – Больцмана, мы должны проинтегрировать по полусфере и интегрировать от 0 до ∞.
Затем подключаемся к I :
Чтобы вычислить этот интеграл, сделайте замену,
который дает:
Интеграл справа является стандартным и имеет много названий: это частный случай интеграла Бозе – Эйнштейна , полилогарифма или дзета-функции Римана. . Значение интеграла, давая результат, который для идеальной поверхности черного тела:
Наконец, это доказательство началось только с рассмотрения небольшой плоской поверхности. Однако любую дифференцируемую поверхность можно аппроксимировать набором небольших плоских поверхностей. Пока геометрия поверхности не заставляет черное тело реабсорбировать собственное излучение, полная излучаемая энергия является просто суммой энергий, излучаемых каждой поверхностью; а общая площадь поверхности - это просто сумма площадей каждой поверхности, так что этот закон также выполняется для всех выпуклых черных тел, пока поверхность имеет одинаковую температуру повсюду. Закон распространяется на излучение невыпуклых тел, используя тот факт, что выпуклая оболочка черного тела излучает, как если бы оно само было черным телом.
Плотность энергии
Полная плотность энергии U может быть вычислена аналогичным образом, за исключением того, что интегрирование проводится по всей сфере и отсутствует косинус, а поток энергии (U c) следует разделить на скорость c, чтобы получить плотность энергии U :
Таким образом заменяется на , что дает дополнительный коэффициент 4.
Таким образом, всего:
Смотрите также
- Закон смещения Вина
- Закон Рэлея – Джинса
- Сияние
- Нульмерные модели
- Черное тело
- Уравнение Сакума – Хаттори
- Радо фон Кевеслигети
Заметки
- ^ Борен, Крейг Ф .; Хаффман, Дональд Р. (1998). Поглощение и рассеяние света мелкими частицами . Вайли. С. 123–126. ISBN 978-0-471-29340-8.
- ^ Нариманов, Евгений Е .; Смольянинов, Игорь Иванович (2012). «За пределами закона Стефана – Больцмана: теплопроводность». Конференция по лазерам и электрооптике 2012 . Технический дайджест OSA. Оптическое общество Америки. стр. QM2E.1. CiteSeerX 10.1.1.764.846 . DOI : 10,1364 / QELS.2012.QM2E.1 . ISBN 978-1-55752-943-5. S2CID 36550833 .
- ^
- Тиндаль, Джон (1864). «О световом [т. Е. Видимом] и затемненном [т. Е. Инфракрасном] излучении» . Философский журнал . 4-я серия. 28 : 329–341. ; см. стр. 333.
- Вюлльнер, Адольф (1875). Lehrbuch der Experimentalphysik [ Учебник экспериментальной физики ] (на немецком языке). т. 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 215.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка )
См. также:- Висняк, Хайме (ноябрь 2002 г.). «Закон теплового излучения - от Ньютона до Стефана». Индийский журнал химической технологии . 9 : 545–555. ; см. стр. 551–552. Доступно в: Национальный институт научных коммуникаций и информационных ресурсов (Нью-Дели, Индия)
- ^ Стефан, Дж. (1879). "Uber die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [О связи между тепловым излучением и температурой]. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe (Труды Императорской философской академии [Вены]: математический и научный класс) (на немецком языке). 79 : 391–428.
- ^ Стефан заявил (Stefan, 1879), стр. 421: «Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen,… die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperatur пропорционально anzunehmen. (Прежде всего, я хочу указать здесь на наблюдение, которое Вюлльнер в своем учебнике добавил к отчету об экспериментах Тиндаля по излучению платиновой проволоки, которая светилась электрическим током, потому что это наблюдение сначала заставило меня предположить, что тепловое излучение пропорционально четвертой степени абсолютной температуры.)
- ^ Больцман, Людвиг (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Вывод закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры из электромагнитной теории света]. Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке). 258 (6): 291–294. Bibcode : 1884AnP ... 258..291B . DOI : 10.1002 / andp.18842580616 .
- ^ Массимилиано Бадино, ухабистая дорога: Макс Планк от теории излучения к квантовой (1896–1906) (2015), стр. 31 .
- ^ (Стефан, 1879), стр. 426–427.
- ^ Soret, JL (1872) "Сравнение интенсивности калорийности солнечного района и района и его корпуса" [Сравнение интенсивности солнечного излучения и излучения тела, нагретого кислородно-водородной горелкой]. ], Archives des Sciences Physiques et Naturelles (Женева, Швейцария), 2-я серия, 44 : 220–229 ; 45 : 252–256.
- ^ «Информационный бюллетень Sun» .
- ^ Уотерстон, Джон Джеймс (1862). «Отчет о наблюдениях за солнечной радиацией» . Философский журнал . 4-я серия. 23 (2): 497–511. Bibcode : 1861MNRAS..22 ... 60Вт . DOI : 10.1093 / MNRAS / 22.2.60 .На стр. 505, шотландский физик Джон Джеймс Уотерстон оценил, что температура поверхности Солнца может составлять 12 880 000 °.
- ^ См .:
- Пуийе (1838). "Mémoire sur la chaleur solaire, sur les pouvoirs rayonnants et Absorbs de l'air atmosphérique, et sur la température de l'espace" [Воспоминания о солнечном тепле, излучающей и поглощающей способности атмосферного воздуха и о температуре космос]. Comptes Rendus (на французском). 7 (2): 24–65.На стр. 36, Пуйе оценивает температуру солнца: «… cette température pourrait être de 1761 °…» (… эта температура [т. Е. Солнца] может составлять 1761 °…)
- Английский перевод: Pouillet (1838) «Воспоминания о солнечном тепле, излучающей и поглощающей способности атмосферного воздуха и о температуре космоса» в: Taylor, Richard, ed. (1846) Научные мемуары, избранные из трудов зарубежных академий наук и научных обществ, а также из зарубежных журналов. т. 4. Лондон, Англия: Ричард и Джон Э. Тейлор. С. 44–90; см. стр. 55–56.
- ^ «Светимость звезд» . Австралийский телескоп и образование . Проверено 13 августа 2006 .
- ^ Межправительственная группа экспертов по изменению климата Четвертый отчет об оценке. Глава 1: Исторический обзор науки об изменении климата стр. 97
- ^ Солнечная радиация и энергетический баланс Земли
- ^ «Введение в солнечную радиацию» . Корпорация Ньюпорт. Архивировано 29 октября 2013 года.
- ^ Книжник, Кальман. «Вывод закона Стефана – Больцмана» (PDF) . Университет Джона Хопкинса - факультет физики и астрономии . Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 3 сентября 2018 .
- ^ (Wisniak, 2002), стр. 554.
Рекомендации
- Стефан, J. (1879), "Убер умереть Beziehung Zwischen дер Wärmestrahlung унд дер Temperatur" [О связи между тепловым излучением и температурой] (PDF) , Sitzungsberichte дер Mathematisch-naturwissenschaftlichen Классе дер Kaiserlichen Akademie дер Wissenschaften (на немецком языке ), 79 : 391–428
- Больцман, Л. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Вывод небольшого закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры электромагнитной теории света], Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке), 258 (6): 291–294, Bibcode : 1884AnP ... 258..291B , doi : 10.1002 / andp.18842580616