Матрица плотности

Часть серии по
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Матрица плотности является матрицей , которая описывает статистическое состояние, будь то в чистом виде или смешанным, систем , в квантовой механике . Вероятность любого результата любого четко определенного измерения системы может быть вычислена из матрицы плотности для этой системы. В крайних точках в наборе матриц плотности являются чистыми состояниями , которые также могут быть записаны в виде векторов состояния или волновых функциями. Матрицы плотности, которые не являются чистыми состояниями, являются смешанными состояниями. Любое смешанное состояние может быть представлено как выпуклая комбинация чистых состояний, и поэтому матрицы плотности полезны для работы сстатистические ансамбли различных возможных приготовлений квантовой системы или ситуации, в которых точная подготовка неизвестна, как в квантовой статистической механике .

Describing a quantum state by its density matrix is a fully general alternative formalism to describing a quantum state by its state vector (its "ket") or by a statistical ensemble of kets. However, in practice, it is often most convenient to use density matrices for calculations involving mixed states, and to use kets for calculations involving only pure states. Mixed states arise in situations where the experimenter does not know which particular states are being manipulated. Examples include a system in thermal equilibrium at a temperature above absolute zero, or a system with an uncertain or randomly varying preparation history (so one does not know which pure state the system is in). Also, if a quantum system has two or more subsystems that are запутанный , то каждая подсистема должна рассматриваться как смешанное состояние, даже если вся система находится в чистом состоянии. ^[1] Следовательно, матрица плотности также является важным инструментом в теории квантовой декогеренции , в которой временная эволюция системы рассматривается вместе с эволюцией ее окружения. ^{[2] [3] [4]}

Матрица плотности представляет собой представление линейного оператора, называемого оператором плотности . Матрица плотности получается из оператора плотности путем выбора базиса в нижележащем пространстве. На практике термины матрица плотности и оператор плотности часто используются как взаимозаменяемые. И матрица, и оператор являются самосопряженными (или эрмитовыми ), положительно полуопределенными , первого следа и могут иметь бесконечный ранг . ^[5]

История [ править ]

Формализм операторов плотности и матриц был введен в 1927 году Джоном фон Нейманом ^[6] и независимо, но менее систематически, Львом Ландау ^[7], а затем в 1946 году Феликсом Блохом . ^[8] Фон Нейман ввел матрицу плотности с целью развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений. Сама матрица плотности названий связана с ее классическим соответствием вероятностной мере в фазовом пространстве (вероятностное распределение положения и импульса) в классической статистической механике , которая была введена Вигнером в 1932 году ^[5].

In contrast, the motivation that inspired Landau was the impossibility of describing a subsystem of a composite quantum system by a state vector.^[7]

Pure and mixed states[edit]

В квантовой механике состояние квантовой системы представлено вектором состояния , обозначенным (и произносится как ket psi ). Квантовая система с вектором состояния называется чистым состоянием . Однако также возможно, что система находится в статистическом ансамбле различных векторов состояния: например, может быть 50% -ная вероятность того, что вектор состояния и 50% -ная вероятность, что вектор состояния является . Эта система будет в смешанном состоянии . Матрица плотности особенно полезна для смешанных состояний, потому что любое состояние, чистое или смешанное, может быть охарактеризовано единой матрицей плотности. ^{[9] : 102}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

Смешанное состояние отличается от квантовой суперпозиции . Вероятности в смешанном состоянии - это классические вероятности (как и вероятности, которые изучаются в классической теории / статистике вероятностей), в отличие от квантовых вероятностей в квантовой суперпозиции. Фактически, квантовая суперпозиция чистых состояний - это, например, другое чистое состояние . В этом случае коэффициенты являются не вероятностями, а скорее амплитудами вероятностей . ^{[9] : 81}${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

Пример: поляризация света [ править ]

Лампа накаливания  (1) излучает полностью случайные поляризованные фотоны  (2) с матрицей плотности смешанного состояния:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}$.

After passing through vertical plane polarizer (3), the remaining photons are all vertically polarized (4) and have pure state density matrix:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}$.

Примером чистого и смешанного состояний является поляризация света . Фотоны могут иметь две спирали , соответствующие двум ортогональным квантовым состояниям (правая круговая поляризация ) и (левая круговая поляризация ). Фотон также может находиться в состоянии суперпозиции, например (вертикальная поляризация) или (горизонтальная поляризация). В более общем смысле, он может находиться в любом состоянии (с ), соответствующем линейной , круговой или эллиптической поляризации . Если мы пропустим поляризованный свет через круговой поляризатор, который позволяет только${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle (|R\rangle -|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$${\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |R\rangle }$ polarized light, or only ${\displaystyle |L\rangle }$ polarized light, intensity would be reduced by half in both cases. This may make it seem like half of the photons are in state ${\displaystyle |R\rangle }$ and the other half in state ${\displaystyle |L\rangle }$, but this is not correct: both ${\displaystyle |R\rangle }$ and ${\displaystyle |L\rangle }$ photons are partly absorbed by a vertical linear polarizer, but the ${\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$ light will pass through that polarizer with no absorption whatsoever.

However, unpolarized light (such as the light from an incandescent light bulb) is different from any state like ${\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }$ (linear, circular, or elliptical polarization). Unlike linearly or elliptically polarized light, it passes through a polarizer with 50% intensity loss whatever the orientation of the polarizer; and unlike circularly polarized light, it cannot be made linearly polarized with any wave plate because randomly oriented polarization will emerge from a wave plate with random orientation. Indeed, unpolarized light cannot be described as any state of the form ${\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }$ in a definite sense. However, unpolarized light can be described with ensemble averages, e.g. that each photon is either ${\displaystyle |R\rangle }$с вероятностью 50% или с вероятностью 50%. Такое же поведение произошло бы, если бы каждый фотон был либо вертикально поляризован с вероятностью 50%, либо горизонтально поляризован с вероятностью 50% (поскольку состояние вертикальной или горизонтальной поляризации может быть выражено как линейная комбинация состояний и ).${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$

Therefore, unpolarized light cannot be described by any pure state, but can be described as a statistical ensemble of pure states in at least two ways (the ensemble of half left and half right circularly polarized, or the ensemble of half vertically and half horizontally linearly polarized). These two ensembles are completely indistinguishable experimentally, and therefore they are considered the same mixed state. One of the advantages of the density matrix is that there is just one density matrix for each mixed state, whereas there are many statistical ensembles of pure states for each mixed state. Nevertheless, the density matrix contains all the information necessary to calculate any measurable property of the mixed state.^{[citation needed]}

Where do mixed states come from? To answer that, consider how to generate unpolarized light. One way is to use a system in thermal equilibrium, a statistical mixture of enormous numbers of microstates, each with a certain probability (the Boltzmann factor), switching rapidly from one to the next due to thermal fluctuations. Thermal randomness explains why an incandescent light bulb, for example, emits unpolarized light. A second way to generate unpolarized light is to introduce uncertainty in the preparation of the system, for example, passing it through a birefringent crystalс шероховатой поверхностью, так что несколько разные части луча приобретают разную поляризацию. Третий способ генерации неполяризованного света использует установку ЭПР : радиоактивный распад может испускать два фотона, движущихся в противоположных направлениях, в квантовом состоянии . Два фотона вместе находятся в чистом состоянии, но если вы смотрите только на один из фотонов и игнорируете другой, фотон ведет себя так же, как неполяризованный свет. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}}$

More generally, mixed states commonly arise from a statistical mixture of the starting state (such as in thermal equilibrium), from uncertainty in the preparation procedure (such as slightly different paths that a photon can travel), or from looking at a subsystem entangled with something else.^{[9]:101–106}

Definition[edit]

For a finite-dimensional function space, the most general density operator is of the form

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,}$

where the coefficients ${\displaystyle p_{j}}$ are non-negative and add up to one, and ${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$ is an outer product written in bra-ket notation. This represents a mixed state, with probability ${\displaystyle p_{j}}$ that the system is in the pure state ${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$.^{[citation needed]}

Для приведенного выше примера неполяризованного света оператор плотности равен

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|R\rangle \langle R|+{\frac {1}{2}}|L\rangle \langle L|,}$

где - состояние фотона с левой круговой поляризацией, а - состояние фотона с правой круговой поляризацией. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \textstyle |L\rangle }$${\displaystyle \textstyle |R\rangle }$

Различные статистические ансамбли с одинаковой матрицей плотности [ править ]

An earlier section gave an example of two statistical ensembles of pure states that have the same density operator: unpolarized light can be described as both 50% right-circular-polarized and 50% left-circular-polarized, or 50% horizontally-polarized and 50% vertically-polarized. Such equivalent ensembles or mixtures cannot be distinguished by any measurement. This equivalence can be characterized precisely. This can be illustrated with the case of finite ensembles of states on a finite-dimensional Hilbert space. Two such ensembles ${\displaystyle \left\{\left|\psi _{i}\right\rangle \right\},\left\{\left|\psi _{i}'\right\rangle \right\}}$ define the same density operator if and only if there is a partial isometry whose matrix is ${\displaystyle U}$, with

${\displaystyle \left|\psi _{i}'\right\rangle {\sqrt {p_{i}'}}=\sum _{j}U_{ij}\left|\psi _{j}\right\rangle {\sqrt {p_{j}}}~.}$

Это просто повторение следующего факта из линейной алгебры: для двух матриц и , если и только если для некоторой частичной изометрии . В случае, если два ансамбля имеют одинаковый размер, матрица будет квадратной и, следовательно, унитарной. (См. Более подробную информацию об этом случае в квадратном корне из матрицы .) Таким образом, в кет-смеси или ансамбле существует свобода, которая дает тот же оператор плотности. Однако, если кеты, составляющие смесь, ограничены определенным ортонормированным базисом, то исходные вероятности однозначно восстанавливаются из этого базиса как собственные значения матрицы плотности. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle MM^{*}=NN^{*}}$${\displaystyle M=NU}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p_{j}}$

Mathematical properties and purity condition[edit]

In operator language, a density operator is a positive semi-definite, Hermitian operator of trace 1 acting on the state space.^[1] A density operator describes a pure state if it is a rank one projection. Similarly, a density operator ${\displaystyle \rho }$ describes a pure state if and only if

${\displaystyle \rho =\rho ^{2}}$,

i.e. the state is idempotent.^[10]:73 This is true regardless of whether the Hilbert space H is finite-dimensional or not.^{[citation needed]}

Геометрически, когда состояние не может быть выражено как выпуклая комбинация других состояний, это чистое состояние. ^[1] Семейство смешанных состояний является выпуклым множеством, а состояние является чистым, если оно является экстремальной точкой этого множества.

It follows from the spectral theorem for compact self-adjoint operators that every mixed state is a countable convex combination of pure states. This representation is not unique. Furthermore, Gleason's theorem establishes that any self-consistent assignment of probabilities to measurement outcomes, where measurements are orthonormal bases on the Hilbert space, can be written as a density operator, as long as the dimension of the Hilbert space is larger than 2.^[11] This restriction on the dimension can be removed by generalizing the notion of measurement to POVMs.^[12][13]

Measurement[edit]

Let ${\displaystyle A}$ be an observable of the system, and suppose the ensemble is in a mixed state such that each of the pure states ${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$ occurs with probability ${\displaystyle p_{j}}$. Then the corresponding density operator equals

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

The expectation value of the measurement can be calculated by extending from the case of pure states (see Measurement in quantum mechanics):

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\sum _{j}\operatorname {tr} \left(p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

where ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ denotes trace. Thus, the familiar expression ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$ for pure states is replaced by

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

for mixed states.

Moreover, if ${\displaystyle A}$ has spectral resolution

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

where ${\displaystyle P_{i}=|a_{i}\rangle \langle a_{i}|}$, the corresponding density operator after the measurement is given by

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

Note that the above density operator describes the full ensemble after measurement. The sub-ensemble for which the measurement result was the particular value ${\displaystyle a_{i}}$ is described by the different density operator

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}.}$

This is true assuming that ${\displaystyle \textstyle |a_{i}\rangle }$ is the only eigenket (up to phase) with eigenvalue ${\displaystyle a_{i}}$; more generally, ${\displaystyle P_{i}}$ in this expression would be replaced by the projection operator into the eigenspace corresponding to eigenvalue ${\displaystyle a_{i}}$.

В более общем смысле, предположим, что это функция, которая связывает с каждым наблюдаемым число , которое мы можем рассматривать как «математическое ожидание» . Если удовлетворяет некоторым естественным свойствам (например, дает положительные значения для положительных операторов), тогда существует уникальная матрица плотности такая, что${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \Phi (A)=\operatorname {tr} (\rho A)}$

для всех . ^[1] Другими словами, любое разумное «семейство ожидаемых значений» может быть представлено матрицей плотности. Это наблюдение предполагает, что матрицы плотности являются наиболее общим понятием квантового состояния.${\displaystyle A}$

Энтропия [ править ]

The von Neumann entropy ${\displaystyle S}$ of a mixture can be expressed in terms of the eigenvalues of ${\displaystyle \rho }$ or in terms of the trace and logarithm of the density operator ${\displaystyle \rho }$. Since ${\displaystyle \rho }$ is a positive semi-definite operator, it has a spectral decomposition such that ${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$, where ${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$ are orthonormal vectors, ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$, and ${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$. Then the entropy of a quantum system with density matrix ${\displaystyle \rho }$ is

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

This definition implies that the von Neumann entropy of any pure state is zero.^[14]:217 If ${\displaystyle \rho _{i}}$ are states that have support on orthogonal subspaces, then the von Neumann entropy of a convex combination of these states,

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

дается энтропиями фон Неймана состояний и энтропией Шеннона распределения вероятностей :${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

Когда состояния не имеют ортогональных носителей, сумма в правой части строго больше, чем энтропия фон Неймана выпуклой комбинации . ^{[9] : 518}${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle \rho }$

Учитывая оператор плотности и проективное измерение, как в предыдущем разделе, состояние, определяемое выпуклой комбинацией${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

которое можно интерпретировать как состояние, полученное при выполнении измерения, но без записи того, какой результат произошел, ^{[15] : 159} имеет энтропию фон Неймана больше, чем энтропия, за исключением случая . Однако возможно, что полученное с помощью обобщенного измерения, или POVM , имеет более низкую энтропию фон Неймана, чем . ^{[9] : 514}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\rho '}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \rho }$

Системы и подсистемы [ править ]

Еще одна мотивация для рассмотрения матриц плотности исходит из рассмотрения систем и их подсистем. Предположим, у нас есть две квантовые системы, описываемые гильбертовыми пространствами и . Тогда составная система является тензорным произведением двух гильбертовых пространств. Предположим теперь, что составная система находится в чистом состоянии . Если случайно имеет особую форму , то можно с полным основанием сказать, что состояние первой подсистемы равно . В этом случае мы говорим, что две системы не переплетены. В общем, однако, не разлагается как единое тензорное произведение векторов в и . Если${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi =\psi _{1}\otimes \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \psi }$не могут быть разложены как единое тензорное произведение состояний в компонентных системах, мы говорим, что эти две системы запутаны. В этом случае нет разумного способа связать чистое состояние с состоянием . ^[1]${\displaystyle \psi _{1}\in {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$

Если, например, у нас есть волновая функция, описывающая состояние двух частиц, нет естественного способа построить волновую функцию (т. Е. Чистое состояние), которая описывает состояния первой частицы, - если только она не является продуктом функция и функция .${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$${\displaystyle \psi _{2}(x_{2})}$

Результатом предыдущего обсуждения является то, что даже если вся система находится в чистом состоянии, различные подсистемы, составляющие ее, обычно будут в смешанном состоянии. Таким образом, использование матриц плотности неизбежно.

С другой стороны, независимо от того, находится ли составная система в чистом или смешанном состоянии, мы можем прекрасно построить матрицу плотности, описывающую состояние . Обозначим матрицу плотности составной системы двух систем через . Тогда состояние, скажем, описывается оператором приведенной плотности , заданным путем взятия «частичного следа» сверх . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$

Если состояние является матрицей плотности специального вида, где и - матрицы плотности на и , то частичный след по отношению к равен . Однако типичный вариант не имеет такой формы.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho }$

Уравнение фон Неймана для эволюции во времени [ править ]

Так же, как уравнение Шредингера описывает эволюцию чистых состояний во времени, уравнение фон Неймана (также известное как уравнение Лиувилля – фон Неймана ) описывает эволюцию оператора плотности во времени (на самом деле, эти два уравнения эквивалентны в том смысле, что любой может быть получен из другого.) Уравнение фон Неймана диктует, что ^{[16] [17]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=[H,\rho ]~,}$

где скобки обозначают коммутатор .

Обратите внимание, что это уравнение справедливо только в том случае, если оператор плотности взят из картины Шредингера , хотя на первый взгляд кажется, что это уравнение имитирует уравнение движения Гейзенберга из картины Гейзенберга с решающей разницей знаков:

${\displaystyle i\hbar {\frac {dA^{(H)}}{dt}}=-\left[H,A^{(H)}\right]~,}$

где - некоторый оператор изображения Гейзенберга ; но на этом изображении матрица плотности не зависит от времени , а относительный знак гарантирует, что производная по времени от ожидаемого значения будет такой же, как на изображении Шредингера . ^[1]${\displaystyle A^{(H)}(t)}$${\displaystyle \langle A\rangle }$

Если гамильтониан не зависит от времени, уравнение фон Неймана можно легко решить и получить

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

Для более общего гамильтониана, если - пропагатор волновой функции на некотором интервале, то временная эволюция матрицы плотности на том же интервале определяется выражением${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

«Квантовый Лиувилль», уравнение Мойала [ править ]

Оператор матрицы плотности также может быть реализован в фазовом пространстве . При отображении Вигнера матрица плотности преобразуется в эквивалентную функцию Вигнера :

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

Уравнение для временной эволюции функции Вигнера тогда является преобразованием Вигнера вышеуказанного уравнения фон Неймана,

${\displaystyle {\frac {\partial W(q,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(q,p,t),H(q,p)\}\},}$

где - гамильтониан, - скобка Мойала , преобразование квантового коммутатора .${\displaystyle H(q,p)}$${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

Уравнение эволюции для функции Вигнера затем аналогично его классического предела уравнения Лиувилля в классической физике . В пределе исчезающей постоянная Планка , сводится к классической функции плотности вероятности Лиувилля в фазовом пространстве .${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle W(q,p,t)}$

Классическое уравнение Лиувилля может быть решено с использованием метода характеристик для уравнений в частных производных, причем характеристические уравнения являются уравнениями Гамильтона . Уравнение Мойала в квантовой механике аналогично допускает формальные решения в терминах квантовых характеристик , основанных на ∗ - произведении фазового пространства, хотя на практике поиск решения осуществляется разными методами.

Примеры приложений [ править ]

Матрицы плотности являются основным инструментом квантовой механики и появляются, по крайней мере, изредка, почти в любом типе квантово-механических расчетов. Вот некоторые конкретные примеры, когда матрицы плотности особенно полезны и распространены:

• Теория квантовой декогеренции обычно включает неизолированные квантовые системы, развивающие сцепление с другими системами, включая измерительные устройства. Матрицы плотности значительно упрощают описание процесса и расчет его последствий. Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния, демонстрирующего суперпозиции, в смешанное состояние, некогерентное сочетание классических альтернатив. Этот переход принципиально обратим, поскольку объединенное состояние системы и окружающей среды все еще остается чистым, но для всех практических целей необратимым, поскольку окружающая среда является очень большой и сложной квантовой системой, и обратить их взаимодействие невозможно. Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического пределаквантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы все еще присутствуют в смешанном состоянии, а коллапс волновой функции выбирает только одну из них. ^[18]
• Точно так же в квантовых вычислениях , квантовой теории информации и других областях, где подготовка состояний зашумлена и может происходить декогеренция, часто используются матрицы плотности. Квантовая томография - это процесс, с помощью которого по заданному набору данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется матрица плотности, соответствующая этим результатам измерений. ^{[19] [20]}
• При анализе системы с большим количеством электронов, такой как атом или молекула , несовершенное, но полезное первое приближение состоит в том, чтобы рассматривать электроны как некоррелированные или каждый из которых имеет независимую одночастичную волновую функцию. Это обычная отправная точка при построении определителя Слейтера в методе Хартри – Фока . Если есть электроны, заполняющие одночастичные волновые функции , то совокупность электронов вместе может быть охарактеризована матрицей плотности .${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

C * -алгебраическая формулировка состояний [ править ]

Сейчас общепринято, что описание квантовой механики, в котором все самосопряженные операторы представляют наблюдаемые, несостоятельно. ^{[21] [22]} По этой причине, наблюдаемые идентифицируется с элементами абстрактного C * -алгебра (то есть один без представления отмеченного как алгебры операторов) и состояния являются положительными линейными функционалами на А . Однако, используя конструкцию GNS , мы можем восстановить гильбертовы пространства, которые реализуют A как подалгебру операторов.

Геометрический чистое состояние на C * -алгебра A является состоянием , которое является крайней точкой множества всех состояний на A . По свойствам конструкции ГНС эти состояния соответствуют неприводимым представлениям о А .

Состояния C * -алгебры компактных операторов K ( H ) в точности соответствуют операторам плотности, и поэтому чистые состояния K ( H ) являются в точности чистыми состояниями в смысле квантовой механики.

Можно увидеть, что C * -алгебраическая формулировка включает как классические, так и квантовые системы. Когда система является классической, алгебра наблюдаемых становится абелевой C * -алгеброй. В этом случае состояния становятся вероятностными мерами, как отмечалось во введении.

См. Также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]