Вероятность итогов эксперимента никогда не отрицательная, хотя распределение квазивероятности позволяет отрицательную вероятность , или квазивероятность для некоторых событий. Эти распределения могут применяться к ненаблюдаемым событиям или условным вероятностям.
Физико-математические науки [ править ]
В 1942 году Поль Дирак написал статью «Физическая интерпретация квантовой механики» [1], в которой он ввел понятие отрицательных энергий и отрицательных вероятностей :
- «Отрицательные энергии и вероятности не следует рассматривать как ерунду. Это хорошо определенные понятия математически, как отрицание денег».
Позже идея отрицательных вероятностей привлекла повышенное внимание в физике и особенно в квантовой механике . Ричард Фейнман утверждал [2], что никто не возражает против использования отрицательных чисел в расчетах: хотя «минус три яблока» не является правильным понятием в реальной жизни, отрицательные деньги действительны. Точно так же он утверждал, что отрицательные вероятности, а также вероятности больше единицы, возможно, могут быть полезны при вычислении вероятностей .
Позже были предложены отрицательные вероятности, чтобы разрешить несколько проблем и парадоксов . [3] Половина монет представляют собой простые примеры отрицательных вероятностей. Эти странные монеты были представлены в 2005 году Габором Дж. Секели . [4] Половинки монет имеют бесконечно много сторон, пронумерованных 0,1,2, ... и положительные четные числа взяты с отрицательной вероятностью. Две половинки монеты составляют полную монету в том смысле, что если мы подбрасываем две половинки монеты, то сумма результатов равна 0 или 1 с вероятностью 1/2, как если бы мы просто подбросили честную монету.
В свертках дробей неотрицательных определенных функций [5] и алгебраическая теория вероятностей [6] Имре З. Ruzsa и Габор Дж Székely доказали , что если случайная величина X имеет подписанный или квази распределение , где некоторые из вероятностей являются отрицательными , то можно всегда найти две случайные величины, Y и Z, с обычными (без знака / не квази) распределениями, такими, что X, Y независимы и X + Y = Z в распределении. Таким образом, X всегда можно интерпретировать как «разность» двух обычных случайных величин, Z и Y. Если Y интерпретируется как ошибка измерения X, а наблюдаемое значение - Z, тогда отрицательные области распределения X маскируются / экранируются. по ошибке Y.
Другой пример, известный как распределение Вигнера в фазовом пространстве , представленный Юджином Вигнером в 1932 году для изучения квантовых поправок, часто приводит к отрицательным вероятностям. [7] По этой причине позже оно было более известно как распределение квазивероятностей Вигнера . В 1945 году М.С. Бартлетт выяснил математическую и логическую непротиворечивость такой отрицательной ценности. [8] Функция распределения Вигнера обычно используется в настоящее время в физике и является краеугольным камнем квантования в фазовом пространстве.. Его отрицательные особенности являются достоинством формализма и часто указывают на квантовую интерференцию. Отрицательные области распределения защищены от прямого наблюдения принципом квантовой неопределенности : как правило, моменты такого неположительно-полуопределенного распределения квазивероятностей сильно ограничены и препятствуют прямому измерению отрицательных областей распределения. Тем не менее, эти регионы вносят отрицательный и решающий вклад в ожидаемые значения наблюдаемых величин, вычисляемых с помощью таких распределений.
Пример: эксперимент с двойной щелью [ править ]
Рассмотрим эксперимент с двумя щелями с фотонами. Две волны, выходящие из каждой щели, можно записать как:
![{\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ sqrt {\ frac {dN / dt} {2 \ pi / d}}} {\ frac {1} {\ sqrt {d ^ {2} + (x + a / 2) ^ {2}}}} \ exp \ left [i (h / \ lambda) {\ sqrt {d ^ {2} + (x + a / 2) ^ {2}}} \ right], }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24735a90ea4c0d913170fa0cfbe7887e8f058f36)
и
![{\ displaystyle f_ {2} (x) = {\ sqrt {\ frac {dN / dt} {2 \ pi / d}}} {\ frac {1} {\ sqrt {d ^ {2} + (xa / 2) ^ {2}}}} \ exp \ left [i (h / \ lambda) {\ sqrt {d ^ {2} + (xa / 2) ^ {2}}} \ right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e180a2cc799a87a2df1c737e28e77ea3d5b11f7)
где d - расстояние до экрана обнаружения, a - расстояние между двумя прорезями, x - расстояние до центра экрана, λ - длина волны и dN / dt - количество фотонов, излучаемых источником в единицу времени. Амплитуда измерения фотона на расстоянии x от центра экрана является суммой этих двух амплитуд, выходящих из каждого отверстия, и поэтому вероятность того, что фотон будет обнаружен в позиции x, будет выражена квадратом этой суммы:
,
![{\ displaystyle I (x) = \ left \ vert f_ {1} (x) + f_ {2} (x) \ right \ vert ^ {2} = \ left \ vert f_ {1} (x) \ right \ vert ^ {2} + \ left \ vert f_ {2} (x) \ right \ vert ^ {2} + \ left [f_ {1} ^ {*} (x) f_ {2} (x) + f_ { 1} (x) f_ {2} ^ {*} (x) \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fabb24ef29744fbc33fbb907abe3d0966e70582)
Это должно показаться вам хорошо известным правилом вероятности:
что бы ни означал последний термин. В самом деле, если закрыть одно из отверстий, заставляя фотон пройти через другую щель, две соответствующие интенсивности равны
и .
Но теперь, если интерпретировать каждый из этих терминов таким образом, общая вероятность принимает отрицательные значения примерно каждый раз !
![{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {12} (x) & = \ left [f_ {1} ^ {*} (x) f_ {2} (x) + f_ {1} (x) f_ {2) } ^ {*} (x) \ right] \\ & = {\ frac {1} {2}} {\ frac {dN} {dt}} {\ frac {d / \ pi} {{\ sqrt {d ^ {2} + (xa / 2) ^ {2}}} {\ sqrt {d ^ {2} + (x + a / 2) ^ {2}}}}} \ sin \ left [(h / \ лямбда) ({\ sqrt {d ^ {2} + (x + a / 2) ^ {2}}} - {\ sqrt {d ^ {2} + (xa / 2) ^ {2}}}) \ справа] \\\ конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397795fe5535f99afb04718f272a57e7a1e86ab6)
Однако эти отрицательные вероятности никогда не наблюдаются, поскольку нельзя выделить случаи, когда фотон «проходит через обе щели», но можно намекнуть на существование античастиц.
Финансы [ править ]
Отрицательные вероятности совсем недавно стали применяться в финансовой математике . В количественном финансировании большинство вероятностей - это не реальные вероятности, а псевдовероятности, часто так называемые вероятности, нейтральные к риску . [ требуется пояснение ] Это не реальные вероятности, а теоретические «вероятности» при ряде предположений, которые помогают упростить вычисления, позволяя таким псевдовероятностям быть отрицательными в некоторых случаях, как впервые указал Эспен Гаардер Хауг в 2004 году [9].
Строгое математическое определение отрицательных вероятностей и их свойств было недавно получено Марком Бургином и Гюнтером Мейснером (2011). Авторы также показывают, как отрицательные вероятности могут быть применены к ценообразованию финансовых опционов . [10]
Инженерное дело [ править ]
Концепция отрицательных вероятностей также была предложена для моделей надежного расположения объектов, где объекты подвержены отрицательно коррелированным рискам сбоев, когда расположение объектов, распределение клиентов и планы резервного обслуживания определяются одновременно. [11] [12] Ли и др. [13] предложили структуру виртуальной станции, которая преобразует сеть объектов с положительно коррелированными сбоями в эквивалентную с добавленными виртуальными вспомогательными станциями, и эти виртуальные станции подвержены независимым сбоям. Такой подход уменьшает проблему с проблемы с коррелированными сбоями до проблемы без них. Xie et al. [14] позже показал, как отрицательно коррелированные сбои также могут быть устранены с помощью той же структуры моделирования, за исключением того, что виртуальная вспомогательная станция теперь может быть нарушена с «склонностью к отказу», которая
... наследует все математические характеристики и свойства вероятности отказа, за исключением того, что мы позволяем ей быть больше 1 ...
Это открытие открывает возможности для использования компактных математических программ со смешанными целыми числами для оптимального проектирования надежного размещения объектов обслуживания в зависимости от места эксплуатации и корреляции разрушения объекта в положительном / отрицательном / смешанном состоянии. [15]
Предлагаемая концепция «склонности» в Xie et al. [14] оказывается тем, что Фейнман и другие называли «квазивероятностью». Обратите внимание, что когда квазивероятность больше 1, то 1 минус это значение дает отрицательную вероятность. В контексте надежного местоположения объекта действительно физически проверяемым наблюдением являются состояния нарушения работы объекта (вероятность которого гарантированно находится в пределах обычного диапазона [0,1]), но нет прямой информации о состояниях нарушения работы станции или их соответствующих вероятностях. . Следовательно, «вероятности» разрушения станций, интерпретируемые как «вероятности воображаемых промежуточных состояний», могут превышать единицу и, таким образом, называются квазивероятностями.
См. Также [ править ]
- Существование состояний отрицательной нормы (или полей с неправильным знаком кинетического члена, таких как призраки Паули-Вилларса ) позволяет вероятностям быть отрицательными. См. Призраки (физика) .
- Подписанная мера
- Распределение квазивероятностей Вигнера
Ссылки [ править ]
- ^ Дирак, PAM (1942). «Бейкерская лекция. Физическая интерпретация квантовой механики» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 180 (980): 1–39. Bibcode : 1942RSPSA.180 .... 1D . DOI : 10,1098 / rspa.1942.0023 . JSTOR 97777 .
- ^ Фейнман, Ричард П. (1987). «Отрицательная вероятность» (PDF) . В Торфе, Ф. Дэвид; Хили, Бэзил (ред.). Квантовые последствия: очерки в честь Дэвида Бома . Routledge & Kegan Paul Ltd., стр. 235–248. ISBN 978-0415069601.
- ↑ Хренников, Андрей Юрьевич (7 марта 2013 г.). Неархимедов анализ: квантовые парадоксы, динамические системы и биологические модели . Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-1483-4.
- ^ Székely, ГДж (июль 2005). «Половина монеты: отрицательные вероятности» (PDF) . Журнал Wilmott : 66–68. Архивировано из оригинального (PDF) 08.11.2013.
- ^ Ружа, Имре З .; SzéKely, Gábor J. (1983). «Факторы свертки неотрицательных функций». Monatshefte für Mathematik . 95 (3): 235–239. DOI : 10.1007 / BF01352002 . S2CID 122858460 .
- ^ Ружа, ИЗ; Секели, GJ (1988). Алгебраическая теория вероятностей . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-91803-2.
- ^ Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке на термодинамическое равновесие». Физический обзор . 40 (5): 749–759. Bibcode : 1932PhRv ... 40..749W . DOI : 10.1103 / PhysRev.40.749 . hdl : 10338.dmlcz / 141466 .
- ^ Бартлетт, MS (1945). «Отрицательная вероятность». Математические труды Кембриджского философского общества . 41 (1): 71–73. Bibcode : 1945PCPS ... 41 ... 71В . DOI : 10.1017 / S0305004100022398 .
- Перейти ↑ Haug, EG (2004). "Почему так отрицательные вероятности?" (PDF) . Журнал Wilmott : 34–38.
- ^ Meissner, Gunter A .; Бургин, доктор Марк (2011). «Отрицательные вероятности в финансовом моделировании». Электронный журнал ССРН . Elsevier BV. DOI : 10.2139 / ssrn.1773077 . ISSN 1556-5068 .
- ^ Снайдер, LV; Даскин, MS (2005). «Модели надежности для местоположения объекта: пример ожидаемой стоимости отказа». Транспортная наука . 39 (3): 400–416. CiteSeerX 10.1.1.1.7162 . DOI : 10,1287 / trsc.1040.0107 .
- ^ Cui, T .; Ouyang, Y .; Шен, З.Дж. М. (2010). «Надежное проектирование месторасположения объекта с учетом риска сбоев». Исследование операций . 58 (4): 998–1011. CiteSeerX 10.1.1.367.3741 . DOI : 10.1287 / opre.1090.0801 .
- ^ Ли, X .; Ouyang, Y .; Пэн, Ф. (2013). «Модель вспомогательной станции для надежного проектирования местоположения инфраструктуры в условиях взаимозависимых сбоев». Транспорт исследований Часть E . 60 : 80–93. DOI : 10.1016 / j.tre.2013.06.005 .
- ^ a b Xie, S .; Li, X .; Оуян, Ю. (2015). «Декомпозиция общих корреляций сбоев в работе оборудования посредством увеличения виртуальных вспомогательных станций». Транспорт Исследования Часть B . 80 : 64–81. DOI : 10.1016 / j.trb.2015.06.006 .
- ^ Се, Сиян; Ан, Кун; Оуян, Яньфэн (2019). «Планирование размещения объекта при обычно коррелированных сбоях в работе объекта: использование вспомогательных станций и квазивероятностей» . Транспортные исследования. Часть B: Методологические . Elsevier BV. 122 : 115–139. DOI : 10.1016 / j.trb.2019.02.001 . ISSN 0191-2615 .
