Вероятность - это раздел математики, касающийся численных описаний вероятности того, что событие произойдет, или того, насколько вероятно, что предположение истинно. Вероятность события - это число от 0 до 1, где, грубо говоря, 0 указывает на невозможность события, а 1 указывает на достоверность. [примечание 1] [1] [2]Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что оно произойдет. Простой пример - подбрасывание справедливой (беспристрастной) монеты. Поскольку монета справедливая, оба исхода («орел» и «решка») равновероятны; вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки; а поскольку другие исходы невозможны, вероятность выпадения орла или решки равна 1/2 (что также можно записать как 0,5 или 50%).
Эти концепции получили аксиоматическую математическую формализацию в теории вероятностей , которая широко используется в таких областях исследований , как статистика , математика , наука , финансы , азартные игры , искусственный интеллект , машинное обучение , информатика , теория игр и философия , для Например, сделайте выводы об ожидаемой частоте событий. Теория вероятностей также используется для описания основной механики и закономерностей сложных систем . [3]
Терминология теории вероятностей
Эксперимент: операция, которая может дать определенные результаты, называется экспериментом.
Пример: когда мы подбрасываем монету, мы знаем, что появляется либо голова, либо хвост. Итак, можно сказать, что операция подбрасывания монеты имеет два четко определенных результата, а именно: (а) выпадение орла; и (b) выпадение хвостов.
Случайный эксперимент: когда мы бросаем кубик, мы хорошо осознаем тот факт, что на верхней грани может появиться любая из цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6, но мы не можем сказать, какое именно число появится.
Такой эксперимент, в котором известны все возможные исходы, а точный результат невозможно предсказать заранее, называется случайным экспериментом.
Пространство выборки: Все возможные результаты эксперимента в целом образуют Пространство выборки.
Пример: когда мы бросаем кубик, мы можем получить любой результат от 1 до 6. Все возможные числа, которые могут появиться на верхней грани, образуют Пространство образца (обозначено S). Следовательно, пробел при броске костей равен S = {1,2,3,4,5,6}.
Результат: Любой возможный результат за пределами области выборки S для случайного эксперимента называется результатом.
Пример: когда мы бросаем кубик, мы можем получить 3 или когда мы подбрасываем монету, мы можем получить орел.
Событие: Любое подмножество Образца Пространства S называется Событием (обозначается E ). Когда имеет место результат, принадлежащий подмножеству E , говорят, что произошло Событие. Принимая во внимание, что когда имеет место результат, который не принадлежит подмножеству E , Событие не произошло.
Пример: рассмотрим эксперимент с бросанием кости. Здесь Sample Space S = {1,2,3,4,5,6}. Пусть E обозначает событие, когда «появляется число меньше 4». Таким образом, Событие E = {1,2,3}. Если появляется цифра 1, мы говорим, что произошло событие E. Точно так же, если исходы 2 или 3, мы можем сказать, что событие E произошло, поскольку эти исходы принадлежат подмножеству E.
Испытание: под испытанием мы подразумеваем проведение случайного эксперимента.
Пример: (i) подбрасывание честной монеты, (ii) бросание несмещенной кости [4]
Интерпретации
Когда имеешь дело с экспериментами, которые являются случайными и четко определены в чисто теоретической обстановке (например, подбрасывание честной монеты), вероятности можно численно описать числом желаемых результатов, разделенным на общее количество всех результатов. Например, подбрасывание справедливой монеты дважды даст результаты «голова-голова», «голова-хвост», «хвост-голова» и «хвост-хвост». Вероятность получения результата «голова-голова» составляет 1 из 4 исходов, или, в числовом выражении, 1/4, 0,25 или 25%. Однако, когда дело доходит до практического применения, есть две основные конкурирующие категории вероятностных интерпретаций, приверженцы которых придерживаются разных взглядов на фундаментальную природу вероятности:
- Объективисты присваивают числа, чтобы описать какое-то объективное или физическое состояние вещей. Самая популярная версия объективной вероятности - это частотная вероятность , которая утверждает, что вероятность случайного события обозначает относительную частоту появления результата эксперимента, когда эксперимент повторяется бесконечно. Эта интерпретация рассматривает вероятность как относительную частоту «в долгосрочной перспективе» результатов. [5] Модификацией этого является вероятность склонности , которая интерпретирует вероятность как тенденцию некоторого эксперимента дать определенный результат, даже если он проводится только один раз.
- Субъективисты присваивают числа для субъективной вероятности, то есть степени веры. [6] Степень уверенности была интерпретирована как «цена, по которой вы купили бы или продали ставку, которая платит 1 единицу полезности, если E, 0, если не E». [7] Самой популярной версией субъективной вероятности является байесовская вероятность , которая включает экспертные знания, а также экспериментальные данные для получения вероятностей. Экспертные знания представлены некоторым (субъективным) априорным распределением вероятностей . Эти данные включены в функцию правдоподобия . Произведение априорной вероятности и вероятности при нормализации дает апостериорное распределение вероятностей, которое включает в себя всю информацию, известную на сегодняшний день. [8] Согласно теореме согласия Ауманна , байесовские агенты, чьи предварительные убеждения схожи, в конечном итоге будут иметь аналогичные последующие убеждения. Однако достаточно разные априорные значения могут привести к разным выводам, независимо от того, какой информацией обладают агенты. [9]
Этимология
В слове вероятностного производные от латинского probabilitas , который также может означать « неподкупность », меру органа о наличии свидетеля в судебном деле , в Европе , и часто коррелирует с свидетеля благородством . В некотором смысле это сильно отличается от современного значения вероятности , которое, напротив, является мерой веса эмпирических данных и получается из индуктивных рассуждений и статистических выводов . [10]
История
Научное изучение вероятности - это современное развитие математики . Азартные игры показывают, что интерес к количественной оценке идей вероятности существовал на протяжении тысячелетий, но точные математические описания возникли намного позже. Есть причины медленного развития математики вероятностей. В то время как азартные игры послужили толчком для математического исследования вероятностей, фундаментальные вопросы [примечание 2] по-прежнему скрыты предрассудками игроков. [11]
Согласно Ричарду Джеффри , «До середины семнадцатого века термин« вероятный »(лат. Probabilis ) означал« одобряемый » и в этом смысле однозначно применялся к мнению и к действию. Вероятное действие или мнение было таким, как разумные люди возьмутся за это или будут придерживаться в данных обстоятельствах ". [12] Однако, особенно в юридическом контексте, «вероятный» может также применяться к предложениям, для которых имелись веские доказательства. [13]
Ранняя форма статистического вывода была разработана математиками Ближнего Востока, изучающими криптографию между 8 и 13 веками. Аль-Халил (717–786) написал Книгу криптографических сообщений, в которой впервые используются перестановки и комбинации для перечисления всех возможных арабских слов с гласными и без них. Аль-Кинди (801–873) впервые применил статистический вывод в своей работе по криптоанализу и частотному анализу . Важный вклад Ибн Адлана (1187–1268) касался размера выборки для использования частотного анализа. [14]
Итальянский эрудит шестнадцатого века Джероламо Кардано продемонстрировал эффективность определения шансов как отношения благоприятных исходов к неблагоприятным (что подразумевает, что вероятность события определяется отношением благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов [15] ). . Помимо элементарной работы Кардано, доктрина вероятностей восходит к переписке Пьера де Ферма и Блеза Паскаля (1654 г.). Христиан Гюйгенс (1657) дал самую раннюю известную научную трактовку этого предмета. [16] В « Ars Conjectandi» Якоба Бернулли (посмертно, 1713 г.) и в « Доктрине шансов» Абрахама де Муавра (1718 г.) этот предмет рассматривается как раздел математики. [17] Историю раннего развития самой концепции математической вероятности см. В книге Яна Хакинга « Возникновение вероятности» [10] и в книге Джеймса Франклина « Наука о предположениях» [18] .
Теория ошибок может быть прослежена назад к Roger Cotes «s Opera альманаха (посмертное, 1722), но мемуаров , подготовленный Томасом Симпсоном в 1755 году (напечатанный 1756) первым применил теорию к обсуждению ошибок наблюдений. [19] В перепечатке (1757 г.) этого мемуара излагаются аксиомы, согласно которым положительные и отрицательные ошибки равновероятны и что определенные приписываемые пределы определяют диапазон всех ошибок. Симпсон также обсуждает непрерывные ошибки и описывает кривую вероятности.
Первые два предложенных закона ошибки возникли у Пьера-Симона Лапласа . Первый закон был опубликован в 1774 году и гласил, что частота ошибки может быть выражена как экспоненциальная функция от числовой величины ошибки, не обращая внимания на знак. Второй закон ошибки был предложен в 1778 году Лапласом и заявил, что частота ошибки является экспоненциальной функцией квадрата ошибки. [20] Второй закон ошибки называется нормальным распределением или законом Гаусса. «Исторически трудно приписать этот закон Гауссу, который, несмотря на свою хорошо известную скороспелость, вероятно, не сделал этого открытия до того, как ему исполнилось два года». [20]
Даниэль Бернулли (1778) ввел принцип максимального произведения вероятностей системы одновременных ошибок.
Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов , и ввел его в своих Nouvelles méthodes налить ла решимостью де orbites де comètes ( новые методы для определения орбит комет ). [21] Не зная о вкладе Лежандра, американский писатель ирландского происхождения Роберт Адрейн , редактор «Аналитика» (1808), первым вывел закон возможности ошибки:
где - константа, зависящая от точности наблюдения, а является масштабным коэффициентом, гарантирующим, что площадь под кривой равна 1. Он дал два доказательства, второе, по существу, такое же, как у Джона Гершеля (1850). [ необходима цитата ] Гаусс дал первое доказательство, которое, кажется, было известно в Европе (третье после Адрейна) в 1809 году. Дальнейшие доказательства были даны Лапласом (1810, 1812), Гауссом (1823), Джеймсом Айвори (1825, 1826) , Хаген (1837), Фридрих Бессель (1838), У. Ф. Донкин (1844, 1856) и Морган Крофтон (1870). Другими участниками были Эллис (1844 г.), Де Морган (1864 г.), Глейшер (1872 г.) и Джованни Скиапарелли (1875 г.). Петерс «s (1856) формула [ разъяснение необходимости ] для г , то возможная погрешность одного наблюдения, хорошо известно.
В девятнадцатом веке авторами общей теории были Лаплас , Сильвестр Лакруа (1816), Литтроу (1833), Адольф Кетле (1853), Ричард Дедекинд (1860), Гельмерт (1872), Герман Лоран (1873), Лиагре, Дидион и Карл Пирсон . Огастес Де Морган и Джордж Буль улучшили изложение теории.
В 1906 г. Андрей Марков ввел [22] понятие цепей Маркова , сыгравшее важную роль в теории случайных процессов и ее приложениях. Современная теория вероятностей, основанная на теории меры, была разработана Андреем Колмогоровым в 1931 году [23].
С геометрической точки зрения, влияние оказали авторы The Educational Times (Миллер, Крофтон, Макколл, Вольстенхолм, Уотсон и Артемас Мартин ). [24] См. Интегральную геометрию для получения дополнительной информации.
Теория
Как и другие теории , теория вероятностей представляет собой представление своих концепций в формальных терминах, то есть в терминах, которые можно рассматривать отдельно от их значения. Эти формальные термины регулируются правилами математики и логики, и любые результаты интерпретируются или переводятся обратно в проблемную область.
Было по крайней мере две успешные попытки формализовать вероятность, а именно формулировку Колмогорова и формулировку Кокса . В формулировке Колмогорова (см. Также вероятностное пространство ) множества интерпретируются как события, а вероятность - как мера на классе множеств. В теореме Кокса вероятность рассматривается как примитив (т. Е. Не анализируется далее), и акцент делается на построении последовательного присвоения значений вероятности предложениям. В обоих случаях законы вероятности одинаковы, за исключением технических деталей.
Существуют и другие методы количественной оценки неопределенности, такие как теория Демпстера – Шафера или теория возможностей , но они существенно отличаются и не совместимы с обычно понимаемыми законами вероятности.
Приложения
Теория вероятностей применяется в повседневной жизни в опасности оценки и моделирования . Страховая отрасль и рынки используют актуарную науку для определения цен и принятия торговых решений. Правительства применяют вероятностные методы в экологическом регулировании , анализе прав и финансовом регулировании .
Примером использования теории вероятностей в торговле акциями является влияние предполагаемой вероятности любого широко распространенного ближневосточного конфликта на цены на нефть, что оказывает волновое воздействие на экономику в целом. Оценка трейдером сырьевых товаров о том, что война более вероятна, может привести к повышению или падению цен на этот товар и сигнализирует другим трейдерам об этом мнении. Соответственно, вероятность не оценивается ни независимо, ни обязательно рационально. Теория поведенческих финансов возникла для описания влияния такого группового мышления на ценообразование, политику, мир и конфликты. [25]
Помимо финансовой оценки, вероятность может использоваться для анализа тенденций в биологии (например, распространение болезней), а также в экологии (например, биологические квадраты Пеннета). Как и в случае с финансами, оценка риска может использоваться в качестве статистического инструмента для расчета вероятности возникновения нежелательных событий и может помочь в реализации протоколов, позволяющих избежать таких обстоятельств. Вероятность используется для разработки азартных игр, чтобы казино могли получать гарантированную прибыль, но при этом выплачивать игрокам достаточно частые выплаты, чтобы стимулировать продолжение игры. [26]
Еще одно важное применение теории вероятностей в повседневной жизни - надежность . Многие потребительские товары, такие как автомобили и бытовая электроника, используют теорию надежности при разработке продукта, чтобы снизить вероятность отказа. Вероятность отказа может повлиять на решение производителя относительно гарантии продукта . [27]
Модель кэшированного языка и другие статистические языковые модели , которые используются при обработке естественного языка , также являются примерами приложений теории вероятностей.
Математическая обработка
Рассмотрим эксперимент, который может дать ряд результатов. Совокупность всех возможных результатов называется пробным пространством эксперимента, иногда обозначаемым как. [28] Набор мощности выборочного пространства формируется путем рассмотрения всех различных наборов возможных результатов. Например, прокатка матрицы может дать шесть возможных результатов. Один набор возможных результатов дает нечетное число на кубике. Таким образом, подмножество {1,3,5} является элементом набора мощности выборки бросков игральных костей. Эти коллекции называются «событиями». В этом случае {1,3,5} - это событие, когда кубик выпадает на нечетное число. Если результаты, которые действительно происходят, попадают в данное событие, говорят, что событие произошло.
Вероятность - это способ присвоения каждому событию значения от нуля до единицы с требованием, чтобы событие состояло из всех возможных результатов (в нашем примере событие {1,2,3,4,5,6}) было присвоено значение один. Чтобы считаться вероятным, присвоение значений должно удовлетворять требованию, согласно которому для любого набора взаимоисключающих событий (событий без общих результатов, таких как события {1,6}, {3} и {2,4}) , вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий, определяется суммой вероятностей всех отдельных событий. [29]
Вероятность события A записывается как, [28] [30] , или же . [31] Это математическое определение вероятности может быть распространено на бесконечные выборочные пространства и даже на бесчисленные выборочные пространства, используя концепцию меры.
Напротив или дополнение какое - либо событие А это событие [не ] (то есть событие А не происходит), часто обозначаются как, [28] , или же ; его вероятность определяется как P (не A ) = 1 - P ( A ) . [32] Например, шанс не выбросить шестерку на шестигранном кубике равен 1 - (шанс выпадения шестерки). Для более полного лечения см. Дополнительное событие .
Если два события и B происходят на одном выполнении эксперимента, это называется пересечением или совместной вероятностью из A и B , обозначается как. [28]
Независимые мероприятия
Если два события, и B являются независимыми , то совместная вероятность [30]
Например, если подброшены две монеты, то вероятность того, что обе будут орлом, равна . [33]
Взаимоисключающие события
Если событие A или событие B могут произойти, но не оба одновременно, они называются взаимоисключающими событиями.
Если два события взаимно исключают друг друга , то вероятность и происходящий обозначается как а также
Если два события являются взаимоисключающими , то вероятность любого из них обозначается как а также
Например, шанс выпадения 1 или 2 на шестигранном кубике равен
Не взаимоисключающие события
Если события не исключают друг друга, тогда
Например, при случайном вытягивании одной карты из обычной колоды карт шанс получить сердечко или лицевую карту (J, Q, K) (или одну и то и другое) равен , поскольку среди 52 карт в колоде 13 - это червы, 12 - лицевые карты, а 3 - обе: здесь возможности, включенные в «3, которые являются обеими», включены в каждую из «13 червей» и «12». лицевые карты », но засчитывать следует только один раз.
Условная возможность
Условные вероятности вероятность некоторого события А , учитывая наличие какогото другого события B . Условная вероятность записывается, [28] и читается как «вероятность A при заданном B ». Он определяется [34]
Если тогда формально не определяется этим выражением. В таком случае а также независимы, поскольку . Однако можно определить условную вероятность некоторых событий с нулевой вероятностью, используя σ-алгебру таких событий (например, возникающих из непрерывной случайной величины ). [ необходима цитата ]
Например, в сумке из 2 красных и 2 синих мячей (всего 4 мяча) вероятность взять красный мяч равна ; однако при взятии второго мяча вероятность того, что это будет красный или синий мяч, зависит от ранее взятого мяча. Например, если был взят красный шар, то вероятность снова выбрать красный шар будет равна, так как остался бы только 1 красный и 2 синих шара. И если ранее был взят синий шар, вероятность взять красный шар будет.
Обратная вероятность
В теории вероятностей и приложениях правило Байеса связывает шансы события к событию , до (до) и после (после) кондиционирования другого события. Шансы на к событию это просто отношение вероятностей двух событий. Когда сколь угодно много событийпредставляют интерес, а не только два, правило можно перефразировать как апостериорное пропорционально вероятности предыдущих времен , где символ пропорциональности означает, что левая часть пропорциональна (т. е. равна постоянному времени) правой части как варьируется, для фиксированных или заданных (Ли, 2012; Берч МакГрейн, 2012). В таком виде он восходит к Лапласу (1774 г.) и Курно (1843 г.); см. Fienberg (2005). См. Обратную вероятность и правило Байеса .
Резюме вероятностей
Мероприятие | Вероятность |
---|---|
А | |
не А | |
А или В | |
А и Б | |
Данный B |
Связь со случайностью и вероятностью в квантовой механике
В детерминированной вселенной, основанной на ньютоновских концепциях, не было бы никакой вероятности, если бы все условия были известны ( демон Лапласа ) (но есть ситуации, в которых чувствительность к начальным условиям превышает нашу способность их измерить, то есть знать их). В случае колеса рулетки , если сила руки и период этой силы известны, число, на котором шарик остановится, будет определенным (хотя с практической точки зрения это, вероятно, верно только для колесо рулетки, которое не было точно выровнено - как показало Newtonian Casino Томаса А. Басса ). Это также предполагает знание инерции и трения колеса, веса, гладкости и округлости шара, изменений скорости руки во время поворота и так далее. Таким образом, вероятностное описание может быть более полезным, чем ньютоновская механика, для анализа закономерностей результатов повторных бросков колеса рулетки. Физики сталкиваются с той же ситуацией в кинетической теории газов , где система, хотя и детерминированная в принципе , настолько сложна (количество молекул обычно порядка величины постоянной Авогадро. 6.02 × 10 23 ), что возможно только статистическое описание его свойств.
Для описания квантовых явлений требуется теория вероятностей . [35] Революционное открытие в начале двадцатого века физики был случайный характер всех физических процессов , которые происходят в субатомных масштабах и регулируются законами квантовой механики . Целевая волновая функция развивается детерминированно, но, согласно копенгагенской интерпретации , она имеет дело с вероятностями наблюдения, причем результат объясняется коллапсом волновой функции при проведении наблюдения. Однако потеря детерминизма ради инструментализма не получила всеобщего одобрения. Альберт Эйнштейн лихо заметил в письме к Максу Борну : «Я убежден , что Бог не играет в кости». [36] Как и Эйнштейн, Эрвин Шредингер , открывший волновую функцию, считал, что квантовая механика является статистическим приближением лежащей в основе детерминированной реальности . [37] В некоторых современных интерпретациях статистической механики измерения квантовая декогеренция используется для объяснения появления субъективно вероятностных экспериментальных результатов.
Смотрите также
- Шанс (значения)
- Вероятности членства в классе
- Непредвиденные обстоятельства
- Равновероятность
- Эвристика в суждениях и принятии решений
- Теория вероятности
- Случайность
- Статистика
- Оценщики
- Теория оценок
- Функция плотности вероятности
- Попарная независимость
- По закону
- Баланс вероятностей
Заметки
- ^ Строго говоря, вероятность 0 указывает, что событие почти никогда не происходит, тогда как вероятность 1 указывает, что событие почти наверняка имеет место. Это важное различие, когда пространство выборки бесконечно. Например, для непрерывного равномерного распределения на реальном интервале [5, 10] существует бесконечное количество возможных исходов, и вероятность того, что любой данный результат будет наблюдаться - например, ровно 7 - равна 0. Это означает, что когда сделаем наблюдение, почти наверняка не будет ровно 7. Однако это не означает, что ровно 7 невозможно . В конечном итоге будет наблюдаться какой-то конкретный результат (с вероятностью 0), и одна возможность для этого конкретного результата - ровно 7.
- ^ В контексте книги, из которой это цитируется, теория вероятности и лежащая в ее основе логика определяют явления таких вещей по сравнению с поспешными предсказаниями, которые полагаются на чистую удачу или мифологические аргументы, такие как боги удачи, помогающие победитель игры.
Рекомендации
- ^ «Расширенная теория статистики Кендалла, том 1: теория распределения», Алан Стюарт и Кейт Орд, 6-е изд. (2009), ISBN 978-0-534-24312-8 .
- ^ Уильям Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения , (том 1), 3-е издание, (1968), Wiley, ISBN 0-471-25708-7 .
- ^ Теория вероятностей Веб-сайт Britannica
- ^ Учебник математики для XI класса . Национальный совет образовательных исследований и обучения (NCERT). 2019. С. 384–388. ISBN 81-7450-486-9.
- ^ Взлом, Ян (1965). Логика статистического вывода . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-05165-1.[ требуется страница ]
- ^ Финетти, Бруно де (1970). «Логические основы и измерение субъективной вероятности». Acta Psychologica . 34 : 129–145. DOI : 10.1016 / 0001-6918 (70) 90012-0 .
- ^ Гайек, Алан (21 октября 2002 г.). Эдвард Н. Залта (ред.). «Интерпретации вероятности» . Стэнфордская энциклопедия философии (издание зимы 2012 г.) . Проверено 22 апреля 2013 года .
- ^ Хогг, Роберт V .; Крейг, Аллен; Маккин, Джозеф В. (2004). Введение в математическую статистику (6-е изд.). Река Аппер Сэдл: Пирсон. ISBN 978-0-13-008507-8.[ требуется страница ]
- ^ Джейнс, ET (2003). «Раздел 5.3. Сходящиеся и расходящиеся точки зрения». В Бретторст, Дж. Ларри (ред.). Теория вероятностей: логика науки (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59271-0.
- ^ a b Hacking, I. (2006) Возникновение вероятности: философское исследование ранних идей о вероятности, индукции и статистическом выводе , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68557-3 [ необходима страница ]
- ^ Фройнд, Джон. (1973) Введение в вероятность . Диккенсон ISBN 978-0-8221-0078-2 (стр. 1)
- ^ Джеффри, Р. К., Вероятность и искусство суждения, Cambridge University Press. (1992). С. 54–55. ISBN 0-521-39459-7
- ^ Франклин, Дж. (2001) Наука о предположениях: доказательства и вероятность до Паскаля, Johns Hopkins University Press. (стр.22, 113, 127)
- ^ Бромелинг, Лайл Д. (1 ноября 2011 г.). «Отчет о ранних статистических выводах в арабской криптологии». Американский статистик . 65 (4): 255–257. DOI : 10.1198 / tas.2011.10191 . S2CID 123537702 .
- ^ Некоторые законы и проблемы классической вероятности и то, как Кардано предвосхитил их Горрочум, журнал П. Чанс 2012
- ^ Абрамс, Уильям, Краткая история вероятности , Второй момент , получено 23 мая 2008 г.
- ^ Иванчевич, Владимир Г .; Иванчевич, Тихана Т. (2008). Квантовый скачок: от Дирака и Фейнмана через вселенную к человеческому телу и разуму . Сингапур; Хакенсак, штат Нью-Джерси: World Scientific. п. 16. ISBN 978-981-281-927-7.
- ^ Франклин, Джеймс (2001). Наука гипотез: доказательства и вероятность до Паскаля . Издательство Университета Джона Хопкинса. ISBN 978-0-8018-6569-5.
- ^ Обувной мастер, Эдди (ноябрь 1985 г.). «Томас Симпсон и среднее арифметическое» . Historia Mathematica . 12 (4): 352–355. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (85) 90044-8 .
- ^ a b Уилсон Э.Б. (1923) "Первый и второй законы ошибки". Журнал Американской статистической ассоциации , 18, 143
- ^ Сенета, Юджин Уильям. « « Адриан-Мари Лежандр »(версия 9)» . StatProb: энциклопедия, спонсируемая обществами статистики и теории вероятностей . Архивировано из оригинала 3 февраля 2016 года . Проверено 27 января +2016 .
- ^ Вебер, Ричард. "Цепи Маркова" (PDF) . Статистическая лаборатория . Кембриджский университет.
- ^ Витани, Пол МБ (1988). "Андрей Николаевич Колмогоров" . CWI Quarterly (1): 3–18 . Проверено 27 января +2016 .
- ^ Уилкокс, Рэнд Р. (10 мая 2016 г.). Понимание и применение основных статистических методов с использованием R . Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 978-1-119-06140-3. OCLC 949759319 .
- ^ Сингх, Лори (2010) «Куда идут эффективные рынки? Теория эффективного рынка и поведенческие финансы». Сообщение профессионалов в области финансов, 2010 г.
- ^ Гао, JZ; Fong, D .; Лю, X. (апрель 2011 г.). «Математический анализ системы скидок казино для VIP-гемблинга». Международные исследования азартных игр . 11 (1): 93–106. DOI : 10.1080 / 14459795.2011.552575 . S2CID 144540412 .
- ^ Горман, Майкл Ф. (2010). «Management Insights» . Наука управления . 56 : iv – vii. DOI : 10.1287 / mnsc.1090.1132 .
- ^ а б в г д «Список вероятностных и статистических символов» . Математическое хранилище . 26 апреля 2020 . Проверено 10 сентября 2020 .
- ^ Росс, Шелдон М. (2010). Первый курс вероятности (8-е изд.). Пирсон Прентис Холл. С. 26–27. ISBN 9780136033134.
- ^ а б Вайсштейн, Эрик В. «Вероятность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 сентября 2020 .
- ^ Olofsson (2005) стр. 8.
- ^ Олофссон (2005), стр. 9
- ^ Olofsson (2005) стр. 35.
- ^ Olofsson (2005) стр. 29.
- ^ Бургин, Марк (2010). «Интерпретации отрицательных вероятностей». п. 1. arXiv : 1008.1287v1 [ Physics.data -an ].
- ^ Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. Письмо Максу Борну, 4 декабря 1926 г., в: Einstein / Born Briefwechsel 1916–1955 .
- ^ Мур, WJ (1992). Шредингер: жизнь и мысль . Издательство Кембриджского университета . п. 479. ISBN 978-0-521-43767-7.
Библиография
- Калленберг О. (2005) Вероятностные симметрии и принципы инвариантности . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. 510 стр. ISBN 0-387-25115-4
- Калленберг О. (2002) Основы современной вероятности, 2-е изд. Серии Спрингера в статистике. 650 стр. ISBN 0-387-95313-2
- Олофссон, Питер (2005) Вероятность, статистика и случайные процессы , Wiley-Interscience. 504 стр. ISBN 0-471-67969-0 .
Внешние ссылки
- Виртуальные лаборатории теории вероятностей и статистики (Университет Ала-Хантсвилл)
- Вероятность в наше время на BBC
- Электронная книга вероятностей и статистики
- Эдвин Томпсон Джейнс . Теория вероятностей: логика науки . Препринт: Вашингтонский университет, (1996). - HTML-указатель со ссылками на файлы PostScript и PDF (первые три главы)
- Люди из истории вероятности и статистики (Саутгемптонский университет)
- Вероятность и статистика самых ранних использований страниц (Саутгемптонский университет)
- Раннее использование символов в вероятности и статистике при раннем использовании различных математических символов
- Учебное пособие по вероятности и теореме Байеса для студентов первого курса Оксфордского университета.
- [1] PDF-файл Антологии случайных операций (1963) на сайте UbuWeb
- Введение в вероятность - электронная книга Чарльза Гринстеда, исходник Лори Снелл ( лицензия свободной документации GNU )
- (на английском и итальянском языках) Бруно де Финетти , Probabilità e индукция , Болонья, CLUEB, 1993. ISBN 88-8091-176-7 (цифровая версия)
- Лекция Ричарда П. Фейнмана о вероятности.