Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Статистическая вероятность» перенаправляется сюда. Для эпизода Star Trek: Deep Space Nine см. Статистические вероятности .

Джон Венн

Частотная вероятность или частотность - это интерпретация вероятности ; он определяет вероятность события как предел его относительной частоты во многих испытаниях. Вероятности могут быть найдены (в принципе) с помощью повторяемого объективного процесса (и, таким образом, в идеале не учитываются мнения). Эта интерпретация поддерживает статистические потребности многих ученых-экспериментаторов и социологов. Однако он не поддерживает все потребности; Игроки обычно требуют оценки шансов без экспериментов.

Развитие частотного подхода было мотивировано проблемами и парадоксами ранее господствовавшей точки зрения, классической интерпретации . В классической интерпретации вероятность определялась в терминах принципа безразличия , основанного на естественной симметрии задачи, так, например, вероятности игры в кости возникают из естественной симметричной 6-сторонности куба. Эта классическая интерпретация наталкивается на любую статистическую проблему, не имеющую естественной симметрии для рассуждений.

Определение [ править ]

В частотной интерпретации вероятности обсуждаются только в случае четко определенных случайных экспериментов (или случайных выборок). [1] множество всех возможных исходов случайного эксперимента называется выборочное пространство эксперимента. Событие определяется как конкретное подмножество образца пространства следует рассматривать. Для любого данного события может иметь место только одна из двух возможностей: оно происходит или нет. Относительная частота возникновения события, наблюдаемое в ряде повторений эксперимента, является мерой вероятностиэтого события. Это основная концепция вероятности в частотной интерпретации.

Заявление частотного подхода состоит в том, что по мере увеличения числа испытаний изменение относительной частоты будет уменьшаться. Следовательно, можно рассматривать вероятность как предельное значение соответствующих относительных частот. [2]

Сфера [ править ]

Частотная интерпретация - это философский подход к определению и использованию вероятностей; это один из нескольких таких подходов. Он не претендует на то, чтобы охватить все коннотации понятия «вероятный» в разговорной речи естественных языков.

Как интерпретация, это не противоречит математической аксиоматизации теории вероятностей; скорее, это руководство по применению математической теории вероятностей к ситуациям реального мира. Он предлагает четкое руководство по построению и планированию практических экспериментов, особенно в сравнении с байесовской интерпретацией . Вопрос о том, является ли это руководство полезным или может быть неверно истолкован, был источником разногласий. В частности, когда частотная интерпретация вероятности ошибочно принимается за единственно возможное основание для частотного вывода . Так, например, к статье о p-значениях прилагается список неверных интерпретаций значения p-значений; разногласия подробно описаны в статье остатистическая проверка гипотез . В парадоксе Джеффриса-Линдли показывает , как различные интерпретации, примененные к одному набору данных, может привести к различным выводам о «статистической значимости» результата. [ необходима цитата ]

Как заметил Уильям Феллер : [3]

В нашей системе нет места для предположений о вероятности того, что солнце взойдет завтра . Прежде чем говорить об этом, мы должны согласовать (идеализированную) модель, которая предположительно будет работать по принципу «из бесконечного множества миров один выбирается случайным образом ...» Для построения такой модели требуется немного воображения, но она кажется и неинтересно, и бессмысленно.

Комментарий Феллера был критикой Лапласа, который опубликовал решение проблемы восхода солнца с использованием альтернативной вероятностной интерпретации. Несмотря на явный и немедленный отказ от ответственности Лапласа в источнике, основанный на опыте в астрономии, а также на теории вероятностей, за этим последовали два столетия критики.

История [ править ]

Основная статья: История вероятностей

Вид может частотный быть предопределен Аристотелем , в риторике , [4] , когда он писал:

вероятно то, что по большей части случается [5]

Пуассон четко различал объективные и субъективные вероятности в 1837 году. [6] Вскоре после этого последовал поток почти одновременных публикаций Милля , Эллиса («Об основах теории вероятностей» [7] и «Замечания по фундаментальным принципам теории»). вероятностей » [8] ), Курно ( Exposition de la théorie des случайности и вероятности ) [9] и Фрис представили частотную точку зрения. Венн представил подробное изложение ( «Логика случая: эссе об основах и области теории вероятностей»).(изданы в 1866, 1876, 1888 гг.)) [10] два десятилетия спустя. Они были дополнительно поддержаны публикациями Буля и Бертрана . К концу XIX века частотная интерпретация утвердилась и, возможно, стала доминирующей в науке. [6] Следующее поколение установило инструменты классической логической статистики (проверка значимости, проверка гипотез и доверительные интервалы), основанные на частотной вероятности.

В качестве альтернативы [11] Якоб Бернулли (он же Джеймс или Жак) понял концепцию частотной вероятности и опубликовал критическое доказательство (слабый закон больших чисел) посмертно в 1713 году . Ему также приписывают некоторую оценку субъективной вероятности (до и без теоремы Байеса). [12] [13] Гаусс и Лаплас использовали частотную (и другую) вероятность при выводе метода наименьших квадратов столетием позже, за поколение до Пуассона. [14]Лаплас рассмотрел вероятности свидетельских показаний, таблиц смертности, решений трибуналов и т. Д., Которые вряд ли являются кандидатами на классическую вероятность. С этой точки зрения вклад Пуассона заключался в его резкой критике альтернативной «обратной» (субъективной, байесовской) интерпретации вероятностей. Любая критика со стороны Гаусса и Лапласа была приглушенной и скрытой. (В их более поздних выводах не использовалась обратная вероятность.)

Основными участниками "классической" статистики в начале 20 века были Фишер , Нейман и Пирсон.. Фишер внес вклад в большую часть статистики и сделал тестирование значимости основой экспериментальной науки; Нейман сформулировал доверительные интервалы и внес большой вклад в теорию выборки; Нейман и Пирсон объединились в создании проверки гипотез. Все ценили объективность, поэтому лучшая доступная им интерпретация вероятности была частотной. Все с подозрением относились к «обратной вероятности» (доступной альтернативе) с априорной вероятностью, выбранной с использованием принципа безразличия. Фишер сказал: «... теория обратной вероятности основана на ошибке [ссылаясь на теорему Байеса] и должна быть полностью отвергнута». (из его «Статистических методов для научных работников»). Хотя Нейман был чистым частотником, [1] взгляды Фишера на вероятность были уникальными;У обоих были тонкие взгляды на вероятность.Фон Мизес предложил комбинацию математической и философской поддержки частотного подхода той эпохи. [2] [15]

Этимология [ править ]

Согласно Оксфордскому словарю английского языка , термин «частотный» впервые был использован М.Г. Кендаллом в 1949 году в отличие от байесовцев , которых он называл «нечастотиками». [16] [17] Он заметил

3 .... мы можем в общих чертах различить два основных отношения. Один рассматривает вероятность как «степень рациональной веры» или некую подобную идею ... второй определяет вероятность в терминах частоты возникновения событий или относительных пропорций в «популяциях» или «коллективах»; (стр.101)
...
12. Можно подумать, что различия между частотниками и нечастицами (если я могу их так назвать) в значительной степени обусловлены различиями в областях, которые они, как предполагается, охватывают. (стр.104)
...
Я утверждаю, что это не так ... Существенное различие между частотниками и нечастицами, я думаю, состоит в том, что первые, стремясь избежать чего-либо, относящегося к вопросам общественного мнения, пытаются определить вероятность в терминах вероятности. объективные свойства населения, реальные или гипотетические, тогда как последние - нет. [курсив в оригинале]

«Частотная теория вероятности» использовалась поколением раньше в качестве названия главы у Кейнса (1921). [4]

Историческая последовательность: были введены концепции вероятности и выведена значительная часть математики вероятностей (до 20 века), были разработаны классические методы статистического вывода, были укреплены математические основы вероятности и введена современная терминология (все в 20 веке). В основных исторических источниках вероятности и статистики не использовалась текущая терминология классической, субъективной (байесовской) и частотной вероятности.

Альтернативные взгляды [ править ]

Основная статья: Вероятностные интерпретации

Теория вероятностей - это раздел математики. Хотя ее корни уходят в прошлое, она достигла зрелости с аксиомами Андрея Колмогорова в 1933 году. Теория фокусируется на действительных операциях над значениями вероятности, а не на начальном присвоении значений; математика во многом не зависит от какой-либо интерпретации вероятности.

Приложения и интерпретации вероятности рассматриваются философией, наукой и статистикой. Все заинтересованы в извлечении знаний из наблюдений - в индуктивных рассуждениях . Есть множество конкурирующих интерпретаций; [18] У всех есть проблемы. Частотная интерпретация действительно решает трудности с классической интерпретацией, такие как любая проблема, в которой естественная симметрия результатов неизвестна. Он не затрагивает другие вопросы, такие как голландская книга .

  • Классическая вероятность присваивает вероятности на основе физической идеализированной симметрии (игральные кости, монеты, карты). Классическое определение подвержено риску округления; Вероятности определяются при условии равенства вероятностей. [19] В отсутствие симметрии полезность определения ограничена.
  • Субъективная (байесовская) вероятность (группа конкурирующих интерпретаций) учитывает степени веры. Все практические «субъективные» интерпретации вероятностей настолько ограничены рациональностью, что избегают большей части субъективности. Настоящая субъективность отталкивает некоторые определения науки, которые стремятся к результатам, независимым от наблюдателя и аналитика. [ необходимая цитата ] Другие приложения байесовства в науке (например, логический байесовский подход) охватывают врожденную субъективность многих научных исследований и объектов и используют байесовское рассуждение для определения границ и контекста влияния субъективностей на весь анализ. [20] Исторические корни этой концепции распространяются на такие нечисловые приложения, как юридические доказательства.
  • Вероятность предрасположенности рассматривает вероятность как причинное явление, а не как чисто описательное или субъективное. [18]

Заметки [ править ]

  1. ^ a b Нейман, Ежи (30 августа 1937 г.). «Очерк теории статистического оценивания на основе классической теории вероятностей» . Фил. Пер. R. Soc. Лондон. . 236 (767): 333–380. DOI : 10,1098 / rsta.1937.0005 .Вывод доверительных интервалов Нейманом охватывал теоретические аксиомы вероятности меры, опубликованные Колмогоровым несколько лет назад, и ссылался на субъективные (байесовские) определения вероятности Джеффриса, опубликованные ранее в этом десятилетии. Нейман определил частотную вероятность (под названием классическая) и заявил о необходимости случайности в повторных выборках или испытаниях. Он в принципе согласился с возможностью нескольких конкурирующих теорий вероятности, высказав при этом несколько конкретных оговорок по поводу существующей альтернативной интерпретации вероятности.
  2. ^ a b фон Мизес, Ричард (1939) Вероятность, статистика и правда (на немецком языке) (английский перевод, 1981: Dover Publications; 2 исправленное издание. ISBN 0486242145 ) (стр.14) 
  3. ^ Уильям Феллер (1957), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1 , стр. 4
  4. ^ а б Кейнс, Джон Мейнард ; Трактат о вероятности (1921 г.), глава VIII «Частотная теория вероятности».
  5. ^ Риторика Bk 1 Ch 2; обсуждается в Дж. Франклине, Наука о предположениях: доказательства и вероятность до Паскаля (2001), издательство Johns Hopkins University Press. ISBN 0801865697 , стр. 110. 
  6. ^ a b Гигеренцер, Герд; Свийтинк, Портер; Дастон, Битти; Дастон, Крюгер (1989). Империя случая: как вероятность изменила науку и повседневную жизнь . Кембридж, Кембриджшир, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 35–6, 45. ISBN 978-0-521-39838-1.
  7. ^ Эллис, Роберт Лесли (1843) "Об основах теории вероятностей", Труды Кембриджского философского общества, том 8
  8. ^ Эллис, Роберт Лесли (1854) "Замечания об основных принципах теории вероятностей", Труды Кембриджского философского общества, том 9
  9. ^ Курно, Антуан Огюстен (1843) Выставка теории шансов и вероятностей . Л. Ашетт, Париж. archive.org
  10. ^ Венн, Джон (1888) Логика случая , 3-е издание archive.org . Полное название: Логика случая: эссе об основах и области теории вероятностей, с особым упором на ее логическое обоснование и ее применение к моральным и социальным наукам, а также к статистике , Macmillan & Co, Лондон
  11. ^ Hald Андерс (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера с 1713 по 1935 год . Копенгаген: Андерс Хальд, факультет прикладной математики и статистики, Копенгагенский университет. С. 11–12. ISBN 978-87-7834-628-5.
  12. ^ Финберг, Стивен Е. (1992). «Краткая история статистики в трех с половиной главах: обзорный очерк» . Статистическая наука . 7 (2): 208–225. DOI : 10,1214 / сс / 1177011360 .
  13. ^ Дэвид, FN (1962). Игры, боги и азартные игры . Нью-Йорк: Хафнер. С. 137–138.Бернулли привел классический пример извлечения множества черных и белых камешков из урны (с заменой). Соотношение образцов позволило Бернулли сделать вывод о соотношении в урне с более жесткими границами по мере увеличения количества образцов. Историки могут интерпретировать этот пример как классический, частотный или субъективный вероятностный. Дэвид говорит: «Джеймс определенно начал здесь полемику об обратной вероятности ...» Бернулли писал за несколько поколений до Байеса, Лапласа и Гаусса. Споры продолжаются.
  14. ^ Hald Андерс (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера с 1713 по 1935 год . Копенгаген: Андерс Хальд, факультет прикладной математики и статистики, Копенгагенский университет. С. 1–5. ISBN 978-87-7834-628-5.
  15. ^ Теория частоты Глава 5; обсуждается в Дональде Жилле, Философские теории вероятностей (2000), Psychology Press. ISBN 9780415182751 , стр. 88. 
  16. ^ Самые ранние известные применения некоторых слов вероятности и статистики
  17. ^ Кендалл, Морис Джордж (1949). «О согласовании теорий вероятностей». Биометрика . Биометрика Траст. 36 (1/2): 101–116. DOI : 10.1093 / Biomet / 36.1-2.101 . JSTOR 2332534 . 
  18. ^ а б Хаек, Алан, Залта, Эдвард Н. (ред.), Интерпретации вероятностей , Стэнфордская энциклопедия философии Проверить значения даты в: |archive-date=( помощь )
  19. ^ Эш, Роберт Б. (1970). Основная теория вероятностей . Нью-Йорк: Вили. С. 1–2.
  20. ^ Фэрфилд, Таша; Чарман, Эндрю Э. (15 мая 2017 г.). «Явный байесовский анализ для отслеживания процессов: рекомендации, возможности и предостережения» . Политический анализ . 25 (3): 363–380. DOI : 10.1017 / pan.2017.14 .

Ссылки [ править ]

  • П. У. Бриджмен, Логика современной физики , 1927 г.
  • Алонсо Чёрч, Концепция случайной последовательности , 1940
  • Харальд Крамер, Математические методы статистики , 1946 г.
  • Уильям Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения , 1957 г.
  • П. Мартин-Лёф, О концепции случайной последовательности , 1966 г.
  • Рихард фон Мизес, « Вероятность, статистика и правда» , 1939 г. (немецкий оригинал 1928 г.)
  • Ежи Нейман, Первый курс теории вероятностей и статистики , 1950 г.
  • Ганс Райхенбах, Теория вероятностей , 1949 (немецкий оригинал 1935 года)
  • Бертран Рассел, Человеческие знания , 1948 г.
  • Фридман, К. (1999). «Вероятностная интерпретация». Успехи в прикладной математике . 23 (3): 234–254. DOI : 10.1006 / aama.1999.0653 . PS