Принцип безразличия

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по
Байесовская статистика
Теория
Допустимое правило принятия решения Байесовская эффективность Байесовская вероятность Вероятностные интерпретации Теорема Байеса Фактор Байеса Байесовский вывод Байесовская сеть Прежний Задний Вероятность Конъюгировать приор Задний прогностический Гиперпараметр Hyperprior Принцип безразличия Принцип максимальной энтропии Эмпирический метод Байеса Правило Кромвеля Теорема Бернштейна – фон Мизеса Критерий Шварца Достоверный интервал Максимальная апостериорная оценка Радикальный вероятности
Методы
Байесовская линейная регрессия Байесовская оценка Приближенное байесовское вычисление Цепь Маркова Монте-Карло
Математический портал
v т е

Принцип безразличия (также называемый принципом недостаточного основания ) является правилом для назначения эпистемических вероятностей . Принцип безразличия гласит, что в отсутствие каких-либо значимых доказательств агенты должны равномерно распределить свою достоверность (или «степени уверенности») среди всех возможных рассматриваемых результатов. ^[1]

В байесовской вероятности это простейший неинформативный априор . Принцип безразличия не имеет смысл при интерпретации частотной вероятности , ^{[ править ]} , в котором вероятность относительные частоты , а не степени веры в неопределенных суждениях, условные на информацию о состоянии.

Примеры [ править ]

Примеры из учебников по применению принципа безразличия - это монеты , кости и карты .

По крайней мере, в макроскопической системе следует предположить, что физические законы, управляющие системой, недостаточно хорошо известны, чтобы предсказать результат. Как заметил несколько столетий назад Джон Арбетнот (в предисловии к книге « О законах случайности» , 1692 г.),

Для кубика с такой определенной силой и направлением невозможно не упасть на такую ​​определенную сторону, только я не знаю силу и направление, которое заставляет его упасть на такую ​​определенную сторону, и поэтому я назовите это шансом, который есть не что иное, как недостаток искусства ...

При наличии достаточного времени и ресурсов нет фундаментальной причины полагать, что невозможно провести достаточно точные измерения, которые позволили бы с высокой точностью предсказать исход монет, игральных костей и карт: работа Перси Диаконис с подбрасыванием монеты машин является практическим примером этого.

Монеты [ править ]

Симметричная монета имеет две стороны, произвольно меченые головы (много монет есть голова человека изображала на одной стороне) и хвосты . Если предположить, что монета должна приземлиться на одной или другой стороне, результаты подбрасывания монеты являются взаимоисключающими, исчерпывающими и взаимозаменяемыми. Согласно принципу безразличия, мы присваиваем каждому из возможных исходов вероятность 1/2.

В этом анализе подразумевается, что силы, действующие на монету, неизвестны с какой-либо точностью. Если бы импульс, сообщаемый монете при запуске, был известен с достаточной точностью, полет монеты можно было бы предсказать в соответствии с законами механики. Таким образом, неопределенность результата подбрасывания монеты происходит (по большей части) из неопределенности относительно начальных условий. Этот момент более подробно обсуждается в статье о подбрасывании монеты .

Dice [ править ]

Симметричная матрица имеет п граней, произвольно маркированные от 1 до п . Обычный кубический штамп имеет n = 6 граней, хотя можно построить симметричный штамп с различным количеством граней; см. Dice . Мы предполагаем, что кубик упадёт той или иной лицевой стороной вверх, и других возможных исходов нет. Применяя принцип безразличия, мы присваиваем каждому из возможных исходов вероятность 1 / n.. Как и в случае с монетами, предполагается, что начальные условия броска кости не известны с достаточной точностью, чтобы предсказать результат в соответствии с законами механики. Кости обычно бросают так, чтобы они отскакивали от стола или другой поверхности (поверхностей). Это взаимодействие значительно затрудняет прогнозирование результата.

Здесь решающее значение имеет предположение о симметрии. Предположим, что нас просят сделать ставку за или против исхода «6». Мы можем предположить, что здесь есть два соответствующих результата «6» или «не 6», и что они являются взаимоисключающими и исчерпывающими. Это предполагает присвоение вероятности 1/2 каждому из двух исходов.

Карты [ править ]

Стандартная колода состоит из 52 карт, каждой из которых присвоена уникальная метка произвольным образом, то есть в произвольном порядке. Достаем карту из колоды; Применяя принцип безразличия, мы присваиваем каждому из возможных исходов вероятность 1/52.

Этот пример больше, чем другие, показывает сложность реального применения принципа безразличия в реальных ситуациях. На самом деле, говоря «произвольно заказанный», мы имеем в виду то, что у нас нет никакой информации, которая бы подтолкнула нас к предпочтению определенной карты. На практике это случается редко: новая колода карт, конечно, не в произвольном порядке, равно как и колода сразу после руки карт. Поэтому на практике мы перемешиваем карты; это не уничтожает имеющуюся у нас информацию, а вместо этого (надеюсь) делает нашу информацию практически непригодной для использования, хотя в принципе ее можно использовать. Фактически, некоторые опытные игроки в блэкджек могут отслеживать тузов в колоде; для них условие применения принципа безразличия не выполняется.

Применение к непрерывным переменным [ править ]

Неправильное применение принципа безразличия может легко привести к бессмысленным результатам, особенно в случае многомерных, непрерывных переменных. Типичный случай неправильного использования - это следующий пример:

• Предположим, в коробке спрятан куб. На этикетке на коробке указано, что длина стороны куба составляет от 3 до 5 см.
• Мы не знаем фактическую длину стороны, но можем предположить, что все значения одинаково вероятны, и просто выбрать среднее значение 4 см.
• Информация на этикетке позволяет нам рассчитать, что площадь поверхности куба составляет от 54 до 150 см². Мы не знаем фактическую площадь поверхности, но можем предположить, что все значения одинаково вероятны, и просто выбрать среднее значение 102 см².
• Информация на этикетке позволяет рассчитать, что объем куба составляет от 27 до 125 см ³ . Мы не знаем фактический объем, но можем предположить, что все значения одинаково вероятны, и просто выбрать среднее значение 76 см ³ .
• Однако теперь мы пришли к невозможному выводу, что куб имеет длину стороны 4 см, площадь поверхности 102 см² и объем 76 см ³ !

В этом примере взаимно противоречивые оценки длины, площади поверхности и объема куба возникают, потому что мы предположили три взаимно противоречивых распределения для этих параметров: равномерное распределение для одной из переменных подразумевает неоднородное распределение для другой два. В общем, принцип безразличия не указывает, какая переменная (например, в данном случае длина, площадь поверхности или объем) должна иметь однородное эпистемологическое распределение вероятностей.

Еще один классический пример такого неправильного использования - парадокс Бертрана . Эдвин Т. Джейнс ввел принцип групп преобразований , который может дать эпистемологическое распределение вероятностей для этой проблемы. Это обобщает принцип безразличия, говоря, что равнодушны к эквивалентным проблемам.а не безразличие между предложениями. Это все еще сводится к обычному принципу безразличия, когда каждый рассматривает перестановку меток как порождение эквивалентных проблем (т. Е. Использование группы преобразования перестановки). Чтобы применить это к приведенному выше примеру коробки, у нас есть три случайные величины, связанные геометрическими уравнениями. Если у нас нет причин отдавать предпочтение одному трио значений перед другим, тогда наши априорные вероятности должны быть связаны правилом изменения переменных в непрерывных распределениях. Пусть L - длина, а V - объем. Тогда мы должны иметь

${\ Displaystyle f_ {L} (L) = \ left | {\ partial V \ over \ partial L} \ right | f_ {V} (V) = 3L ^ {2} f_ {V} (L ^ {3} )}$,

где - функции плотности вероятности (pdf) указанных переменных. Это уравнение имеет общее решение:, где K - нормировочная константа, определяемая диапазоном L , в данном случае равная:${\ displaystyle f_ {L}, \, f_ {V}}$${\ Displaystyle F (L) = {К \ над L}}$

${\displaystyle K^{-1}=\int _{3}^{5}{dL \over L}=\log \left({5 \over 3}\right)}$

Чтобы проверить это, мы спрашиваем вероятность того, что длина меньше 4. Это имеет вероятность:

${\displaystyle Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

Для объема это должно равняться вероятности того, что объем меньше 4 ³ = 64. PDF-файл объема равен

${\displaystyle f(V^{1 \over 3}){1 \over 3}V^{-{2 \over 3}}={1 \over 3V\log({5 \over 3})}}$.

Тогда вероятность объема меньше 64 равна

${\displaystyle Pr(V<64)=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5 \over 3})}={\log({64 \over 27}) \over 3\log({5 \over 3})}={3\log({4 \over 3}) \over 3\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

Таким образом, мы добились инвариантности относительно объема и длины. Можно также показать ту же инвариантность относительно площади поверхности, меньшей чем 6 (4 ² ) = 96. Однако заметьте, что это вероятностное присвоение не обязательно является «правильным». Точное распределение длин, объема или площади поверхности будет зависеть от того, как проводится «эксперимент».

Фундаментальная гипотеза статистической физики о том , что любые два микросостояния системы с одинаковой полной энергией равновероятны в состоянии равновесия , в некотором смысле является примером принципа безразличия. Однако, когда микросостояния описываются непрерывными переменными (такими как положения и импульсы), требуется дополнительный физический базис, чтобы объяснить, при какой параметризации плотность вероятности будет однородной. Теорема Лиувилля оправдывает использование канонически сопряженных переменных , таких как позиции и их сопряженные импульсы.

В парадокс вино / вода показывает дилемма со связанными переменными, и какой из них выбрать.

История [ править ]

Первоначальные авторы теории вероятностей, в первую очередь Якоб Бернулли и Пьер Симон Лаплас , считали принцип безразличия интуитивно очевидным и даже не удосужились дать ему имя. Лаплас писал:

Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же вида к определенному количеству случаев, в равной степени возможных, то есть к таким, в отношении которых мы можем в равной степени нерешить в отношении их существования, и в определении количества случаев. благоприятный для события, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой является числом благоприятных случаев, а знаменатель - числом всех возможных случаев.

Эти более ранние авторы, в частности Лаплас, наивно обобщили принцип безразличия на случай непрерывных параметров, дав так называемое «равномерное априорное распределение вероятностей», функцию, которая постоянна для всех действительных чисел. Он использовал эту функцию, чтобы выразить полное незнание значения параметра. Согласно Стиглеру (стр. 135), предположение Лапласа об однородности априорных вероятностей не было метафизическим предположением. Это было неявное предположение, сделанное для простоты анализа.

Принцип недостаточного основания был его первым именем, дал ему более поздних авторов, возможно , как игра на Лейбница «s принцип достаточного основания . Эти более поздние авторы ( Джордж Буль , Джон Венн и другие) возражали против использования униформы по двум причинам. Первая причина в том, что постоянная функция не нормализуется и, следовательно, не является правильным распределением вероятностей. Вторая причина - это неприменимость к непрерывным переменным, как описано выше. (Однако эти парадоксальные проблемы могут быть разрешены. В первом случае константа или любой более общий конечный многочлен естьнормализуемый в любом конечном диапазоне: все, что имеет значение, - это диапазон [0,1]. В качестве альтернативы функция может быть изменена на ноль вне этого диапазона, как при непрерывном равномерном распределении . Во втором случае нет двусмысленности при условии, что проблема «корректно поставлена», так что никакие необоснованные предположения не могут быть сделаны или должны быть сделаны, тем самым фиксируя соответствующую априорную функцию плотности вероятности или производящую функцию предыдущего момента (с переменными исправлено соответствующим образом) для использования самой вероятности. См. Аналогичный случай парадоксом Бертрана (вероятность) .)

«Принцип недостаточного основания» был переименован в «принцип безразличия» экономистом Джоном Мейнардом Кейнсом  ( 1921 ), который осторожно отметил, что он применяется только тогда, когда нет знаний, указывающих на неравные вероятности.

Попытки поставить это понятие на более прочную философскую основу обычно начинались с концепции равновероятности и переходили от нее к равновероятности .

Принципу безразличия можно дать более глубокое логическое обоснование, отметив, что эквивалентным состояниям знания следует приписывать эквивалентные эпистемические вероятности. Этот аргумент был выдвинут Е. Т. Джейнсом : он приводит к двум обобщениям, а именно к принципу групп преобразований, как в априорной теории Джеффри , и к принципу максимальной энтропии .

В более общем плане говорят о неинформативных априори .

См. Также [ править ]

• Правило последовательности : формула для оценки основных вероятностей при небольшом количестве наблюдений или для событий, которые вообще не наблюдались в (конечных) выборочных данных.

Ссылки [ править ]

• Диаконис, Перси; Келлер, Джозеф Б. (1989). «Честная игра в кости». Американский математический ежемесячник . 96 (4): 337–339. DOI : 10.2307 / 2324089 . JSTOR  2324089 . (Обсуждение справедливых костей «по симметрии» и «по непрерывности».)
• Джейнс, Эдвин Томпсон (2003). Теория вероятностей: логика науки . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-59271-2.
• Кейнс, Джон Мейнард (1921). «Глава IV. Принцип безразличия» . Трактат о вероятности . 4 . Macmillan and Co., стр. 41–64.
• Стиглер, Стивен М. (1986). История статистики: измерение неопределенности до 1900 года . Кембридж, Массачусетс: Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1.