Распределение квазивероятностей

Распределение квазивероятность является математическим объектом , похожим на распределение вероятностей , но которая расслабляется некоторые из аксиом Колмогорова теории вероятностей . Хотя квазивероятности имеют некоторые общие черты с обычными вероятностями, такие как, что особенно важно, способность давать значения математического ожидания относительно весов распределения , все они нарушают аксиому σ- аддитивности , поскольку области, интегрированные под ними, не представляют вероятности взаимоисключающие состояния. Чтобы компенсировать это, некоторые распределения квазивероятностей также парадоксально имеют области отрицательной плотности вероятности , что противоречитпервая аксиома . Распределения КВАЗИВЕРОЯТНОСТИ естественным образом возникают при изучении квантовой механики при обработке в формулировке фазовом пространстве , обычно используемый в квантовой оптике , частотно-временной анализ , ^[1] и в других местах.

Введение [ править ]

В самом общем виде динамика квантово-механической системы определяется основным уравнением в гильбертовом пространстве : уравнением движения для оператора плотности (обычно записываемого ) системы. Оператор плотности определен относительно полного ортонормированного базиса . Хотя можно напрямую интегрировать это уравнение для очень маленьких систем (т. Е. Систем с небольшим количеством частиц или степеней свободы), это быстро становится трудноразрешимым для больших систем. Однако можно доказать ^[2], что оператор плотности всегда можно записать в диагональной форме при условии, что он относится к ${\ displaystyle {\ widehat {\ rho}}}$ завышенная база. Когда оператор плотности представлен в таком сверхполном базисе, его можно записать способом, более напоминающим обычную функцию, за счет того, что функция имеет черты распределения квазивероятностей. Тогда эволюция системы полностью определяется эволюцией функции распределения квазивероятностей.

В когерентных состояниях , то есть правые собственные о операторе уничтожений служат сверхполная основой при построении описанных выше. По определению, когерентные состояния обладают следующим свойством: ${\ displaystyle {\ widehat {а}}}$

{\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}

У них также есть некоторые дополнительные интересные свойства. Например, никакие два когерентных состояния не ортогональны. Фактически, если | α〉 и | β〉 - пара когерентных состояний, то

\langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).

Обратите внимание, что эти состояния, однако, правильно нормализованы с помощью 〈α | α〉 = 1. Ввиду полноты базиса фоковских состояний выбор базиса когерентных состояний должен быть излишним. ^[3] Щелкните, чтобы показать неофициальное доказательство.

Доказательство сверхполноты когерентных состояний.

Интегрирование по комплексной плоскости можно записать в полярных координатах с . Там, где допускается обмен суммой и интегралом , мы приходим к простому интегральному выражению гамма-функции : $d^{2}\alpha =r\,dr\,d\theta$

{\begin{aligned}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha &=\int \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{|\alpha |^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{n}(\alpha ^{*})^{k}}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d^{2}\alpha \\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(n-k)\theta }}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d\theta \,dr\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(n-k)\theta }}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d\theta \,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}\delta (n-k)}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{2n+1}}{n!}}|n\rangle \langle n|\,dr\\&=\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int e^{-u}\cdot {\frac {u^{n}}{n!}}|n\rangle \langle n|\,du\\&=\pi \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\\&=\pi {\widehat {I}}.\end{aligned}}

Ясно, что мы можем охватить гильбертово пространство, записав состояние как

|\psi \rangle ={\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |\psi \rangle \,d^{2}\alpha .

С другой стороны, несмотря на правильную нормировку состояний, множитель π> 1 доказывает, что этот базис является переполненным.

Однако в базисе когерентных состояний всегда можно ^[2] выразить оператор плотности в диагональной форме

{\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha

где f - представление распределения фазового пространства. Эта функция f считается плотностью квазивероятностей, потому что она обладает следующими свойствами:

$\int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1$ (нормализация)
Если - оператор, который может быть выражен в виде степенного ряда операторов создания и уничтожения в упорядочении Ω, то его математическое ожидание равно $g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })$

\langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}

( теорема оптической эквивалентности ).

Функция f не единственна. Существует семейство различных представлений, каждое из которых связано с разным порядком Ω. Самый популярный в общей физической литературе и исторически первый из них является распределение квазивероятности Вигнера , ^[4] , который связан с симметричным упорядочением оператора. В частности, в квантовой оптике часто интересующие операторы, особенно оператор числа частиц , естественным образом выражаются в нормальном порядке . В этом случае соответствующим представлением распределения фазового пространства является P-представление Глаубера – Сударшана . ^[5] Квазивероятностная природа этих распределений фазового пространства лучше всего понимается в представлении $P$ из-за следующего ключевого утверждения: ^[6]

Если квантовая система имеет классический аналог, например когерентное состояние или тепловое излучение , то P неотрицательно везде, как обычное распределение вероятностей. Если, однако, квантовая система не имеет классического аналога, например некогерентного фоковского состояния или запутанной системы , то P где-то отрицательно или более сингулярно, чем дельта-функция .

Это широкое заявление недоступно в других представлениях. Например, функция Вигнера состояния ЭПР положительно определена, но не имеет классического аналога. ^[7]^[8]

Помимо представлений, определенных выше, существует множество других распределений квазивероятностей, которые возникают в альтернативных представлениях распределения фазового пространства. Другим популярным представлением является представление Husimi Q , ^[9] , который является полезным , когда операторы находятся в анти - нормальна порядке. Совсем недавно положительное $P-$ представление и более широкий класс обобщенных $P-$ представлений использовались для решения сложных задач квантовой оптики. Все они эквивалентны и взаимно преобразовываются друг в друга, а именно. Функция распределения классов Коэна .

Характерные функции [ править ]

По аналогии с теорией вероятностей квантовые распределения квазивероятностей могут быть записаны в терминах характеристических функций , из которых могут быть получены все значения операторных ожиданий. Характеристические функции для распределений Вигнера, Глаубера P и Q N- модовой системы следующие:

$\chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})$
$\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})$
$\chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} (\rho e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}}e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }})$

Здесь и - векторы, содержащие операторы уничтожения и создания для каждого режима системы. Эти характеристические функции могут использоваться для непосредственной оценки ожидаемых значений моментов оператора. Порядок операторов уничтожения и рождения в эти моменты зависит от конкретной характеристической функции. Например, нормально упорядоченные (операторы уничтожения, предшествующие операторам создания) моменты могут быть оценены следующим образом : ${\widehat {\mathbf {a} }}$ ${\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }$ $\chi _{P}\,$

\langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\rangle ={\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}){\Big |}_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}

Таким же образом ожидаемые значения анти-нормально упорядоченных и симметрично упорядоченных комбинаций операторов уничтожения и создания могут быть вычислены из характеристических функций для распределений Q и Вигнера, соответственно. Сами функции квазивероятности определяются как преобразования Фурье указанных выше характеристических функций. То есть,

\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .

Здесь и может быть идентифицировано как амплитуды когерентных состояний в случае распределений Глаубера P и Q, но просто c-числа для функции Вигнера. Поскольку дифференцирование в нормальном пространстве становится умножением в пространстве Фурье, моменты могут быть вычислены из этих функций следующим образом: $\alpha _{j}\,$ $\alpha _{k}^{*}$

$\langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$
$\langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$
$\langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha }$

Здесь означает симметричный порядок. $(\cdots )_{S}$

Эти представления все связаны между собой через свертку с помощью функции Гаусса , Вейерштрасса преобразований ,

$W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta$
$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta$

или, используя свойство ассоциативности свертки ,

$Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.$

Временная эволюция и соответствие операторов [ править ]

Поскольку каждое из вышеуказанных преобразований от $ρ$ к функциям распределения является линейным , уравнение движения для каждого распределения может быть получено путем выполнения тех же преобразований в . Кроме того, поскольку любое основное уравнение, которое может быть выражено в форме Линдблада, полностью описывается действием комбинаций операторов уничтожения и создания на оператор плотности, полезно рассмотреть влияние таких операций на каждую из функций квазивероятности. ^[10]^[11] ${\dot {\rho }}$

Например, рассмотрим оператор уничтожения, действующий на $ρ$ . Для характеристической функции распределения P имеем ${\widehat {a}}_{j}\,$

\operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).

Принимая преобразование Фурье относительно найти действие , соответствующее действие на функцию Глаубер Р, мы находим $\mathbf {z} \,$

${\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).$

Следуя этой процедуре для каждого из вышеперечисленных распределений, можно определить следующие соответствия операторов :

${\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
$\rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
${\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$
$\rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})$

Здесь $κ = 0, 1/2$ или 1 для распределений P, Вигнера и Q соответственно. Таким образом, основные уравнения могут быть выражены как уравнения движения функций квазивероятностей.

Примеры [ править ]

Когерентное состояние [ править ]

По построению P для когерентного состояния - это просто дельта-функция: $|\alpha _{0}\rangle$

P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).

Представления Вигнера и Q немедленно следует из формул гауссовой свертки, приведенных выше:

W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}

Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.

Представление Хусими также можно найти, используя приведенную выше формулу для внутреннего произведения двух когерентных состояний:

Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}

Государство Фока [ править ]

Р представление состояния Фока является $|n\rangle$

P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).

Поскольку при n> 0 это более сингулярно, чем дельта-функция, состояние Фока не имеет классического аналога. Неклассичность становится менее очевидной по мере использования гауссовых сверток. Если L _n - _n -й полином Лагерра , W -

W(\alpha ,\alpha ^{*})=(-1)^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}\left(4|\alpha |^{2}\right)~,

который может стать отрицательным, но ограничен. Q всегда остается положительным и ограниченным:

Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}

Затухающий квантовый гармонический осциллятор [ править ]

Рассмотрим затухающий квантовый гармонический осциллятор со следующим основным уравнением:

{\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}})+\gamma \langle n\rangle ({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }).

Это приводит к уравнению Фоккера – Планка

{\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[(\gamma +i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +(\gamma -i\omega _{0}){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+{\frac {\gamma }{2}}(\langle n\rangle +\kappa ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)

где κ = 0, 1/2, 1 для представлений P , W и Q соответственно. Если система изначально находится в когерентном состоянии , то это имеет решение $|\alpha _{0}\rangle$

\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)\right]}}\exp {\left(-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-(\gamma +i\omega _{0})t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-2\gamma t}\right)}}\right)}

Ссылки [ править ]

^ Л. Коэн (1995), Частотно-временной анализ: теория и приложения , Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-594532-1
^ a b E. CG Sudarshan "Эквивалентность полуклассического и квантово-механического описания статистических световых пучков", Phys. Rev. Lett. , 10 (1963) , стр. 277-279. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.10.277
^ JR Klauder, Вариант действия и квантование Фейнмана спинорных полей в терминах обычных c-чисел, Ann. Физика 11 (1960) 123–168. DOI : 10,1016 / 0003-4916 (60) 90131-7
^ EP Wigner, "О квантовой поправке для термодинамического равновесия", Phys. Ред. 40 (июнь 1932 г.) 749–759. DOI : 10.1103 / PhysRev.40.749
^ RJ Glauber "Когерентные и некогерентные состояния поля излучения", Phys. Rev. , 131 (1963), стр. 2766–2788. DOI : 10.1103 / PhysRev.131.2766
^ Мандель, Л .; Вольф, Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2
^ О. Коэн "Нелокальность исходного состояния Эйнштейна – Подольского – Розена", Phys. Rev. A , 56 (1997), стр. 3484–3492. DOI : 10.1103 / PhysRevA.56.3484
^ K. Banaszek и K. Wódkiewicz "Нелокальность состояния Эйнштейна-Подольского-Розена в представлении Вигнера", Phys. Rev. A , 58 (1998), стр. 4345–4347. DOI : 10.1103 / PhysRevA.58.4345
^ Коди Husimi (1940). «Некоторые формальные свойства матрицы плотности», Тр. Phys. Математика. Soc. Jpn. 22 : 264–314.
^ HJ Кармайкл, Статистические методы в квантовой оптике I: основные уравнения и уравнения Фоккера – Планка , Springer-Verlag (2002).
↑ CW Gardiner, Quantum Noise , Springer-Verlag (1991).

[1] Л. Коэн (1995), Частотно-временной анализ: теория и приложения , Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-594532-1

[Sudarshan-2] E. CG Sudarshan "Эквивалентность полуклассического и квантово-механического описания статистических световых пучков", Phys. Rev. Lett. , 10 (1963) , стр. 277-279. DOI : 10.1103 / PhysRevLett.10.277

[3] JR Klauder, Вариант действия и квантование Фейнмана спинорных полей в терминах обычных c-чисел, Ann. Физика 11 (1960) 123–168. DOI : 10,1016 / 0003-4916 (60) 90131-7

[4] EP Wigner, "О квантовой поправке для термодинамического равновесия", Phys. Ред. 40 (июнь 1932 г.) 749–759. DOI : 10.1103 / PhysRev.40.749

[5] RJ Glauber "Когерентные и некогерентные состояния поля излучения", Phys. Rev. , 131 (1963), стр. 2766–2788. DOI : 10.1103 / PhysRev.131.2766

[6] Мандель, Л .; Вольф, Э. (1995), Оптическая когерентность и квантовая оптика , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2

[7] О. Коэн "Нелокальность исходного состояния Эйнштейна – Подольского – Розена", Phys. Rev. A , 56 (1997), стр. 3484–3492. DOI : 10.1103 / PhysRevA.56.3484

[8] K. Banaszek и K. Wódkiewicz "Нелокальность состояния Эйнштейна-Подольского-Розена в представлении Вигнера", Phys. Rev. A , 58 (1998), стр. 4345–4347. DOI : 10.1103 / PhysRevA.58.4345

[9] Коди Husimi (1940). «Некоторые формальные свойства матрицы плотности», Тр. Phys. Математика. Soc. Jpn. 22 : 264–314.

[10] HJ Кармайкл, Статистические методы в квантовой оптике I: основные уравнения и уравнения Фоккера – Планка , Springer-Verlag (2002).

[11] CW Gardiner, Quantum Noise , Springer-Verlag (1991).

[1]