В обработке сигналов , анализ частотно-временной включает те методы , которые исследование сигнал как во временной и частотной областях одновременно, используя различные частотно-временные представления . Вместо просмотра одномерного сигнала (функции, действительной или комплексной, домен которой является действительной линией) и некоторого преобразования (другой функции, домен которой является реальной линией, полученной из оригинала с помощью некоторого преобразования), время-частота Анализ изучает двумерный сигнал - функцию, домен которой является двумерной реальной плоскостью, полученной из сигнала посредством частотно-временного преобразования. [1] [2]
Математическая мотивация для этого исследования заключается в том, что функции и их представление преобразования часто тесно связаны, и их можно лучше понять, изучая их совместно, как двумерный объект, а не по отдельности. Простым примером является то, что 4-кратная периодичность преобразования Фурье - и тот факт, что двукратное преобразование Фурье меняет направление - можно интерпретировать, рассматривая преобразование Фурье как поворот на 90 ° в соответствующей частотно-временной плоскости: вращения дают идентичность, а 2 таких поворота просто меняют направление ( отражение через начало координат ).
Практическая мотивация для частотно-временного анализа состоит в том, что классический анализ Фурье предполагает, что сигналы бесконечны во времени или периодичны, в то время как на практике многие сигналы имеют короткую продолжительность и существенно изменяются в течение своей продолжительности. Например, традиционные музыкальные инструменты не создают синусоиды бесконечной продолжительности, а вместо этого начинают с атаки, а затем постепенно распадаются. Это плохо представлено традиционными методами, что мотивирует частотно-временной анализ.
Одной из самых основных форм частотно-временного анализа является кратковременное преобразование Фурье (STFT), но были разработаны более сложные методы, особенно вейвлеты .
Мотивация [ править ]
В обработке сигналов частотно-временной анализ [3] представляет собой совокупность приемов и методов, используемых для определения характеристик сигналов и управления ими, статистика которых изменяется во времени, например, переходных сигналов.
Это обобщение и уточнение анализа Фурье для случая, когда частотные характеристики сигнала меняются со временем. Поскольку многие представляющие интерес сигналы, такие как речь, музыка, изображения и медицинские сигналы, имеют изменяющиеся частотные характеристики, частотно-временной анализ имеет широкую область применения.
В то время как метод преобразования Фурье может быть расширен для получения частотного спектра любого медленно растущего локально интегрируемого сигнала, этот подход требует полного описания поведения сигнала за все время. В самом деле, можно думать о точках в (спектральной) частотной области как о размытии информации во всей временной области. Хотя этот метод математически элегантен, он не подходит для анализа сигнала с неопределенным будущим поведением. Например, для достижения ненулевой энтропии необходимо предположить некоторую степень неопределенного будущего поведения в любых телекоммуникационных системах (если один уже знает, что скажет другой человек, он ничего не может узнать).
Чтобы использовать возможности частотного представления без необходимости полной характеристики во временной области, сначала получают частотно-временное распределение сигнала, которое представляет сигнал одновременно во временной и частотной областях. В таком представлении частотная область будет отражать только поведение локализованной во времени версии сигнала. Это позволяет разумно говорить о сигналах, составляющие частоты которых меняются во времени.
Например, вместо того, чтобы использовать умеренные распределения для глобального преобразования следующей функции в частотную область, можно было бы вместо этого использовать эти методы, чтобы описать ее как сигнал с изменяющейся во времени частотой.
После создания такого представления к сигналу могут быть применены другие методы частотно-временного анализа, чтобы извлечь информацию из сигнала, отделить сигнал от шума или мешающих сигналов и т. Д.
Функции частотно-временного распределения [ править ]
Составы [ править ]
Существует несколько различных способов сформулировать допустимую функцию частотно-временного распределения, что приводит к нескольким хорошо известным частотно-временным распределениям, например:
- Кратковременное преобразование Фурье (включая преобразование Габора ),
- Вейвлет-преобразование ,
- Билинейная функция распределения время – частота ( функция распределения Вигнера или WDF),
- Модифицированная функция распределения Вигнера, функция распределения Габора – Вигнера и т. Д. (См. Преобразование Габора – Вигнера ).
- Преобразование Гильберта – Хуанга
Более подробную информацию об истории и мотивации развития частотно-временного распределения можно найти в записи Время-частотное представление .
Идеальная функция распределения TF [ править ]
Функция частотно-временного распределения в идеале имеет следующие свойства: [ ссылка ]
- Высокое разрешение по времени и частоте для упрощения анализа и интерпретации.
- Нет кросс-термина, чтобы не путать реальные компоненты с артефактами или шумом
- Список желаемых математических свойств, гарантирующих, что такие методы будут полезны для реальных приложений.
- Более низкая вычислительная сложность для обеспечения времени, необходимого для представления и обработки сигнала на частотно-временной плоскости, позволяет реализовать в реальном времени.
Ниже приводится краткое сравнение некоторых выбранных функций частотно-временного распределения. [4]
| Ясность | Перекрестный срок | Хорошие математические свойства [ требуется пояснение ] | Вычислительная сложность | |
| Преобразование Габора | Наихудший | Нет | Наихудший | Низкий |
| Функция распределения Вигнера | Лучший | да | Лучший | Высоко |
| Функция распределения Габора – Вигнера | Хороший | Почти исключено | Хороший | Высоко |
| Функция распределения по форме конуса | Хороший | Нет (устранено вовремя) | Хороший | Средний (если определен рекурсивно) |
Для хорошего анализа сигналов важно выбрать подходящую функцию частотно-временного распределения. Какую функцию частотно-временного распределения следует использовать, зависит от рассматриваемого приложения, как показано при просмотре списка приложений. [5] Высокая четкость функции распределения Вигнера (WDF), полученная для некоторых сигналов, обусловлена функцией автокорреляции, заложенной в ее формулировке; однако последнее также вызывает перекрестную проблему. Следовательно, если мы хотим проанализировать одноканальный сигнал, использование WDF может быть лучшим подходом; если сигнал состоит из нескольких компонентов, некоторые другие методы, такие как преобразование Габора, распределение Габора-Вигнера или модифицированные функции B-распределения, могут быть лучшим выбором.
В качестве иллюстрации, величины из нелокализованного анализа Фурье не могут различать сигналы:
Но частотно-временной анализ может.
Приложения [ править ]
Следующим ниже приложениям требуются не только функции частотно-временного распределения, но и некоторые операции с сигналом. Линейный каноническое преобразование (LCT) действительно полезно. С помощью LCT форма и положение на частотно-временной плоскости сигнала могут быть в произвольной форме, какой мы хотим. Например, LCT могут сдвигать частотно-временное распределение в любое место, расширять его в горизонтальном и вертикальном направлении без изменения его площади на плоскости, сдвигать (или скручивать) его и вращать ( дробное преобразование Фурье ). Эта мощная операция, LCT, делает более гибким анализ и применение частотно-временных распределений.
Мгновенная оценка частоты [ править ]
Определение мгновенной частоты - это скорость изменения фазы во времени, или
где - мгновенная фаза сигнала. Мы можем узнать мгновенную частоту непосредственно из частотно-временной плоскости, если изображение достаточно четкое. Поскольку высокая четкость критически важна, мы часто используем WDF для ее анализа.
TF фильтрация и разложение сигнала [ править ]
Цель конструкции фильтра - удалить нежелательный компонент сигнала. Обычно мы можем просто фильтровать во временной области или в частотной области по отдельности, как показано ниже.
Упомянутые выше методы фильтрации не могут хорошо работать для каждого сигнала, который может перекрываться во временной области или в частотной области. Используя функцию распределения время-частота, мы можем фильтровать в евклидовой частотно-временной области или в дробной области, используя дробное преобразование Фурье . Пример показан ниже.
Дизайн фильтра в частотно-временном анализе всегда имеет дело с сигналами, состоящими из нескольких компонентов, поэтому нельзя использовать WDF из-за перекрестного определения. Преобразование Габора, функция распределения Габора – Вигнера или функция распределения классов Коэна могут быть лучшим выбором.
Концепция разложения сигнала связана с необходимостью отделить один компонент от других в сигнале; это может быть достигнуто с помощью операции фильтрации, которая требует стадии проектирования фильтра. Такая фильтрация традиционно выполняется во временной области или в частотной области; однако это может быть невозможно в случае нестационарных сигналов, которые являются многокомпонентными, поскольку такие компоненты могут перекрываться как во временной области, так и в частотной области; как следствие, единственный возможный способ добиться разделения компонентов и, следовательно, разложения сигнала - это реализовать частотно-временной фильтр.
Теория выборки [ править ]
По теореме выборки Найквиста – Шеннона мы можем заключить, что минимальное количество точек выборки без наложения спектров эквивалентно области частотно-временного распределения сигнала. (На самом деле это всего лишь приближение, поскольку область TF любого сигнала бесконечна.) Ниже приведен пример до и после объединения теории дискретизации с частотно-временным распределением:
Заметно, что количество точек выборки уменьшается после применения частотно-временного распределения.
Когда мы используем WDF, может возникнуть перекрестная проблема (также называемая интерференцией). С другой стороны, использование преобразования Габора приводит к улучшению ясности и читабельности представления, тем самым улучшая его интерпретацию и применение к практическим задачам.
Следовательно, когда сигнал, который мы стремимся отбирать, состоит из одного компонента, мы используем WDF; однако, если сигнал состоит из более чем одного компонента, использование преобразования Габора, функции распределения Габора-Вигнера или других TFD с уменьшенными помехами может обеспечить лучшие результаты.
Теорема Балиана – Лоу формализует это и дает ограничение на минимальное количество необходимых частотно-временных выборок.
Модуляция и мультиплексирование [ править ]
Обычно операции модуляции и мультиплексирования концентрируются по времени или по частоте отдельно. Используя преимущество частотно-временного распределения, мы можем повысить эффективность модуляции и мультиплексирования. Все, что нам нужно сделать, это заполнить частотно-временную плоскость. Мы представляем пример, как показано ниже.
Как проиллюстрировано в верхнем примере, использование WDF неразумно, поскольку серьезная проблема, связанная с временными рамками, затрудняет мультиплексирование и модуляцию.
Распространение электромагнитных волн [ править ]
Мы можем представить электромагнитную волну в виде матрицы 2 на 1
что аналогично частотно-временной плоскости. Когда электромагнитная волна распространяется в свободном пространстве, возникает дифракция Френеля . Мы можем работать с матрицей 2 на 1
по LCT с матрицей параметров
где z - расстояние распространения, а - длина волны. Когда электромагнитная волна проходит через сферическую линзу или отражается от диска, матрица параметров должна быть
и
соответственно, где ƒ - фокусное расстояние линзы, R - радиус диска. Эти соответствующие результаты могут быть получены из
Оптика, акустика и биомедицина [ править ]
Свет - это разновидность электромагнитной волны, поэтому мы применяем частотно-временной анализ к оптике так же, как и к распространению электромагнитных волн. Точно так же характерной чертой акустических сигналов является то, что часто их частота действительно сильно меняется со временем. Поскольку акустические сигналы обычно содержат много данных, для анализа акустических сигналов целесообразно использовать более простые TFD, такие как преобразование Габора, из-за меньшей вычислительной сложности. Если скорость не является проблемой, то перед выбором конкретной TFD следует провести подробное сравнение с четко определенными критериями. Другой подход - определить зависимую от сигнала TFD, которая адаптирована к данным. В биомедицине можно использовать частотно-временное распределение для анализа электромиографии (ЭМГ), электроэнцефалографии.(ЭЭГ), электрокардиограмма (ЭКГ) или отоакустическая эмиссия (ОАЭ).
История [ править ]
Ранние работы в области частотно-временного анализа можно увидеть в вейвлетах Хаара (1909) Альфреда Хаара , хотя они не были существенно применены к обработке сигналов. Деннис Габор проделал более существенные работы , такие как атомы Габора (1947), ранняя форма вейвлетов , и преобразование Габора , модифицированное кратковременное преобразование Фурье . Распределение Вигнера – Вилля (Ville 1948, в контексте обработки сигналов) было еще одним основополагающим шагом.
В частности, в 1930-е и 1940-е годы ранний частотно-временной анализ развивался совместно с квантовой механикой (Вигнер разработал распределение Вигнера – Вилля в 1932 году в квантовой механике, а Габор находился под влиянием квантовой механики - см. Атом Габора ); это отражено в общей математике плоскости положения-импульса и плоскости время-частота - как в принципе неопределенности Гейзенберга (квантовая механика) и пределе Габора (частотно-временной анализ), в конечном итоге оба отражают симплектическую структуру.
Ранней практической мотивацией для частотно-временного анализа была разработка радара - см. Функцию неоднозначности .
См. Также [ править ]
- Функция распределения по форме конуса
- Анализ с несколькими разрешениями
- Оценка спектральной плотности
- Частотно-временной анализ музыкального сигнала
Ссылки [ править ]
- ^ Л. Коэн, "Частотно-временной анализ", Прентис-Холл , Нью-Йорк, 1995. ISBN 978-0135945322
- ^ Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing, vol. 19, нет. 1, стр. 153-183, январь 2009 г.
- ^ П. Фландрин, "Анализ частоты / времени / масштаба времени", Вейвлет-анализ и его приложения , Vol. 10 Academic Press , Сан-Диего, 1999.
- ^ Шафи, Имран; Ахмад, Джамиль; Шах, Сайед Исмаил; Кашиф, FM (2009-06-09). «Методы получения хорошего разрешения и концентрированного частотно-временного распределения: обзор» . Журнал EURASIP о достижениях в обработке сигналов . 2009 (1): 673539. дои : 10,1155 / 2009/673539 . ISSN 1687-6180 .
- ^ А. Папандреу-Супапаппола, Приложения в частотно-временной обработке сигналов (CRC Press, Boca Raton, Fla., 2002)
