Преобразование Габора

Преобразование Габора , названное в честь Денниса Габора , является частным случаем кратковременного преобразования Фурье . Он используется для определения синусоидальной частоты и фазового содержания локальных участков сигнала по мере их изменения во времени. Преобразуемая функция сначала умножается на функцию Гаусса , которую можно рассматривать как оконную функцию , а затем полученная функция преобразуется с помощью преобразования Фурье для получения частотно-временного анализа . ^[1]Оконная функция означает, что сигнал около анализируемого времени будет иметь больший вес. Преобразование Габора сигнала x (t) определяется этой формулой:

{\ displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- \ pi (t- \ tau) ^ {2}} e ^ {- j \ omega t} \, dt}

Величина функции Гаусса.

Функция Гаусса имеет бесконечный диапазон и непрактична для реализации. Однако можно выбрать уровень значимости (например, 0,00001) для распределения функции Гаусса.

{\ displaystyle {\ begin {cases} e ^ {- {\ pi} a ^ {2}} \ geq 0.00001; & \ left | a \ right | \ leq 1.9143 \\ e ^ {- {\ pi} a ^ {2}} <0,00001; & \ left | a \ right |> 1,9143 \ end {case}}}

Вне этих пределов интегрирования ( ) функция Гаусса достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь. Таким образом, преобразование Габора можно удовлетворительно аппроксимировать как ${\ Displaystyle \ влево | а \ вправо |> 1,9143}$

{\ displaystyle G_ {x} (\ tau, \ omega) = \ int _ {- 1.9143+ \ tau} ^ {1.9143+ \ tau} x (t) e ^ {- \ pi (t- \ tau) ^ { 2}} e ^ {- j \ omega t} \, dt}

Это упрощение делает трансформацию Gabor практичной и реализуемой.

Ширина оконной функции также может быть изменена , чтобы оптимизировать разрешение компромисса частотно-временной для конкретного применения путем замены с в течение некоторого выбранного альфа. ${\ Displaystyle {- {\ pi} (т- \ тау) ^ {2}}}$ ${\ Displaystyle {- {\ pi} \ альфа (т- \ тау) ^ {2}}}$

Обратное преобразование Габора [ править ]

Преобразование Габора обратимо. Исходный сигнал можно восстановить по следующему уравнению

{\ Displaystyle х (т) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_ {x} (\ tau, \ omega) e ^ {j \ omega t + \ pi (t- \ tau) ^ {2 }} \, d \ omega / (2 \ pi)}

Свойства преобразования Габора [ править ]

Преобразование Габора имеет много свойств, подобных свойствам преобразования Фурье. Эти свойства перечислены в следующих таблицах.

	Сигнал	Преобразование Габора	Замечания
	$x(t)\,$	$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$
1	$a\cdot x(t)+b\cdot y(t)\,$	$a\cdot G_{x}(\tau ,\omega )+b\cdot G_{y}(\tau ,\omega )\,$	Свойство линейности
2	$x(t-t_{0})\,$	$G_{x}(\tau -t_{0},\omega )e^{-j\omega t_{0}}\,$	Перемещение собственности
3	$x(t)e^{j\omega _{0}t}\,$	$G_{x}(\tau ,\omega -\omega _{0})\,$	Свойство модуляции

		Замечания
1	$\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega )\right\|^{2}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left\|x(t)\right\|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt\approx \int _{\tau -1.9143}^{\tau +1.9143}\left\|x(t)\right\|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt$	Свойство интеграции мощности
2	$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )G_{y}^{}(\tau ,\omega )\,d\omega \,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y^{}(t)\,d\tau$	Сумма энергии
3	${\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega )\right\|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right\|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega )\right\|^{2}\,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega _{0})\right\|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega )=FT[x(t)]=0{\text{ for }}\omega >\omega _{0}\end{cases}}$	Свойство спада мощности
4	$\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =2\pi e^{-\pi \tau ^{2}}x(0)$	Восстановительная собственность

Применение и пример [ править ]

Распределение времени / частоты.

Основное применение преобразования Габора - частотно-временной анализ . В качестве примера возьмем следующее уравнение. Входной сигнал имеет частотную составляющую 1 Гц, когда t ≤ 0, и частотную составляющую 2 Гц, когда t > 0.

x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0.\end{cases}}

Но если общая доступная полоса пропускания составляет 5 Гц, другие полосы частот, кроме x ( t ), теряются. Посредством частотно-временного анализа с применением преобразования Габора можно узнать доступную полосу пропускания, и эти полосы частот можно использовать для других приложений, при этом ширина полосы будет сохранена. На правом рисунке показан входной сигнал x ( t ) и выходной сигнал преобразования Габора. Как и ожидалось, частотное распределение можно разделить на две части. Один - t ≤ 0, другой - t > 0. Белая часть - это полоса частот, занятая x ( t ), а черная часть не используется. Обратите внимание, что для каждого момента времени существует какотрицательная (верхняя белая часть) и положительная (нижняя белая часть) частотная составляющая.

Дискретное преобразование Габора [ править ]

Дискретный вариант представления Габора

y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)

с участием $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$

может быть легко получен путем дискретизации базисной функции Габора в этих уравнениях. При этом непрерывный параметр t заменяется дискретным временем k. Кроме того, необходимо учитывать теперь уже конечный предел суммирования в представлении Габора. Таким образом, дискретизированный сигнал y (k) разбивается на M временных кадров длиной N. Согласно , коэффициент Ω для критической дискретизации равен $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$ $\Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}$

Подобно DFT (дискретное преобразование Фурье) получается частотная область, разделенная на N дискретных разделов. Обратное преобразование этих N спектральных разделов затем приводит к N значениям y (k) для временного окна, которое состоит из N значений выборки. Для общих M временных окон с N значениями выборок каждый сигнал y (k) содержит K = N M значений выборок: (дискретное представление Габора) $\cdot$

y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)

с участием $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$

Согласно приведенному выше уравнению коэффициенты N M соответствуют количеству значений K выборки сигнала. $\cdot$ $C_{nm}$

Для избыточной выборки установлено значение N '> N, что приводит к N'> N коэффициентов суммирования во второй сумме дискретного представления Габора. В этом случае количество полученных коэффициентов Габора будет M N '> K. Следовательно, доступно больше коэффициентов, чем выборочных значений, и, следовательно, будет достигнуто избыточное представление. $\Omega$ $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}$ $\cdot$

Масштабированное преобразование Габора [ править ]

Как и в случае с коротковременным преобразованием Фурье, разрешение во временной и частотной областях можно регулировать, выбирая различную ширину оконной функции. В случаях преобразования Габора путем добавления дисперсии в виде следующего уравнения: $\sigma$

Масштабированное (нормализованное) окно Гаусса обозначается как:

$W_{gaussian}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}$

Таким образом, масштабированное преобразование Габора можно записать как:

$G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad$

При большом значении оконная функция будет узкой, что приведет к более высокому разрешению во временной области, но более низкому разрешению в частотной области. Точно так же маленький размер приведет к широкому окну с более высоким разрешением в частотной области, но меньшим разрешением во временной области. $\sigma$ $\sigma$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153-183, январь 2009 г.

Д. Габор, Теория коммуникации, Часть 1, J. Inst. избранных. Англ. Часть III, Радио и связь, том 93, с. 429 1946 г. ( http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf )
Цзянь-Цзюн Дин, Заметка о классе частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования, факультет электротехники, Национальный университет Тайваня, Тайбэй, Тайвань, 2007.

[1] Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing , vol. 19, нет. 1, стр. 153-183, январь 2009 г.

[1]