Отрицательная частота

Концепция отрицательной и положительной частоты может быть такой же простой, как колесо, вращающееся в одну или другую сторону: значение частоты со знаком может указывать как скорость, так и направление вращения. Скорость выражается в таких единицах, как обороты (или циклы ) в секунду ( герцы ) или радианы в секунду (где 1 цикл соответствует 2 π радианам ).

Синусоиды [ править ]

Пусть ω - неотрицательный параметр с единицей измерения радиан в секунду. Тогда угловая функция (угол в зависимости от времени) - ωt + θ имеет наклон - ω , который называется отрицательной частотой . Но когда функция используется в качестве аргумента оператора косинуса, результат неотличим от cos ( ωt - θ ) . Точно так же sin (- ωt + θ ) неотличим от sin ( ωt - θ + π ) . Таким образом, любая синусоидаможно представить в виде положительных частот. Знак нижележащего фазового наклона неоднозначен.

Отрицательная частота заставляет функцию sin (фиолетовый) опережать cos (красный) на 1/4 цикла.

Вектор (cos t , sin t ) вращается против часовой стрелки со скоростью 1 радиан в секунду и завершает круг каждые 2 π секунды. Вектор (cos - t , sin - t ) вращается в другом направлении (не показано).

Неоднозначность разрешается, когда операторы косинуса и синуса могут наблюдаться одновременно, потому что cos ( ωt + θ ) опережает sin ( ωt + θ ) на 1/4 цикла (= π / 2 радиан), когда ω > 0 , и отстает на 1 / 4 цикл при ω <0 . Точно так же вектор (cos t , sin t ) вращается против часовой стрелки со скоростью 1 радиан / секунду и завершает круг каждые 2π секунды, а вектор (cos -t, sin -t) вращается в другом направлении.

Знак ω сохраняется и в комплексной функции :

{\ Displaystyle е ^ {я \ omega t} = \ underbrace {\ cos (\ omega t)} _ {R (t)} + я \ cdot \ underbrace {\ sin (\ omega t)} _ {I (t )},}

^[A]

( Уравнение 1 )

поскольку R ( t ) и I ( t ) можно отдельно извлекать и сравнивать. Хотя очевидно, что он содержит больше информации, чем любой из его компонентов, общая интерпретация заключается в том, что это более простая функция, потому что: ${\ Displaystyle е ^ {я \ омега т}}$

Это упрощает многие важные тригонометрические вычисления , что приводит к его формальному описанию в качестве аналитического представления о . ^[B] ${\ Displaystyle \ соз (\ омега т)}$

Следствие уравнения 1 :

{\ displaystyle \ cos (\ omega t) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ left (e ^ {i \ omega t} + e ^ {- i \ omega t} \ right),}

( Уравнение 2 )

что приводит к интерпретации, что cos ( ωt ) включает как положительные, так и отрицательные частоты. Но на самом деле сумма - это аннулирование, которое содержит меньше, а не больше информации. Любая мера, которая указывает на обе частоты, включает ложное срабатывание (или псевдоним ), потому что ω может иметь только один знак. ^[C] Преобразование Фурье , например, просто говорит нам, что cos ( ωt ) взаимно коррелирует с cos ( ωt ) + i sin ( ωt ) так же хорошо, как и с cos ( ωt ) - i sin ( ωt ) .^[D]

Приложения [ править ]

Возможно, наиболее известное применение отрицательной частоты - это расчет:

{\ displaystyle X (\ omega) = \ int _ {a} ^ {b} x (t) \ cdot e ^ {- я \ omega t} dt,}

который является мерой количества частоты ω в функции x ( t ) на интервале ( a , b ) . При оценке в виде непрерывной функции со для теоретического интервала (-∞, ∞) , известно как преобразование Фурье от й ( т ). Краткое объяснение состоит в том, что произведение двух сложных синусоид также является сложной синусоидой, частота которой является суммой исходных частот. Таким образом, когда ω положительно, все частоты x ( t ) уменьшаются на величину ω ${\ displaystyle e ^ {- я \ omega t}}$ . Любая часть x ( t ), которая была на частоте ω , изменяется на частоту ноль, которая является просто константой, уровень амплитуды которой является мерой силы исходного содержимого ω . И любая часть x ( t ), которая была на нулевой частоте, изменяется на синусоиду на частоте - ω . Аналогичным образом все остальные частоты меняются на ненулевые значения. По мере увеличения интервала ( a , b ) вклад постоянного члена пропорционально возрастает. Но вклад синусоидальных членов колеблется только около нуля. Итак, X ( ω) улучшается как относительная мера количества частоты ω в функции x ( t ).

Преобразование Фурье от производит ненулевой ответ только на частоту со . Преобразование имеет отклики как на ω, так и на - ω , как и ожидалось уравнением 2 . ${\ Displaystyle е ^ {я \ омега т}}$ ${\ Displaystyle \ соз (\ омега т)}$

Выборка положительных и отрицательных частот и наложение спектров [ править ]

На этом рисунке изображены две сложные синусоиды, золотого и голубого цвета, которые соответствуют одним и тем же наборам реальных и мнимых точек выборки. Таким образом, они являются псевдонимами друг друга при дискретизации со скоростью ( f _s ), указанной линиями сетки. Функция золотого цвета отображает положительную частоту, потому что ее действительная часть (функция cos) опережает мнимую часть на 1/4 одного цикла. Функция cyan отображает отрицательную частоту, потому что ее действительная часть отстает от мнимой.

Заметки [ править ]

^ Эквивалентность называется формулой Эйлера
^ См . Формулу Эйлера § Связь с тригонометрией и фазором § Добавление примеров вычислений, упрощенных комплексным представлением.
^ И наоборот, любая мера, которая указывает только на одну частоту, сделала предположение, возможно, основанное на дополнительной информации.
^ cos ( ωt ) и sin ( ωt ) - ортогональные функции , поэтому мнимые части обеих корреляций равны нулю.

Дальнейшее чтение [ править ]

Положительные и отрицательные частоты
Лайонс, Ричард Г. (11 ноября 2010 г.). Глава 8.4. Понимание цифровой обработки сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. 944 стр. ISBN 0137027419 .

[1] Эквивалентность называется формулой Эйлера

[2] См . Формулу Эйлера § Связь с тригонометрией и фазором § Добавление примеров вычислений, упрощенных комплексным представлением.

[3] И наоборот, любая мера, которая указывает только на одну частоту, сделала предположение, возможно, основанное на дополнительной информации.

[4] s ( ωt ) и sin ( ωt ) - ортогональные функции , поэтому мнимые части обеих корреляций равны нулю.

[A]