Фазор

Пример последовательной RLC-цепи и соответствующая векторная диаграмма для конкретного ω

В физике и технике , в фазора (в чемодане от фазового вектора ^[1]^[2] ), представляет собой комплексное число , представляющее собой синусоидальную функцию которого амплитуда ( ), угловая частота ( ω ), и начальная фаза ( θ ) являются по времени инвариантный . Это связано с более общим понятием, называемым аналитическим представлением , ^[3]который разлагает синусоиду на произведение комплексной постоянной и множителя в зависимости от времени и частоты. Комплексная константа, которая зависит от амплитуды и фазы, известен как фазора , или комплексной амплитуды , ^[4]^[5] и (в более старых текстах) Sinor ^[6] или даже complexor . ^[6]

Распространенной ситуацией в электрических сетях является наличие нескольких синусоид с одинаковой частотой, но с разными амплитудами и фазами. Единственное различие в их аналитических представлениях - это комплексная амплитуда (вектор). Линейная комбинация таких функций может быть разложена на произведение линейной комбинации векторов (известной как арифметика векторов ) и общего фактора, зависящего от времени / частоты.

Происхождение термина "фазор" справедливо предполагает, что (схематическое) исчисление, в некоторой степени подобное тому, которое возможно для векторов , возможно и для векторов. ^[6] Важной дополнительной особенностью преобразования векторов является то, что дифференцирование и интегрирование синусоидальных сигналов (имеющих постоянную амплитуду, период и фазу) соответствует простым алгебраическим операциям с вектором; бластера преобразования , таким образом , позволяет анализ (расчет) в сети переменного тока стационарного состояния в цепях RLC путем решения простых алгебраических уравнений (хотя и с комплексными коэффициентами) в области фазора вместо решениядифференциальные уравнения (с действительными коэффициентами) во временной области. ^[7]^[8] Создателем векторного преобразования был Чарльз Протеус Стейнмец, работавший в General Electric в конце 19 века. ^[9]^[10]

Если упустить некоторые математические детали, то векторное преобразование также можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа , которое дополнительно может использоваться для (одновременно) получения переходной характеристики схемы RLC. ^[8]^[10] Однако преобразование Лапласа математически сложнее применить, и усилия могут быть неоправданными, если требуется только анализ установившегося состояния. ^[10]

Рис. 2. Когда функция изображена в комплексной плоскости, вектор, образованный ее мнимой и действительной частями, вращается вокруг начала координат. Его величина равна A , и он выполняет один цикл каждые 2

π

/ ω секунд. θ - это угол, который он образует с действительной осью при t = n • 2

π

/ ω для целых значений n.

{\ displaystyle \ scriptstyle A \ cdot e ^ {я (\ omega t + \ theta)}}

Обозначение [ править ]

Обозначение фазора (также известное как обозначение угла ) - математическое обозначение, используемое в электронике и электротехнике . может представлять либо вектор или комплексное число , причем , оба из которых имеют величины 1. вектора, полярные координаты являются величиной и угла записывается ^[11] ${\ displaystyle 1 \ angle \ theta}$ ${\ Displaystyle (\ соз \ тета, \ грех \ тета) \,}$ ${\ Displaystyle \ соз \ тета + j \ грех \ тета = е ^ {j \ тета}}$ ${\ displaystyle j ^ {2} = - 1}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle A \ angle \ theta.}$

Угол может быть указан в градусах с подразумеваемым преобразованием из градусов в радианы . Например , предполагается, что это вектор или число ${\ displaystyle 1 \ angle 90}$ ${\ displaystyle 1 \ angle 90 ^ {\ circ},}$ $(0,1)\,$ $e^{j\pi /2}.\,$

Определение [ править ]

Формула Эйлера показывает, что синусоиды могут быть представлены математически как сумма двух комплекснозначных функций:

A\cdot \cos(\omega t+\theta )=A\cdot {\frac {e^{i(\omega t+\theta )}+e^{-i(\omega t+\theta )}}{2}},

^[а]

или как реальная часть одной из функций:

{\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )=\operatorname {Re} \{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\}=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\}.\end{aligned}}

Функция называется аналитическое представление о . На рисунке 2 это изображено как вращающийся вектор в комплексной плоскости. Иногда удобно обращаться к целой функции как бластер , ^[12] , как мы делаем в следующем разделе. Но термин " фазор" обычно подразумевает только статический вектор . $A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}$ $A\cdot \cos(\omega t+\theta )$ $Ae^{i\theta }$

Арифметика [ править ]

Умножение на константу (скаляр) [ править ]

Умножение фазора на комплексную константу дает другой вектор. Это означает, что его единственный эффект - изменить амплитуду и фазу основной синусоиды: $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,$ $Be^{i\phi }\,$

{\begin{aligned}\operatorname {Re} \{(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi })\cdot e^{i\omega t}\}&=\operatorname {Re} \{(ABe^{i(\theta +\phi )})\cdot e^{i\omega t}\}\\&=AB\cos(\omega t+(\theta +\phi ))\end{aligned}}

В электронике будет представлять импеданс , не зависящий от времени. В частности, это не сокращенное обозначение другого фазора. Умножение векторного тока на импеданс дает векторное напряжение. Но произведение двух векторов (или возведение вектора в квадрат) будет представлять произведение двух синусоид, что является нелинейной операцией, которая создает новые частотные компоненты. Обозначение фазора может представлять только системы с одной частотой, такие как линейная система, стимулированная синусоидой. $Be^{i\phi }\,$

Дополнение [ править ]

Сумма векторов как сложение вращающихся векторов

Сумма нескольких векторов дает другой вектор. Это потому, что сумма синусоид с одинаковой частотой также является синусоидой с этой частотой:

{\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\}+\operatorname {Re} \{A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}})e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=\operatorname {Re} \{(A_{3}e^{i\theta _{3}})e^{i\omega t}\}\\[8pt]&=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}

куда

A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},

а если взять , то:

\theta _{3}\in [-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {3\pi }{2}}]

если , то , с по знаковой функции ; $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0$ $\theta _{3}=\operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))*{\frac {\pi }{2}}$ $\operatorname {sgn}$
если , то ; $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0$ $\theta _{3}=\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right)$
если , то . $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0$ $\theta _{3}=\pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right)$

или через закон косинусов на комплексной плоскости (или тригонометрическое тождество для угловых разностей ):

A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),

где . $\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}$

Ключевым моментом является то, что A ₃ и θ ₃ не зависят от ω или t , что делает возможной векторную запись. Зависимость от времени и частоты может быть подавлена и повторно вставлена в результат при условии, что единственные операции, используемые между ними, - это те, которые производят другой вектор. В угловых обозначениях операция, показанная выше, записывается

A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.\,

Другой способ просмотра сложения состоит в том, что два вектора с координатами [ A ₁ cos ( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin ( ωt + θ ₁ )] и [ A ₂ cos ( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin ( ωt + θ ₂ )] являются добавляет векторно для получения результирующего вектора с координатами [ ₃ совы ( ωt + θ₃ ), A ₃ sin ( ωt + θ ₃ )] . (см. анимацию)

Фазорная диаграмма трех волн при совершенной деструктивной интерференции

В физике такое сложение происходит, когда синусоиды конструктивно или деструктивно мешают друг другу. Концепция статического вектора обеспечивает полезное понимание таких вопросов, как: « Какая разность фаз потребуется между тремя идентичными синусоидами для идеального подавления? » В этом случае просто представьте, что вы берете три вектора одинаковой длины и размещаете их головой к хвосту так, чтобы последний голова совпадает с первым хвостом. Очевидно, что форма , которая удовлетворяет этим условиям равносторонний треугольник , так что угол между каждым вектором к следующему составляет 120 ° ( ^{2 & $pi$} ; / ₃ радиан), или одну треть длины волны ^λ / ₃. Таким образом, разность фаз между каждой волной также должна составлять 120 °, как в случае с трехфазным питанием .

Другими словами, это показывает, что

\cos(\omega t)+\cos(\omega t+2\pi /3)+\cos(\omega t-2\pi /3)=0.\,

В примере с тремя волнами разность фаз между первой и последней волнами составляла 240 градусов, в то время как для двух волн деструктивная интерференция происходит под углом 180 градусов. В пределе многих волн векторы должны образовывать круг для деструктивной интерференции, так что первый вектор почти параллелен последнему. Это означает, что для многих источников деструктивная интерференция возникает, когда первая и последняя волны различаются на 360 градусов, то есть на полную длину волны . Вот почему при дифракции на одной щели минимумы возникают, когда свет с дальнего края проходит на полную длину волны дальше, чем свет с ближнего края. $\lambda$

Поскольку единичный вектор вращается против часовой стрелки, его вершина в точке A совершит один полный оборот на 360 ° или 2 $π$ радиан, представляющих один полный цикл. Если длина его движущегося наконечника переносится с разными угловыми интервалами во времени на график, как показано выше, синусоидальная форма волны будет нарисована, начиная слева с нулевого времени. Каждое положение по горизонтальной оси указывает время, прошедшее с момента нуля, t = 0. Когда вектор расположен горизонтально, вершина вектора представляет углы в 0 °, 180 ° и 360 °.

Точно так же, когда кончик вектора является вертикальной она представляет собой положительное пиковое значение, (+ _макс ) при 90 ° или ^$п$ / ₂ и отрицательного пикового значения, (- _макс ) на 270 ° или ³^$л$ / ₂ . Тогда ось времени сигнала представляет собой угол в градусах или радианах, на который переместился вектор. Таким образом, мы можем сказать, что вектор представляет собой масштабированное значение напряжения или тока вращающегося вектора, который «заморожен» в некоторый момент времени ( t ), а в нашем примере выше он находится под углом 30 °.

Иногда, когда мы анализируем чередующиеся формы сигналов, нам может потребоваться знать положение фазора, представляющего переменную величину в некоторый конкретный момент времени, особенно когда мы хотим сравнить две разные формы сигналов на одной оси. Например, напряжение и ток. В приведенной выше форме волны мы предположили, что она начинается в момент времени t = 0 с соответствующим фазовым углом в градусах или радианах.

Но если второй сигнал начинается слева или справа от этой нулевой точки, или если мы хотим представить в векторной нотации соотношение между двумя формами сигнала, тогда нам нужно будет принять во внимание эту разность фаз Φ формы сигнала. . Рассмотрим приведенную ниже диаграмму из предыдущего руководства по разнице фаз.

Дифференциация и интеграция [ править ]

Производная по времени или интеграл фазора дает другой вектор. ^[b] Например:

{\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t})\right\}=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\}=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\}=\operatorname {Re} \{\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\}=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +\pi /2)\end{aligned}}

Следовательно, в векторном представлении производная синусоиды по времени становится просто умножением на константу . $i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega )\,$

Точно так же интегрирование фазора соответствует умножению на . Фактор, зависящий от времени , не изменяется. ${\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}\,$ $e^{i\omega t}\,$

Когда мы решаем линейное дифференциальное уравнение с помощью векторной арифметики, мы просто вычитаем все члены уравнения и снова вставляем их в ответ. Например, рассмотрим следующее дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе в RC-цепи : $e^{i\omega t}\,$

{\frac {\mathrm {d} \ v_{C}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)={\frac {1}{RC}}v_{S}(t)

Когда источник напряжения в этой цепи синусоидальный:

v_{S}(t)=V_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta ),\,

мы можем заменить ${\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}\\\end{aligned}}$

v_{C}(t)=\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\},

где фазор , а фазор - неизвестная величина, которую необходимо определить. $V_{s}=V_{P}e^{i\theta }\,$ $V_{c}\,$

В сокращенной системе обозначений векторов дифференциальное уравнение сводится к

i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}

^[c]

Решение для напряжения векторного конденсатора дает

V_{c}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot (V_{s})={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot (V_{P}e^{i\theta })\,

Как мы видели, коэффициент умножения представляет собой разницу амплитуды и фазы относительно и . $V_{s}\,$ $v_{C}(t)\,$ $V_{P}\,$ $\theta \,$

В форме полярных координат это

{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},{\text{ where }}\phi (\omega )=\arctan(\omega RC).\,

Следовательно

v_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ))

Приложения [ править ]

Окружные законы [ править ]

С помощью векторов методы решения цепей постоянного тока могут применяться для решения линейных цепей переменного тока. Список основных законов приведен ниже.

Закон Ома для резисторов: резистор не имеет временных задержек и, следовательно, не изменяет фазу сигнала, поэтому V = IR остается в силе.
Закон Ома для резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов: V = IZ, где Z - комплексный импеданс .
В цепи переменного тока у нас есть активная мощность ( P ), которая является представлением средней мощности в цепи, и реактивная мощность ( Q ), которая указывает мощность, протекающую туда и обратно. Мы также можем определить комплексную мощность S = Р + JQ и кажущаяся мощность , которая является величиной S . Степенной закон для цепи переменного тока выражается в фазорах затем S = VI ^* (где я ^* является комплексно сопряженным из I , а величины напряжения и ток фазоров V и I является RMS значения напряжения и тока соответственно).
Законы Кирхгофа работают с фазорами в сложной форме

Учитывая это, мы можем применить методы анализа резистивных цепей с векторами для анализа одночастотных линейных цепей переменного тока, содержащих резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Многочастотные линейные цепи переменного тока и цепи переменного тока с различными формами сигналов могут быть проанализированы для поиска напряжений и токов путем преобразования всех форм сигналов в компоненты синусоидальной волны (с использованием ряда Фурье ) с величиной и фазой, а затем анализировать каждую частоту отдельно, как это разрешено теоремой суперпозиции . Этот метод решения применяется только к входам, которые являются синусоидальными, и для решений, которые находятся в установившемся состоянии, то есть после того, как все переходные процессы исчезли. ^[13]

Эта концепция часто используется для представления электрического импеданса . В этом случае фазовый угол - это разность фаз между напряжением, приложенным к импедансу, и протекающим через него током.

Энергетика [ править ]

При анализе трехфазных систем питания переменного тока обычно набор векторов определяется как три комплексных кубических корня из единицы, графически представленные в виде единиц величин под углами 0, 120 и 240 градусов. Рассматривая величины многофазных цепей переменного тока как векторы, симметричные схемы можно упростить, а несимметричные схемы можно рассматривать как алгебраическую комбинацию симметричных компонентов . Такой подход значительно упрощает работу, необходимую для электрических расчетов падения напряжения, потока мощности и токов короткого замыкания. В контексте анализа энергосистем фазовый угол часто указывается в градусах , а величина - в среднеквадратичном значении, а не пиковая амплитуда синусоиды.

Технология синхрофазоров использует цифровые инструменты для измерения векторов, представляющих напряжения системы передачи в широко распространенных точках сети передачи. Различия между векторами указывают на поток мощности и стабильность системы.

Телекоммуникации: аналоговые модуляции [ править ]

Изображение вращающегося кадра с использованием фазора может быть мощным инструментом для понимания аналоговой модуляции, такой как амплитудная модуляция (и ее варианты ^[14] ) и частотная модуляция .

$x(t)=\Re e\left\{Ae^{j\theta }.e^{j2\pi f_{0}t}\right\}$ , где член в скобках рассматривается как вращающийся вектор в комплексной плоскости.

Вектор имеет длину , вращается против часовой стрелки со скоростью вращения в секунду и в момент времени составляет угол относительно положительной действительной оси. $A$ $f_{0}$ $t=0$ $\theta$

Затем форму волны можно рассматривать как проекцию этого вектора на действительную ось. $x(t)$

Модуляция AM: векторная диаграмма одиночного тона частоты $f_{m}$
Модуляция FM: векторная диаграмма одного тона частоты $f_{m}$

См. Также [ править ]

Синфазная и квадратурная составляющие
Аналитический сигнал , обобщение векторов для изменяющихся во времени амплитуды, фазы и частоты.
- Сложный конверт
Фазовый коэффициент , вектор единичной величины

Сноски [ править ]

^
- i - мнимая единица ( ). $i^{2}=-1$
- В текстах по электротехнике воображаемая единица часто обозначается буквой j.
- Частота волны в Гц равна . $\omega /2\pi$
^ Это вытекает из, что означаетчто комплекс экспоненциальное является собственной функцией от производной операции. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(e^{i\omega t})=i\omega e^{i\omega t}$

^

Доказательство

${\frac {\mathrm {d} \ \operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}={\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}$

( Уравнение 1 )

Поскольку это должно выполняться для всех , в частности:, отсюда следует, что $t\,$ $t-{\frac {\pi }{2\omega }}\,$

${\frac {\mathrm {d} \ \operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}={\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}$

( Уравнение 2 )

Также легко увидеть, что

{\frac {\mathrm {d} \ \operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm {d} t}}=\operatorname {Re} \left\{{\frac {\mathrm {d} \left(V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{\mathrm {d} t}}\right\}=\operatorname {Re} \left\{i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}

{\frac {\mathrm {d} \ \operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm {d} t}}=\operatorname {Im} \left\{{\frac {\mathrm {d} \left(V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{\mathrm {d} t}}\right\}=\operatorname {Im} \left\{i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}

Подставляя их в уравнения 1 и 2 , умножая уравнение 2 на и складывая оба уравнения, получаем $i,\,$

i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{c}\cdot e^{i\omega t}={\frac {1}{RC}}V_{s}\cdot e^{i\omega t}

\left(i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}\right)\cdot e^{i\omega t}=\left({\frac {1}{RC}}V_{s}\right)\cdot e^{i\omega t}

i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}\quad \quad (\mathrm {QED} )

Ссылки [ править ]

^ Хью Фокс; Уильям Болтон (2002). Математика для инженеров и технологов . Баттерворт-Хайнеманн. п. 30 . ISBN 978-0-08-051119-1.
^ Клей Роулинс (2000). Основные схемы переменного тока (2-е изд.). Newnes. п. 124 . ISBN 978-0-08-049398-5.
^ Bracewell, Рон. Преобразование Фурье и его приложения . McGraw-Hill, 1965. стр. 269.
^ KS Суреш Кумар (2008). Электрические схемы и сети . Pearson Education India. п. 272. ISBN. 978-81-317-1390-7.
^ Kequian Чжан; Децзе Ли (2007). Электромагнитная теория для микроволн и оптоэлектроники (2-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 13. ISBN 978-3-540-74296-8.
^ a b c Дж. Хиндмарш (1984). Электрические машины и их применение (4-е изд.). Эльзевир. п. 58. ISBN 978-1-4832-9492-6.
^ Уильям Дж. Экклс (2011). Прагматическая электротехника: основы . Издатели Morgan & Claypool. п. 51. ISBN 978-1-60845-668-0.
^ а б Ричард К. Дорф; Джеймс А. Свобода (2010). Введение в электрические схемы (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 661 . ISBN 978-0-470-52157-1.
^ Аллан Х. Роббинс; Вильгельм Миллер (2012). Цепной анализ: теория и практика (5-е изд.). Cengage Learning. п. 536. ISBN. 1-285-40192-1.
^ a b c Вон Ю. Ян; Сын С. Ли (2008). Схемотехнические системы с MATLAB и PSpice . Джон Вили и сыновья. С. 256–261. ISBN 978-0-470-82240-1.
^ Нильссон, Джеймс Уильям; Ридель, Сьюзан А. (2008). Электрические схемы (8-е изд.). Прентис Холл. п. 338. ISBN 0-13-198925-1., Глава 9, страница 338
^ Singh, Равиш R (2009). «Раздел 4.5: Фазорное представление переменных величин». Электрические сети . Макгроу Хилл Высшее образование. п. 4.13. ISBN 0070260966.
^ Клейтон, Пол (2008). Введение в электромагнитную совместимость . Вайли. п. 861. ISBN 978-81-265-2875-2.
^ де Оливейра, Х.М. и Нуньес, Ф. Д. О фазорных путях в аналогичных амплитудных модуляциях . Международный журнал исследований в области инженерии и науки (IJRES) Том 2, № 1, январь, стр. 11–18, 2014 г. ISSN 2320-9364

Дальнейшее чтение [ править ]

Дуглас К. Джанколи (1989). Физика для ученых и инженеров . Прентис Холл. ISBN 0-13-666322-2.
Дорф, Ричард С .; Талларида, Рональд Дж. (1993-07-15). Карманный справочник формул электротехники (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. С. 152–155. ISBN 0849344735.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме фазоров .

Фазорная фабрика
Визуальное представление фазоров
Полярное и прямоугольное обозначение

[12] 
i - мнимая единица ( ). $i^{2}=-1$
В текстах по электротехнике воображаемая единица часто обозначается буквой j.
Частота волны в Гц равна . $\omega /2\pi$

[2] - мнимая единица ( ). $i^{2}=-1$

[3] В текстах по электротехнике воображаемая единица часто обозначается буквой j.

[4] Частота волны в Гц равна . $\omega /2\pi$

[14] Это вытекает из, что означаетчто комплекс экспоненциальное является собственной функцией от производной операции. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(e^{i\omega t})=i\omega e^{i\omega t}$

[15] 
Доказательство
${\frac {\mathrm {d} \ \operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}={\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}$

( Уравнение 1 )
Поскольку это должно выполняться для всех , в частности:, отсюда следует, что $t\,$ $t-{\frac {\pi }{2\omega }}\,$
${\frac {\mathrm {d} \ \operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}={\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}$

( Уравнение 2 )
Также легко увидеть, что
${\frac {\mathrm {d} \ \operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm {d} t}}=\operatorname {Re} \left\{{\frac {\mathrm {d} \left(V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{\mathrm {d} t}}\right\}=\operatorname {Re} \left\{i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}$
${\frac {\mathrm {d} \ \operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\}}{\mathrm {d} t}}=\operatorname {Im} \left\{{\frac {\mathrm {d} \left(V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right)}{\mathrm {d} t}}\right\}=\operatorname {Im} \left\{i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}\right\}$

Подставляя их в уравнения 1 и 2 , умножая уравнение 2 на и складывая оба уравнения, получаем $i,\,$
$i\omega V_{c}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{c}\cdot e^{i\omega t}={\frac {1}{RC}}V_{s}\cdot e^{i\omega t}$
$\left(i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}\right)\cdot e^{i\omega t}=\left({\frac {1}{RC}}V_{s}\right)\cdot e^{i\omega t}$
$i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}\quad \quad (\mathrm {QED} )$

[FoxBolton2002-1] Хью Фокс; Уильям Болтон (2002). Математика для инженеров и технологов . Баттерворт-Хайнеманн. п. 30 . ISBN 978-0-08-051119-1.

[Rawlins2000-2] Клей Роулинс (2000). Основные схемы переменного тока (2-е изд.). Newnes. п. 124 . ISBN 978-0-08-049398-5.

[Bracewell-3] Bracewell, Рон. Преобразование Фурье и его приложения . McGraw-Hill, 1965. стр. 269.

[Kumar2008-4] KS Суреш Кумар (2008). Электрические схемы и сети . Pearson Education India. п. 272. ISBN. 978-81-317-1390-7.

[ZhangLi2007-5] Kequian Чжан; Децзе Ли (2007). Электромагнитная теория для микроволн и оптоэлектроники (2-е изд.). Springer Science & Business Media. п. 13. ISBN 978-3-540-74296-8.

[Hindmarsh2014-6] Дж. Хиндмарш (1984). Электрические машины и их применение (4-е изд.). Эльзевир. п. 58. ISBN 978-1-4832-9492-6.

[Eccles2011-7] Уильям Дж. Экклс (2011). Прагматическая электротехника: основы . Издатели Morgan & Claypool. п. 51. ISBN 978-1-60845-668-0.

[DorfSvoboda2010-8] а б Ричард К. Дорф; Джеймс А. Свобода (2010). Введение в электрические схемы (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 661 . ISBN 978-0-470-52157-1.

[RobbinsMiller2012-9] Аллан Х. Роббинс; Вильгельм Миллер (2012). Цепной анализ: теория и практика (5-е изд.). Cengage Learning. п. 536. ISBN. 1-285-40192-1.

[YangLee2008-10] Вон Ю. Ян; Сын С. Ли (2008). Схемотехнические системы с MATLAB и PSpice . Джон Вили и сыновья. С. 256–261. ISBN 978-0-470-82240-1.

[11] Нильссон, Джеймс Уильям; Ридель, Сьюзан А. (2008). Электрические схемы (8-е изд.). Прентис Холл. п. 338. ISBN 0-13-198925-1., Глава 9, страница 338

[13] Singh, Равиш R (2009). «Раздел 4.5: Фазорное представление переменных величин». Электрические сети . Макгроу Хилл Высшее образование. п. 4.13. ISBN 0070260966.

[16] Клейтон, Пол (2008). Введение в электромагнитную совместимость . Вайли. п. 861. ISBN 978-81-265-2875-2.

[IJRES-17] де Оливейра, Х.М. и Нуньес, Ф. Д. О фазорных путях в аналогичных амплитудных модуляциях . Международный журнал исследований в области инженерии и науки (IJRES) Том 2, № 1, январь, стр. 11–18, 2014 г. ISSN 2320-9364

[1]