Аналитический сигнал

В математике и обработке сигналов , аналитический сигнал является комплексной функцией , которая не имеет отрицательных частотные компонентов. ^[1]   Реальная и мнимая части аналитического сигнала - это действительные функции, связанные друг с другом преобразованием Гильберта .

Аналитическое представление о вещественной функции является аналитическим сигналом , содержащее исходную функция и ее преобразованием Гильберта. Это представление облегчает многие математические манипуляции. Основная идея состоит в том, что отрицательные частотные компоненты преобразования Фурье (или спектра ) действительной функции являются лишними из-за эрмитовой симметриитакого спектра. Эти отрицательные частотные составляющие можно отбросить без потери информации, при условии, что вместо этого вы захотите иметь дело с комплексной функцией. Это делает определенные атрибуты функции более доступными и облегчает получение методов модуляции и демодуляции, таких как односторонняя полоса.

Пока управляемая функция не имеет отрицательных частотных составляющих (то есть она все еще аналитическая ), преобразование из комплексного обратно в реальное - это просто вопрос отбрасывания мнимой части. Аналитическое представление является обобщением концепции векторов : ^{[2] в} то время как вектор ограничен неизменными во времени амплитудой, фазой и частотой, аналитический сигнал допускает параметры, изменяющиеся во времени.

Определение [ править ]

Передаточная функция для создания аналитического сигнала

Если - вещественная функция с преобразованием Фурье , то преобразование имеет эрмитову симметрию относительно оси:${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}$

где это комплексно сопряженное из . Функция:${\displaystyle S(f)^{*}}$${\displaystyle S(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&\triangleq {\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}$

куда

• ${\displaystyle \operatorname {u} (f)}$- ступенчатая функция Хевисайда ,
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}$- знаковая функция ,

содержит только неотрицательные частотные составляющие . И операция обратима из-за эрмитовой симметрии :${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle S(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}$

Аналитический сигнал о является обратным преобразованием Фурье :${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{\text{convolution}}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}$

куда

• ${\displaystyle {\hat {s}}(t)\triangleq \operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}$является преобразование Гильберта из ;${\displaystyle s(t)}$
• ${\displaystyle *}$- символ свертки ;
• ${\displaystyle j}$это мнимая единица .

Отмечая, что это также может быть выражено как операция фильтрации, которая непосредственно удаляет отрицательные частотные составляющие :${\displaystyle s(t)=s(t)*\delta (t),}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)*\underbrace {\left[\delta (t)+j{1 \over \pi t}\right]} _{{\mathcal {F}}^{-1}\{2u(f)\}}.}$

Отрицательные частотные компоненты [ править ]

Поскольку восстановление отрицательных частотных компонентов - это простой вопрос, от которого можно отказаться, что может показаться нелогичным. Также можно отметить, что комплексно-сопряженное выражение содержит только отрицательные частотные составляющие. И поэтому восстанавливает подавленные положительные частотные составляющие. Другая точка зрения состоит в том, что мнимая составляющая в любом случае - это член, который вычитает частотные составляющие из s (t). Оператор снимает вычитание, делая вид добавления новых компонентов.${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$${\displaystyle \operatorname {Re} }$

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$   куда  ${\displaystyle \omega >0.}$

Потом:

${\displaystyle {\hat {s}}(t)=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.}$  Третье равенство - это формула Эйлера .

Следствие из формулы Эйлера является     В общем, аналитическом представлении простой синусоиды получает путем экспрессии в терминах комплексно-экспонент, отбрасывая частоты отрицательной составляющей, и удвоения положительного частотного компонента. Аналитическое представление суммы синусоид - это сумма аналитических представлений отдельных синусоид.${\displaystyle \cos(\omega t)={\tfrac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}$

Пример 2 [ править ]

Здесь мы используем формулу Эйлера, чтобы идентифицировать и отбросить отрицательную частоту.

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)}$

Потом:

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

Пример 3 [ править ]

Это еще один пример использования метода преобразования Гильберта для удаления отрицательных частотных составляющих. Отметим, что нам ничего не мешает вычислить для комплексного значения . Но это может быть не обратимое представление, потому что исходный спектр в целом несимметричен. Таким образом, за исключением этого примера, общее обсуждение предполагает действительное значение .${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$, где .${\displaystyle \omega >0}$

Потом:

${\displaystyle {\hat {s}}(t)=je^{-j\omega t},}$

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.}$

Свойства [ править ]

Мгновенная амплитуда и фаза [ править ]

Аналитический сигнал также может быть выражен в полярных координатах :

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

где введены следующие изменяющиеся во времени величины:

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|}$называется мгновенной амплитудой или огибающей ;
• ${\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$называется мгновенной фазой или фазовым углом .

На прилагаемой диаграмме синяя кривая отображает, а красная кривая - соответствующие .${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$

Производная по времени развернутой мгновенной фазы имеет единицы радиан / секунду и называется мгновенной угловой частотой :

${\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

Таким образом, мгновенная частота (в герцах ) равна:

${\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$  ^[3]

Мгновенная амплитуда, мгновенная фаза и частота в некоторых приложениях используются для измерения и обнаружения локальных характеристик сигнала. Другое применение аналитического представления сигнала относится к демодуляции модулированных сигналов . Полярные координаты удобно разделяют эффекты амплитудной модуляции и фазовой (или частотной) модуляции и эффективно демодулируют определенные виды сигналов.

Сложный конверт / основная полоса [ править ]

Аналитические сигналы часто смещены по частоте (преобразованы с понижением частоты) в сторону 0 Гц, что может создавать [несимметричные] отрицательные частотные компоненты:

${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$

где - произвольная опорная угловая частота. ^[2]${\displaystyle \omega _{0}}$

Эта функция имеет разные названия, например, сложная огибающая и сложная основная полоса . Сложный конверт не уникален; это определяется выбором . Эта концепция часто используется при работе с сигналами полосы пропускания . Если это модулированный сигнал, его можно приравнять к его несущей частоте . ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle \omega _{0}}$

В других случаях выбирается где-то посередине желаемой полосы пропускания. Тогда простой фильтр нижних частот с реальными коэффициентами может вырезать интересующую часть. Другой мотив - снизить максимальную частоту, что снижает минимальную скорость выборки без псевдонимов. Сдвиг частоты не подрывает математическую управляемость представления сложного сигнала. Таким образом, в этом смысле сигнал, преобразованный с понижением частоты, остается аналитическим . Однако восстановление представления с действительным знаком - это уже не просто извлечение реального компонента. Может потребоваться преобразование с повышением частоты , и если сигнал был дискретизирован (дискретно), интерполяция ( повышающая дискретизация)${\displaystyle \omega _{0}}$) также может быть необходимо, чтобы избежать сглаживания .

Если выбрана частота больше, чем самая высокая частота, то положительных частот не будет. В этом случае извлечение реального компонента восстанавливает их, но в обратном порядке; низкочастотные компоненты теперь высокие, и наоборот. Это может быть использовано для демодуляции типа сигнала с одной боковой полосой, называемого нижней боковой полосой или инвертированной боковой полосой .${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),}$${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}$

Другие варианты опорной частоты

Иногда выбирается минимизировать${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$

В качестве альтернативы можно выбрать ^[4] , чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку при линейной аппроксимации развернутой мгновенной фазы :${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \phi (t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$

или другая альтернатива (для некоторого оптимума ):${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$

В области частотно-временной обработки сигналов было показано, что аналитический сигнал был необходим для определения распределения Вигнера – Вилля, чтобы метод мог иметь желаемые свойства, необходимые для практических приложений. ^[5]

Иногда словосочетанию «сложная огибающая» дают более простое значение комплексной амплитуды (постоянной частоты) фазора; ^{[a] [b] в} других случаях комплексная огибающая, как определено выше, интерпретируется как зависящее от времени обобщение комплексной амплитуды. ^[c] Их соотношение мало чем отличается от реального случая: переменная огибающая, обобщающая постоянную амплитуду .${\displaystyle s_{m}(t)}$

Расширения аналитического сигнала до сигналов нескольких переменных [ править ]

Концепция аналитического сигнала четко определена для сигналов одной переменной, которой обычно является время. Для сигналов двух или более переменных аналитический сигнал может быть определен по-разному, и ниже представлены два подхода.

Многомерный аналитический сигнал на основе специального направления [ править ]

Прямое обобщение аналитического сигнала может быть выполнено для многомерного сигнала после того, как будет установлено, что в данном случае подразумевается под отрицательными частотами . Это можно сделать, введя единичный вектор в область Фурье и пометив любой частотный вектор как отрицательный, если . Затем получают аналитический сигнал путем удаления всех отрицательных частот и умножения результата на 2 в соответствии с процедурой, описанной для случая сигналов с одной переменной. Однако нет конкретного направления, для которого нужно было бы выбирать, если нет каких-либо дополнительных ограничений. Следовательно, выбор зависит от конкретного случая или конкретного приложения.${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$

Моногенный сигнал [ править ]

Действительная и мнимая части аналитического сигнала соответствуют двум элементам векторно-значного моногенного сигнала , как это определено для сигналов с одной переменной. Однако моногенный сигнал может быть расширен до произвольного числа переменных прямым способом, создавая ( n + 1) -мерную векторнозначную функцию для случая n- переменных сигналов.

См. Также [ править ]

• Практические соображения по вычислению преобразований Гильберта
• Отрицательная частота

Приложения [ править ]

• Модуляция с одной боковой полосой
• Квадратурный фильтр
• Причинный фильтр

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Этот раздел для дальнейшего чтения может содержать неуместные или чрезмерные предложения, которые могут не соответствовать рекомендациям Википедии . Пожалуйста , убедитесь , что только разумное количество из сбалансированных , актуальные , надежных и известных дальнейших предложений чтений приведены; удаление менее актуальных или повторяющихся публикаций с той же точкой зрения, где это необходимо. Рассмотрите возможность использования соответствующих текстов в качестве встроенных источников или создания отдельной библиографической статьи . ( Октябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Леон Коэн, Частотно-временной анализ , Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
• Фредерик В. Кинг, Преобразования Гильберта , т. II, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2009.
• Б. Боашаш, Частотно-временной анализ и обработка сигналов: исчерпывающий справочник , издательство Elsevier Science, Оксфорд, 2003.

Внешние ссылки [ править ]

• Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта