Атом Габора

В прикладной математике , атомов Габора , или функций Габора , являются функции , используемые в анализе предложенной Денниса Габора в 1946 году , в которой семейство функций строится из переводов и модуляций порождающей функции.

Обзор [ править ]

В 1946 году ^[1] Деннис Габор предложил идею использования гранулированной системы для воспроизведения звука . В своей работе Габор обсуждал проблемы анализа Фурье . Хотя он обнаружил, что математика верна, она не отражает поведения звука в мире, потому что звуки, такие как звук сирены, имеют переменные частоты с течением времени. Другой проблемой было лежащее в основе предположение, поскольку мы используем анализ синусоидальных волн, что рассматриваемый сигнал имеет бесконечную продолжительность, хотя звуки в реальной жизни имеют ограниченную продолжительность - см. Частотно-временной анализ . Габор применил идеи квантовой физикизвук, позволяющий провести аналогию между звуком и квантами. Он предложил математический метод сведения анализа Фурье к ячейкам. Его исследования были направлены на передачу информации по каналам связи. Габор увидел в своих атомах возможность передавать ту же информацию, но с меньшим количеством данных. Вместо передачи самого сигнала можно было бы передавать только коэффициенты, которые представляют тот же сигнал, используя его атомы.

Математическое определение [ править ]

Функция Габора определяется формулой

${\ displaystyle g _ {\ ell, n} (x) = g (xa \ ell) e ^ {2 \ pi ibnx}, \ quad - \ infty <\ ell, n <\ infty,}$

где a и b - константы, а g - фиксированная функция в L ² ( R ) , такая что || г || = 1. В зависимости от , и , система Габора может быть основой для L ² ( R ), которое определяется трансляциями и модуляциями. Это похоже на вейвлет-систему, которая может формировать основу за счет расширения и трансляции материнского вейвлета.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle g}$

Когда кто-то берет

${\displaystyle g(t)=A\cdot e^{-\pi t^{2}}=A\cdot \exp(-\pi t^{2})}$

получается преобразование Габора .

См. Также [ править ]

• Фильтр Габора
• Вейвлет Габора
• Фурье-анализ
• Вейвлет
• Вейвлет Морле

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ханс Г. Файхтингер, Томас Штромер: «Анализ и алгоритмы Габора», Биркхойзер, 1998; ISBN 0-8176-3959-4 
• Ханс Г. Файхтингер, Томас Штромер: «Достижения в анализе Габора», Биркхойзер, 2003; ISBN 0-8176-4239-0 
• Карлхайнц Грёчениг: «Основы частотно-временного анализа», Birkhäuser, 2001; ISBN 0-8176-4022-3 

Внешние ссылки [ править ]

• Домашняя страница NuHAG [Группа численного гармонического анализа]