Вейвлет

Вейвлет является волна -как колебания с амплитудой , которая начинается в нуле, увеличивается, а затем уменьшается до нуля. Обычно это можно визуализировать как «кратковременное колебание», подобное тому, которое регистрирует сейсмограф или кардиомонитор . Как правило, вейвлеты намеренно создаются с особыми свойствами, которые делают их полезными для обработки сигналов .

Сейсмический вейвлет

Например, может быть создан вейвлет с частотой средней до и короткой продолжительностью примерно 32 ноты . Если этот вейвлет должен быть свернут с сигналом, созданным из записи мелодии, то результирующий сигнал будет полезен для определения того, когда в песне играется средняя нота C. Математически вейвлет будет коррелировать с сигналом, если неизвестный сигнал содержит информацию аналогичной частоты. Эта концепция корреляции лежит в основе многих практических приложений теории всплесков.

В качестве математического инструмента вейвлеты могут использоваться для извлечения информации из множества различных типов данных, включая, помимо прочего, аудиосигналы и изображения. Наборы вейвлетов обычно необходимы для полного анализа данных. Набор «дополнительных» вейвлетов будет разлагать данные без пропусков или перекрытий, так что процесс разложения будет математически обратимым. Таким образом, наборы дополнительных вейвлетов полезны в основанных на вейвлетах алгоритмах сжатия / декомпрессии, где желательно восстановить исходную информацию с минимальными потерями.

С формальной точки зрения, данное представление является вейвлет - серии представление интегрируемым квадратом функции по отношению либо к полному , ортонормированному набор базисных функций , или сверхполного набор или кадра векторного пространства , для гильбертова пространства квадратично интегрируемых функций. Это достигается за счет когерентных состояний .

Имя [ редактировать ]

Слово вейвлет десятилетиями использовалось в цифровой обработке сигналов и в геофизике. ^[1] Эквивалентное французское слово ondelette, означающее «маленькая волна», использовалось Морле и Гроссманном в начале 1980-х годов.

Теория вейвлетов [ править ]

Теория вейвлетов применима к нескольким предметам. Все вейвлет-преобразования можно рассматривать как формы частотно-временного представления для (аналоговых) сигналов с непрерывным временем и, таким образом, связаны с гармоническим анализом . Дискретное вейвлет-преобразование (непрерывное во времени) дискретного (дискретизированного) сигнала с использованием дискретных наборов фильтров диадической (октавной полосы) конфигурации является вейвлет-приближением этого сигнала. Коэффициенты такого банка фильтров называются вейвлет-коэффициентами и масштабными коэффициентами в номенклатуре вейвлетов. Эти наборы фильтров могут содержать либо конечную импульсную характеристику (FIR), либо бесконечную импульсную характеристику.(БИХ) фильтры. Вейвлеты, образующие непрерывное вейвлет-преобразование (CWT), подчиняются принципу неопределенности соответствующей теории дискретизации анализа Фурье: учитывая сигнал с некоторым событием в нем, нельзя одновременно присвоить этому событию точное время и масштаб частотной характеристики. Произведение неопределенностей шкалы времени и частотной характеристики имеет нижнюю границу. Таким образом, на скейлограмме непрерывного вейвлет-преобразования этого сигнала такое событие отмечает всю область в плоскости шкалы времени, а не только одну точку. Кроме того, дискретные вейвлет-основы можно рассматривать в контексте других форм принципа неопределенности. ^{[2] [3] [4] [5]}

Вейвлет-преобразования в целом делятся на три класса: непрерывные, дискретные и основанные на множественном разрешении.

Непрерывные вейвлет-преобразования (параметры непрерывного сдвига и масштабирования) [ править ]

В непрерывных вейвлет - преобразований , данный сигнал конечной энергии проецируется на непрерывное семейство частотных диапазонов (или аналогичных подпространств L р функции пространства L ² ( R )). Например, сигнал может быть представлен на каждой полосе частот в форме [ f , 2 f ] для всех положительных частот f > 0. Затем исходный сигнал может быть восстановлен путем подходящего интегрирования по всем результирующим частотным компонентам.

Полосы частот или подпространство (поддиапазоны) масштабируется версия подпространства в масштабе 1. Этого подпространство , в свою очередь, в большинстве ситуаций , порожденных сдвигами одного генерирующей функции ф в L ² ( R ), с материнским вейвлетом . Для примера масштабирования одной полосы частот [1, 2] эта функция

${\ displaystyle \ psi (t) = 2 \, \ operatorname {sinc} (2t) - \, \ operatorname {sinc} (t) = {\ frac {\ sin (2 \ pi t) - \ sin (\ pi t)} {\ pi t}}}$

с (нормализованной) функцией sinc . Это, Мейер и два других примера материнских вейвлетов:

Подпространство масштаба a или полосы частот [1 / a , 2 / a ] генерируется функциями (иногда называемыми дочерними вейвлетами )

${\ displaystyle \ psi _ {a, b} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ psi \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right),}$

где a положительно и определяет масштаб, а b - любое действительное число и определяет сдвиг. Пара ( , б ) определяет точку в правой полуплоскости R ₊ × R .

Тогда проекция функции x на подпространство масштаба a имеет вид

${\ displaystyle x_ {a} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} WT _ {\ psi} \ {x \} (a, b) \ cdot \ psi _ {a, b} (t) \ , дб}$

с вейвлет-коэффициентами

${\ Displaystyle WT _ {\ psi} \ {x \} (a, b) = \ langle x, \ psi _ {a, b} \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R}} x (t) {\ psi _ {a, b} (t)} \, dt.}$

Для анализа сигнала x можно собрать вейвлет-коэффициенты в масштабную диаграмму сигнала.

См. Список некоторых непрерывных вейвлетов .

Дискретные вейвлет-преобразования (дискретные параметры сдвига и масштабирования, непрерывные во времени) [ править ]

С вычислительной точки зрения невозможно проанализировать сигнал с использованием всех вейвлет-коэффициентов, поэтому можно задаться вопросом, достаточно ли выбрать дискретное подмножество верхней полуплоскости, чтобы иметь возможность восстановить сигнал из соответствующих вейвлет-коэффициентов. Одной из таких систем является аффинная система для некоторых реальных параметров > 1, б > 0. Соответствующее дискретное подмножество полуплоскости состоит из всех точек ( в ^м , на ^м б ) с т , п в Z . Соответствующие дочерние вейвлеты теперь представлены как

${\displaystyle \psi _{m,n}(t)={\frac {1}{\sqrt {a^{m}}}}\psi \left({\frac {t-nb}{a^{m}}}\right).}$

Достаточное условие восстановления любого сигнала x конечной энергии по формуле

${\displaystyle x(t)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }\sum _{n\in \mathbb {Z} }\langle x,\,\psi _{m,n}\rangle \cdot \psi _{m,n}(t)}$

является то , что функции образуют ортогональный базис в L ² ( R ).${\displaystyle \{\psi _{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

Дискретные вейвлет-преобразования на основе множественного разрешения (непрерывные во времени) [ править ]

В любом дискретизированном вейвлет-преобразовании существует только конечное число вейвлет-коэффициентов для каждой ограниченной прямоугольной области в верхней полуплоскости. Тем не менее, каждый коэффициент требует вычисления интеграла. В особых ситуациях этой числовой сложности можно избежать, если масштабированные и сдвинутые вейвлеты образуют анализ с множественным разрешением . Это означает , что должен существовать вспомогательную функцию, то отец вейвлет φ в L ² ( R ), и что представляет собой целое число. Типичный выбор - a = 2 и b = 1. Самая известная пара вейвлетов отца и матери - это Добеши.Вейвлет с 4 нажатиями. Обратите внимание, что не каждый ортонормированный дискретный вейвлет-базис может быть связан с анализом с множественным разрешением; например, вейвлет Журна не допускает анализа с множественным разрешением. ^[6]

Из вейвлетов матери и отца строятся подпространства

${\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}t-n)}$

${\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ where }}\psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}t-n).}$

Отцовский вейвлет сохраняет свойства временной области, а материнский вейвлет сохраняет свойства частотной области.${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$

Из них требуется, чтобы последовательность

${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$

образует кратномасштабную анализ из L ² , и что подпространства являются ортогональным «различием» из приведенной выше последовательности, то есть, W _т является ортогональным дополнением V _м внутри подпространства V _{м -1} ,${\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots \dots }$

${\displaystyle V_{m}\oplus W_{m}=V_{m-1}.}$

По аналогии с теоремой дискретизации можно сделать вывод, что пространство V _m с расстоянием дискретизации 2 ^м более или менее покрывает полосу частот модулирующих сигналов от 0 до 2 ^{- m -1} . В качестве ортогонального дополнения W _m примерно покрывает полосу [2 ^{- m −1} , 2 ^{- m} ].

Из этих включений и соотношений ортогональности, особенно , следует существованию последовательностей и которые удовлетворяют идентичности${\displaystyle V_{0}\oplus W_{0}=V_{-1}}$${\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle g_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$так что и${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n),}$

${\displaystyle h_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$ так что ${\displaystyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n).}$

Вторая идентичность первой пары является уточняющим уравнением для отцовского вейвлета φ. Обе пары тождеств составляют основу алгоритма быстрого вейвлет-преобразования .

Из анализа кратномасштабного происходит ортогональное разложение пространства L ² , как

${\displaystyle L^{2}=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}-1}\oplus W_{j_{0}-2}\oplus W_{j_{0}-3}\oplus \dots }$

Для любого сигнала или функции это дает представление в базисных функциях соответствующих подпространств как${\displaystyle S\in L^{2}}$

${\displaystyle S=\sum _{k}c_{j_{0},k}\phi _{j_{0},k}+\sum _{j\leq j_{0}}\sum _{k}d_{j,k}\psi _{j,k}}$

где коэффициенты

${\displaystyle c_{j_{0},k}=\langle S,\phi _{j_{0},k}\rangle }$ и

${\displaystyle d_{j,k}=\langle S,\psi _{j,k}\rangle }$.

Материнский вейвлет [ править ]

Для практических приложений и из соображений эффективности предпочтение отдается непрерывно дифференцируемым функциям с компактной опорой в качестве материнского (прототипа) вейвлета (функций). Однако, чтобы удовлетворить аналитические требования (в непрерывном WT) и в целом по теоретическим причинам, каждый выбирает вейвлет-функции из подпространства пространства. Это пространство измеримых функций , которые (по абсолютной величине) интегрируемы с квадратом :${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ).}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty }$ и ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty .}$

Пребывание в этом пространстве гарантирует, что можно сформулировать условия нулевого среднего и квадратичной нормы один:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$ - условие нулевого среднего, а

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt=1}$ является условием квадратичной нормы один.

Чтобы ψ было вейвлетом для непрерывного вейвлет-преобразования (см. Там точную формулировку), материнский вейвлет должен удовлетворять критерию допустимости (грубо говоря, разновидности полудифференцируемости), чтобы получить стабильно обратимое преобразование.

Для дискретного вейвлет - преобразование , необходимо по крайней мере , при условии , что вейвлет - серии является представлением единицы в пространство L ² ( R ). Большинство конструкций дискретного WT используют анализ с несколькими разрешениями , который определяет вейвлет с помощью функции масштабирования. Эта функция масштабирования сама по себе является решением функционального уравнения.

В большинстве ситуаций полезно ограничить ψ как непрерывную функцию с большим числом M исчезающих моментов, т. Е. Для всех целых m < M

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0.}$

Материнский вейвлет масштабируется (или расширяется) с коэффициентом a и переводится (или смещается) с коэффициентом b, чтобы дать (согласно исходной формулировке Морле):

${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({t-b \over a}\right).}$

Для непрерывного ВП пара ( a , b ) изменяется во всей полуплоскости R ₊ × R ; для дискретного WT эта пара меняется на его дискретном подмножестве, которое также называется аффинной группой .

Эти функции часто неправильно называют базисными функциями (непрерывного) преобразования. Фактически, как и в случае непрерывного преобразования Фурье, в непрерывном вейвлет-преобразовании нет основы. Частотно-временная интерпретация использует несколько иную формулировку (по Дельпрату).

Ограничение ：

(1) когда a1 = a и b1 = b,${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{a1,b1}(t)\varphi \left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$

(2) имеет конечный интервал времени${\displaystyle \Psi (t)}$

Сравнение с преобразованием Фурье (непрерывное время) [ править ]

Вейвлет-преобразование часто сравнивают с преобразованием Фурье , в котором сигналы представлены в виде суммы синусоид. Фактически, преобразование Фурье можно рассматривать как частный случай непрерывного вейвлет-преобразования с выбором материнского вейвлета . Основное отличие в целом состоит в том, что вейвлеты локализованы как по времени, так и по частоте, тогда как стандартное преобразование Фурье локализовано только по частоте . Кратковременное преобразование Фурье (КК) похож на вейвлет - преобразования, в том , что это также время и частота локализованы, но есть проблемы с частотой / разрешением по времени компромисс.${\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}$

В частности, предполагая прямоугольную область окна, можно думать о STFT как о преобразовании с немного другим ядром.

${\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}}$

где часто можно записать как , где и u соответственно обозначают длину и временное смещение оконной функции. Используя теорему Парсеваля , можно определить энергию вейвлета как${\displaystyle g(t-u)}$${\displaystyle {\rm {{rect}\left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}}}$${\displaystyle \Delta _{t}}$

${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$

Отсюда квадрат временной поддержки окна, смещенного по времени u, определяется как

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}$

и квадрат спектральной опоры окна, действующего на частоту ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \sigma _{\omega }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$

Умножение с прямоугольным окном во временной области соответствует свертке с функцией в частотной области, что приводит к ложным артефактам звонка для коротких / локализованных временных окон. С преобразованием Фурье с непрерывным временем, и эта свертка выполняется с дельта-функцией в пространстве Фурье, что приводит к истинному преобразованию Фурье сигнала . Оконной функцией может быть какой-либо другой аподизирующий фильтр , например гауссовский . Выбор оконной функции повлияет на ошибку аппроксимации относительно истинного преобразования Фурье.${\displaystyle {\rm {sinc(\Delta _{t}\omega )}}}$${\displaystyle \Delta _{t}\rightarrow \infty }$${\displaystyle x(t)}$

С помощью STFT нельзя превышать произведение времени и ширины ячейки с заданным разрешением. Все базовые элементы STFT поддерживают равномерную спектральную и временную поддержку для всех временных сдвигов или смещений, тем самым достигая одинакового разрешения во времени для низких и высоких частот. Разрешение определяется исключительно шириной выборки.

В противоположность этому , вейвлет - преобразование'S multiresolutional свойства обеспечивают большие временные опоры для более низких частот, сохраняя при этом короткие временные ширины для более высоких частот с помощью масштабных свойств вейвлет - преобразования. Это свойство расширяет обычный частотно-временной анализ на анализ в масштабе времени. ^[7]

Дискретное вейвлет-преобразование является менее сложным в вычислительном отношении , занимая время O ( N ) по сравнению с O ( N  log  N ) для быстрого преобразования Фурье . Это вычислительное преимущество не присуще преобразованию, но отражает выбор логарифмического деления частоты, в отличие от равномерного частотного деления БПФ (быстрое преобразование Фурье), которое использует те же базисные функции, что и ДПФ (дискретное преобразование Фурье). . ^[8] Также важно отметить, что эта сложность применима только тогда, когда размер фильтра не имеет отношения к размеру сигнала. Вейвлет без компактной опоры, такой как вейвлет Шеннонапотребует O ( N ² ). (Например, логарифмическое преобразование Фурье также существует со сложностью O ( N ), но исходный сигнал должен быть дискретизирован логарифмически по времени, что полезно только для определенных типов сигналов. ^[9] )

Определение вейвлета [ править ]

Существует несколько способов определения вейвлета (или семейства вейвлетов).

Масштабирующий фильтр [ править ]

Ортогональный вейвлет полностью определяется масштабирующим фильтром - фильтром с конечной импульсной характеристикой нижних частот (FIR) длиной 2 N и суммой 1. В биортогональных вейвлетах определены отдельные фильтры разложения и восстановления.

Для анализа с ортогональными вейвлетами фильтр верхних частот вычисляется как квадратурный зеркальный фильтр нижних частот, а фильтры восстановления являются обратными по времени фильтрами разложения.

Вейвлеты Добеши и Симлета могут быть определены с помощью масштабирующего фильтра.

Функция масштабирования [ править ]

Вейвлеты определяются функцией вейвлета ψ ( t ) (то есть материнским вейвлетом) и функцией масштабирования φ ( t ) (также называемой отцовским вейвлетом) во временной области.

Вейвлет-функция по сути является полосовым фильтром, масштабирование которого для каждого уровня уменьшает вдвое его полосу пропускания. Это создает проблему, заключающуюся в том, что для покрытия всего спектра потребуется бесконечное количество уровней. Функция масштабирования фильтрует самый низкий уровень преобразования и обеспечивает охват всего спектра. См. ^[10] для подробного объяснения.

Для вейвлета с компактной опорой φ ( t ) можно считать конечной по длине, и она эквивалентна масштабному фильтру g .

Вейвлеты Мейера могут быть определены с помощью функций масштабирования

Функция вейвлета [ править ]

Вейвлет имеет представление только во временной области как вейвлет-функция ψ ( t ).

Например, вейвлеты в мексиканской шляпе можно определить с помощью вейвлет-функции. См. Список из нескольких непрерывных вейвлетов .

История [ править ]

Развитие вейвлетов можно связать с несколькими отдельными направлениями мысли, начиная с работ Хаара в начале 20 века. Более поздняя работа Денниса Габора привела к появлению атомов Габора (1946), которые сконструированы аналогично вейвлетам и применяются для аналогичных целей.

Вейвлет-сжатие , форма кодирования с преобразованием, которая использует вейвлет-преобразования при сжатии данных , началось после разработки дискретного косинусного преобразования (DCT) ^[11], блочного алгоритма сжатия данных , впервые предложенного Насиром Ахмедом в начале 1970-х годов. ^{[12] [13]} Введение DCT привело к развитию вейвлет-кодирования, варианта DCT-кодирования, использующего вейвлеты вместо блочного алгоритма DCT. ^[11]

С тех пор значительный вклад в теорию вейвлетов можно отнести к открытию Цвейгом непрерывного вейвлет-преобразования (CWT) в 1975 году (первоначально называвшегося кохлеарным преобразованием и обнаруженного при изучении реакции уха на звук) ^[14] Пьер Гупийо, Формулировка Гроссманом и Морле того, что сейчас известно как CWT (1982), ранняя работа Ян-Олова Стрёмберга по дискретным вейвлетам (1983), вейвлет LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3, разработанный Дидье Ле Галлом и Али Дж. Табатабай (1988), ^{[15] [16] [17]} Ортогональные всплески Ингрид Добеши с компактным носителем (1988), Маллат«S рамки кратномасштабной (1989), Али Аканзу » s Бином СУК (1990), интерпретация времени частота Nathalie Delprat по НВП (1991), Ньюленд в гармоническое вейвлет - преобразование (1993), а также множество разделов в иерархических деревьев (SPIHT) , разработанная Амир Саид с Уильямом А. Перлманом в 1996 году. ^[18]

Стандарт JPEG 2000 был разработан с 1997 по 2000 год комитетом Joint Photographic Experts Group (JPEG) под председательством Тураджа Эбрахими (впоследствии президента JPEG). ^[19] В отличие от алгоритма DCT, используемого в исходном формате JPEG , JPEG 2000 вместо этого использует алгоритмы дискретного вейвлет-преобразования (DWT). Он использует вейвлет-преобразование CDF 9/7 (разработанное Ингрид Добешис в 1992 году) для своего алгоритма сжатия с потерями и вейвлет-преобразование ЛеГалла-Табатабаи (LGT) 5/3 (разработанное Дидье Ле Галлом и Али Дж. Табатабаи в 1988 году). за его алгоритм сжатия без потерь . ^[20] JPEG 2000Технология, которая включает расширение Motion JPEG 2000 , была выбрана в качестве стандарта кодирования видео для цифрового кино в 2004 году ^[21].

Хронология [ править ]

• Первый вейвлет ( Вейвлет Хаара ) Альфреда Хаара (1909)
• С 1970-х: Джордж Цвейг , Жан Морле , Алекс Гроссманн.
• С 1980-х: Ив Мейер , Дидье Ле Галл, Али Дж. Табатабаи, Стефан Маллат , Ингрид Добеши , Рональд Койфман , Али Акансу , Виктор Викерхаузер.
• С 1990-х: Натали Дельпрат, Newland, Амир Саид, Уильям А. Перлман, Турадж Эбрахими, JPEG 2000

Вейвлет-преобразования [ править ]

Вейвлет - это математическая функция, используемая для разделения заданной функции или сигнала непрерывного времени на различные компоненты масштаба. Обычно каждому компоненту шкалы можно присвоить частотный диапазон. Затем можно изучить каждый компонент шкалы с разрешением, которое соответствует его масштабу. Вейвлет-преобразование - это представление функции вейвлетами. Вейвлеты представляют собой масштабированные и преобразованные копии (известные как «дочерние вейвлеты») конечной длины или быстро затухающей осциллирующей волны (известной как «материнский вейвлет»). Вейвлет-преобразования имеют преимущества перед традиционными преобразованиями Фурье для представления функций, которые имеют разрывы и острые пики, а также для точного деконструкции и восстановления конечных, непериодическихи / или нестационарные сигналы.

Вейвлет-преобразования подразделяются на дискретные вейвлет-преобразования (DWT) и непрерывные вейвлет-преобразования (CWT). Обратите внимание, что как DWT, так и CWT являются непрерывными (аналоговыми) преобразованиями. Их можно использовать для представления (аналоговых) сигналов с непрерывным временем. CWT работают со всеми возможными масштабами и перемещениями, тогда как DWT используют определенное подмножество значений масштаба и перемещения или сетку представления.

Существует большое количество вейвлет-преобразований, каждое из которых подходит для разных приложений. Полный список см. В списке преобразований, связанных с вейвлетами, но наиболее распространенные из них перечислены ниже:

• Непрерывное вейвлет-преобразование (CWT)
• Дискретное вейвлет-преобразование (DWT)
• Быстрое вейвлет-преобразование (FWT)
• Схема подъема и обобщенная схема подъема
• Разложение вейвлет-пакетов (WPD)
• Стационарное вейвлет-преобразование (SWT)
• Дробное преобразование Фурье (FRFT)
• Дробное вейвлет-преобразование (FRWT)

Обобщенные преобразования [ править ]

Существует ряд обобщенных преобразований, частным случаем которых является вейвлет-преобразование. Например, Йосеф Джозеф Сегман ввел масштаб в группу Гейзенберга , создав пространство непрерывного преобразования, которое является функцией времени, масштаба и частоты. CWT - это двухмерный срез полученного трехмерного объема в масштабе времени и частоте.

Другим примером обобщенного преобразования является преобразование chirplet, в котором CWT также является двумерным срезом через преобразование chirplet.

Важной областью применения обобщенных преобразований являются системы, в которых решающее значение имеет высокое разрешение по частоте. Например, электронно-оптические преобразования темного поля, промежуточные между прямым и обратным пространством , широко используются в гармоническом анализе кластеризации атомов, то есть при исследовании кристаллов и дефектов кристаллов . ^[22] Теперь, когда просвечивающие электронные микроскопы способны предоставлять цифровые изображения с пикометровой информацией об атомной периодичности в наноструктурах всех видов, диапазоне распознавания образов ^[23] и деформации ^[24]Приложения / metrology ^[25] для промежуточных преобразований с высоким частотным разрешением (например, брашлеты ^[26] и риджлеты ^[27] ) быстро растут.

Дробное вейвлет-преобразование (FRWT) - это обобщение классического вейвлет-преобразования в областях дробного преобразования Фурье. Это преобразование позволяет одновременно предоставлять информацию во временной и дробной областях и представлять сигналы в плоскости дробно-временной области. ^[28]

Применение вейвлет-преобразования [ править ]

Обычно приближение к DWT используется для сжатия данных, если сигнал уже выбран, и CWT для анализа сигнала . ^[29] Таким образом, приближение DWT обычно используется в инженерии и информатике, а CWT - в научных исследованиях.

Как и некоторые другие преобразования, вейвлет-преобразования могут использоваться для преобразования данных, а затем для кодирования преобразованных данных, что приводит к эффективному сжатию. Например, JPEG 2000 - это стандарт сжатия изображений, использующий биортогональные вейвлеты. Это означает, что, хотя кадр является переполненным, это плотный кадр (см. Типы кадров векторного пространства ), и те же функции кадра (за исключением сопряжения в случае сложных вейвлетов) используются как для анализа, так и для синтеза, т. Е. , как в прямом, так и в обратном преобразовании. Подробнее см. Вейвлет-сжатие .

Связанное использование предназначено для сглаживания / уменьшения шума данных на основе порогового значения вейвлет-коэффициента, также называемого сжатием вейвлета. Путем адаптивного определения порога вейвлет-коэффициентов, которые соответствуют нежелательным частотным компонентам, могут выполняться операции сглаживания и / или удаления шума.

Вейвлет-преобразования также начинают использоваться для коммуникационных приложений. Wavelet OFDM - это основная схема модуляции, используемая в HD-PLC ( технология связи по линиям электропередач, разработанная Panasonic ), и в одном из дополнительных режимов, включенных в стандарт IEEE 1901 . Вейвлет OFDM может достигать более глубоких провалов, чем традиционный FFT OFDM, а вейвлетный OFDM не требует защитного интервала (который обычно представляет собой значительные накладные расходы в системах FFT OFDM). ^[30]

Как представление сигнала [ править ]

Часто сигналы могут быть представлены в виде суммы синусоид. Однако рассмотрите прерывистый сигнал с резким разрывом; этот сигнал все еще может быть представлен в виде суммы синусоид, но требует бесконечного числа, что является наблюдением, известным как феномен Гиббса.. Таким образом, для этого требуется бесконечное количество коэффициентов Фурье, что непрактично для многих приложений, таких как сжатие. Вейвлеты более полезны для описания этих сигналов с разрывами из-за их локализованного во времени поведения (и преобразования Фурье, и вейвлет-преобразования локализованы по частоте, но вейвлеты обладают дополнительным свойством локализации во времени). Из-за этого на практике многие типы сигналов могут быть не разреженными в области Фурье, но очень разреженными в области вейвлетов. Это особенно полезно при реконструкции сигналов, особенно в недавно популярной области сжатого зондирования . (Обратите внимание, что кратковременное преобразование Фурье(STFT) также локализован по времени и частоте, но часто возникают проблемы с соотношением частотно-временного разрешения. Вейвлеты лучше представляют сигнал из-за анализа с множественным разрешением .)

Это мотивирует то, почему вейвлет-преобразования сейчас применяются для огромного количества приложений, часто заменяя обычное преобразование Фурье . Этот сдвиг парадигмы произошел во многих областях физики, включая молекулярную динамику , теорию хаоса , ^[31] расчеты ab initio , астрофизику , анализ переходных данных гравитационных волн , ^{[32] [33]} локализацию матрицы плотности , сейсмологию , оптику , турбулентность и квантовую механика . Это изменение коснулось также обработки изображений , ЭЭГ., ЭМГ , ^[34] анализ ЭКГ , ритмы мозга , анализ ДНК, анализ белков , климатология , анализ сексуальной реакции человека, ^[35] общая обработка сигналов , распознавание речи , акустика, сигналы вибрации, ^[36] компьютерная графика , мультифрактальный анализ и разреженное кодирование . В компьютерном зрении и обработке изображений понятие масштабного пространства операторы представления и производной Гаусса рассматриваются как каноническое многомасштабное представление.

Вейвлет-шумоподавление [ править ]

Предположим, мы измеряем зашумленный сигнал . Предположим, что s имеет разреженное представление в определенных базисах вейвлетов, и${\displaystyle x=s+v}$${\displaystyle v\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Итак .${\displaystyle y=W^{T}x=W^{T}s+W^{T}v=p+z}$

Большинство элементов в p равны 0 или близки к 0, и ${\displaystyle z\ \sim \ \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

Поскольку W ортогонален, задача оценки сводится к восстановлению сигнала в iid гауссовском шуме . Поскольку p является разреженным, одним из методов является применение модели смеси Гаусса для p.

Предположим априор , - это дисперсия «значимых» коэффициентов, а - дисперсия «незначительных» коэффициентов.${\displaystyle p\ \sim \ a{\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{1}^{2})+(1-a){\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Затем , называется усадкой коэффициент, который зависит от предыдущих дисперсий и . Эффект коэффициента усадки заключается в том, что малые коэффициенты заранее устанавливаются на 0, а большие коэффициенты не меняются.${\displaystyle {\tilde {p}}=E(p/y)=\tau (y)y}$${\displaystyle \tau (y)}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Маленькие коэффициенты - это в основном шумы, а большие коэффициенты содержат фактический сигнал.

Наконец, примените обратное вейвлет-преобразование, чтобы получить ${\displaystyle {\tilde {s}}=W{\tilde {p}}}$

Список вейвлетов [ править ]

Дискретные вейвлеты [ править ]

• Бейлкин (18)
• Биортогональные вейвлеты, близкие к койфлету (BNC)
• Койфлет (6, 12, 18, 24, 30)
• Вейвлет Коэна-Добеши-Фово (иногда называемый CDF N / P или биортогональные вейвлеты Добеши)
• Вейвлет Добеши (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 и т. Д.)
• Биномиальный QMF (также называемый вейвлетом Добеши)
• Вейвлет Хаара
• Вейвлет Матьё
• Вейвлет Лежандра
• Вейвлет Вилласенора
• Симлет ^[37]

Непрерывные вейвлеты [ править ]

Реальные [ править ]

• Бета-вейвлет
• Эрмитов вейвлет
• Вейвлет эрмитовой шляпы
• Вейвлет Мейера
• Мексиканская шляпа вейвлет
• Вейвлет Пуассона
• Вейвлет Шеннона
• Сплайн вейвлет
• Вейвлет Стрёмберга

Комплексное значение [ править ]

• Сложный мексиканский вейвлет шляпы
• fbsp вейвлет
• Вейвлет Морле
• Вейвлет Шеннона
• Модифицированный вейвлет Морле

См. Также [ править ]

• Чирплет преобразование
• Curvelet
• Цифровое кино
• Банки фильтров
• Фрактальное сжатие
• Дробное преобразование Фурье
• JPEG 2000
• Анализ с несколькими разрешениями
• Noiselet
• Неразделимый вейвлет
• Масштабировать пространство
• Масштабированная корреляция
• Shearlet
• Кратковременное преобразование Фурье
• Сверхширокополосное радио - передает вейвлеты
• Волновой пакет
• Вейвлет Габора # Пространство вейвлетов ^[38]
• Уменьшение размеров
• Преобразования, связанные с Фурье
• Спектрограмма
• Принцип Гюйгенса – Френеля (физические всплески)

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

• Хаар А., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme , Mathematische Annalen, 69 , стр. 331–371, 1910.
• Ингрид Добешис , Десять лекций по вейвлетам , Общество промышленной и прикладной математики, 1992, ISBN 0-89871-274-2 
• Али Акансу и Ричард Хаддад, Разложение сигнала с различным разрешением: преобразования, поддиапазоны, вейвлеты , Academic Press, 1992, ISBN 0-12-047140-X 
• П.П. Вайдьянатан , Многоскоростные системы и банки фильтров , Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-605718-7 
• Джеральд Кайзер, Дружественный справочник по вейвлетам , Birkhauser, 1994, ISBN 0-8176-3711-7 
• Младен Виктор Викерхаузер, Адаптированный вейвлет-анализ от теории к программному обеспечению , AK Peters Ltd, 1994, ISBN 1-56881-041-5 
• Мартин Веттерли и Елена Ковачевич, "Вейвлеты и кодирование поддиапазонов", Prentice Hall, 1995, ISBN 0-13-097080-8 
• Барбара Берк Хаббард, «Мир согласно вейвлетам: история создания математической техники», AK Peters Ltd, 1998, ISBN 1-56881-072-5 , ISBN 978-1-56881-072-0  
• Стефан Малла , «Вейвлет-тур по обработке сигналов», 2-е издание, Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X 
• Дональд Б. Персиваль и Эндрю Т. Уолден, Вейвлет-методы для анализа временных рядов , Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-68508-7 
• Рамазан Генчай, Фарук Сельчук и Брэндон Уитчер, Введение в вейвлеты и другие методы фильтрации в финансах и экономике , Academic Press, 2001, ISBN 0-12-279670-5 
• Пол С. Аддисон, Справочник по иллюстрированному вейвлет-преобразованию , Институт физики , 2002, ISBN 0-7503-0692-0 
• Б. Боашаш, редактор, "Анализ и обработка частотно-временных сигналов - исчерпывающий справочник", Elsevier Science, Оксфорд, 2003 г., ISBN 0-08-044335-4 . 
• Тони Ф. Чан и «Джеки (Цзяньхун) Шен» , обработка изображений и анализ - вариационные, PDE, вейвлет и стохастические методы , Общество прикладной математики, ISBN 0-89871-589-X (2005) 
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 13.10. Вейвлет-преобразования» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки [ править ]

Использование внешних ссылок в этом разделе может не соответствовать политике или рекомендациям Википедии . Пожалуйста, улучшите эту статью , удалив лишние или неприемлемые внешние ссылки и преобразовав полезные ссылки, где это уместно, в сноски . ( Июль 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Найдите вейвлет в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме Wavelet .

• Вейвлет-дайджест
• Вейвлеты: программное обеспечение - список полезных фреймворков, библиотек и другого программного обеспечения для вейвлет-преобразования.
• "Вейвлет-анализ" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• 1-й симпозиум NJIT по вейвлетам (30 апреля 1990 г.) (Первая конференция вейвлетов в США)
• Биномиальные вейвлеты Добеши QMF
• Вейвлеты Гилберта Стрэнга, американского ученого 82 (1994) 250–255. (Очень короткое и отличное введение)
• Курс по вейвлетам, проведенный в Калифорнийском университете в Санта-Барбаре, 2004 г.
• Вейвлеты для детей (PDF-файл) (Ознакомительный (для очень умных детей!))
• WITS: Где старлетка? Словарь из десятков вейвлетов и терминов, связанных с вейвлетами, оканчивающихся на -let, от активлетов до x-Let через бандлеты, контуры, кривые, шумлеты, клинья.
• Вейвлет-преобразование дробного сплайна описывает дробное вейвлет-преобразование, основанное на дробных b-сплайнах.
• Панорама многомасштабных геометрических представлений, переплетения пространственной, направленной и частотной избирательности предоставляет учебное пособие по двумерным ориентированным вейвлетам и связанным геометрическим многомасштабным преобразованиям.
• Снижение шума с помощью вейвлетов
• Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера