В математике , Вейвлет серия является представлением интегрируемого квадрата ( реальной - или сложной значной) функции по определенной ортонормирован- серии порожденной вейвлетом . В этой статье дается формальное математическое определение ортонормированного вейвлета и интегрального вейвлет-преобразования . [1] [2] [3] [4]
Определение [ править ]
Функция называется ортонормированным вейвлетом , если оно может быть использовано для определения Гильберта основы , которая является полной ортонормированной системой , для гильбертова пространства в квадратичне интегрируемых функций.
Гильберта основа строится семейство функций с помощью двоичных сдвигов и растяжений из ,
для целых чисел .
Если под стандартным внутренним продуктом включен ,
это семейство ортонормировано, это ортонормированная система:
где - дельта Кронекера .
Полнота удовлетворяется, если каждая функция может быть расширена в базисе как
с сходимостью ряда понимается сходимость по норме . Такое представление f называется вейвлет-серией . Это означает, что ортонормированный вейвлет самодвойственен .
Интегральное вейвлет - преобразование является интегральное преобразование определяется как
Тогда вейвлет-коэффициенты определяются как
Здесь это называется двоичным расширением или двоичным расширением и является двоичным или двоичным положением .
Принцип [ править ]
Фундаментальная идея вейвлет-преобразований состоит в том, что преобразование должно допускать только изменения во времени, но не в форме. На это влияет выбор подходящих базовых функций, которые позволяют это. [ как? ] Ожидается, что изменения во временном продлении будут соответствовать соответствующей частоте анализа базовой функции. Основываясь на принципе неопределенности обработки сигналов,
где представляет собой время и угловую частоту ( , где - временная частота).
Чем выше требуемое разрешение по времени, тем ниже должно быть разрешение по частоте. Чем больше выбрано расширение окон анализа , тем больше значение [ как? ] .
Когда большой,
- Плохое временное разрешение
- Хорошее частотное разрешение
- Низкая частота, большой коэффициент масштабирования
Когда маленький
- Хорошее временное разрешение
- Плохое частотное разрешение
- Высокая частота, малый коэффициент масштабирования
Другими словами, базисную функцию можно рассматривать как импульсную характеристику системы, с помощью которой функция была отфильтрована. Преобразованный сигнал предоставляет информацию о времени и частоте. Следовательно, вейвлет-преобразование содержит информацию, аналогичную краткосрочному преобразованию Фурье , но с дополнительными особыми свойствами вейвлетов, которые проявляются с разрешением во времени на более высоких частотах анализа базисной функции. Разница во временном разрешении на возрастающих частотах для преобразования Фурье и вейвлет-преобразования показана ниже. Однако обратите внимание, что разрешение по частоте уменьшается с увеличением частот, в то время как разрешение по времени увеличивается. Это следствиеПринцип неопределенности Фурье отображается на рисунке некорректно.
Это показывает, что вейвлет-преобразование имеет хорошее временное разрешение на высоких частотах, в то время как для медленно меняющихся функций разрешение по частоте замечательное.
Другой пример: анализ трех наложенных синусоидальных сигналов с помощью STFT и вейвлет-преобразования.
Сжатие вейвлета [ править ]
Вейвлет-сжатие - это форма сжатия данных, хорошо подходящая для сжатия изображений (иногда также сжатия видео и аудио ). Известными реализациями являются JPEG 2000 , DjVu и ECW для неподвижных изображений, CineForm и Дирак BBC . Цель состоит в том, чтобы хранить данные изображения на как можно меньшем пространстве в файле . Вейвлет-сжатие может быть без потерь или с потерями . [5] Вейвлет-кодирование - это вариант дискретного косинусного преобразования.(DCT) кодирование, использующее вейвлеты вместо блочного алгоритма DCT. [6]
Используя вейвлет-преобразование, методы вейвлет-сжатия подходят для представления переходных процессов , таких как звуки ударных в звуке или высокочастотных компонентов в двумерных изображениях, например изображения звезд на ночном небе. Это означает, что переходные элементы сигнала данных могут быть представлены меньшим объемом информации, чем было бы, если бы использовалось какое-либо другое преобразование, такое как более распространенное дискретное косинусное преобразование .
Дискретное вейвлет-преобразование успешно применялось для сжатия сигналов электрокардиографа (ЭКГ) [7]. В этой работе высокая корреляция между соответствующими вейвлет-коэффициентами сигналов последовательных сердечных циклов используется с использованием линейного предсказания.
Вейвлет-сжатие не подходит для всех видов данных: характеристики переходного сигнала означают хорошее вейвлет-сжатие, в то время как гладкие периодические сигналы лучше сжимаются другими методами, особенно традиционным гармоническим сжатием (частотная область, например, преобразованием Фурье и т.п.).
См. Дневник разработчика x264: Проблемы с вейвлетами (2010) для обсуждения практических вопросов современных методов, использующих вейвлеты для сжатия видео.
Метод [ править ]
Сначала применяется вейвлет-преобразование. Это дает столько коэффициентов, сколько пикселей в изображении (т. Е. Сжатия еще нет, поскольку это всего лишь преобразование). Эти коэффициенты затем можно будет легче сжать, поскольку информация статистически сконцентрирована всего в нескольких коэффициентах. Этот принцип называется кодированием с преобразованием . После этого коэффициенты являются квантуется и квантованные значения энтропии кодируются и / или длина последовательности кодируется .
Некоторые одномерные и двухмерные приложения вейвлет-сжатия используют технику, называемую «следы вейвлетов». [8] [9]
Оценка [ править ]
Требование к сжатию изображений [ править ]
Для наиболее естественных изображений спектральная плотность нижней частоты выше. [10] В результате информация о низкочастотном сигнале (опорный сигнал) обычно сохраняется, а информация в подробном сигнале отбрасывается. С точки зрения сжатия и реконструкции изображения вейвлет должен соответствовать следующим критериям при выполнении сжатия изображения:
- Возможность преобразовать более оригинальное изображение в опорный сигнал.
- Высокая точность реконструкции на основе опорного сигнала.
- Не должно привести к появлению артефактов в изображении, реконструированных только из опорного сигнала.
Требование для изменения смены и поведения звонка [ править ]
Система сжатия вейвлет-изображения включает фильтры и прореживание, поэтому ее можно описать как систему с линейным сдвигом. Типичная диаграмма вейвлет-преобразования представлена ниже:
Система преобразования содержит два фильтра анализа (фильтр нижних частот и фильтр верхних частот ), процесс прореживания, процесс интерполяции и два фильтра синтеза ( и ). Система сжатия и восстановления обычно включает низкочастотные компоненты, которые представляют собой фильтры анализа для сжатия изображения и фильтры синтеза для восстановления. Чтобы оценить такую систему, мы можем ввести импульс и наблюдать ее реконструкцию ; Оптимальный вейвлет - это те, которые доводят до минимума дисперсию сдвига и боковой лепесток . Несмотря на то, что вейвлет со строгой дисперсией сдвига нереалистичен, можно выбрать вейвлет только с небольшой дисперсией сдвига. Например, мы можем сравнить дисперсию сдвига двух фильтров:[11]
Длина | Коэффициенты фильтра | Регулярность | ||
---|---|---|---|---|
Вейвлет-фильтр 1 | H0 | 9 | .852699, .377402, -.110624, -.023849, .037828 | 1.068 |
G0 | 7 | .788486, .418092, -.040689, -.064539 | 1,701 | |
Вейвлет-фильтр 2 | H0 | 6 | .788486, .047699, -.129078 | 0,701 |
G0 | 10 | .615051, .133389, -.067237, .006989, .018914 | 2,068 |
Наблюдая за импульсными характеристиками двух фильтров, мы можем сделать вывод, что второй фильтр менее чувствителен к местоположению входа (т.е. это вариант с меньшим сдвигом).
Другой важной проблемой для сжатия и реконструкции изображений является колебательное поведение системы, которое может привести к серьезным нежелательным артефактам на восстановленном изображении. Для этого вейвлет-фильтры должны иметь большое отношение пика к боковым лепесткам.
До сих пор мы обсуждали одномерное преобразование системы сжатия изображений. Эта проблема может быть расширена до двух измерений, в то время как предлагается более общий термин - многомасштабные преобразования со сдвигом. [12]
Вывод импульсной характеристики [ править ]
Как упоминалось ранее, импульсная характеристика может использоваться для оценки системы сжатия / восстановления изображения.
Для входной последовательности опорный сигнал после одного уровня разложения подвергается децимации с коэффициентом два, в то время как является фильтром нижних частот. Точно так же следующий опорный сигнал получается путем прореживания в два раза. После того, как уровни L разложения (и прореживание), ответ анализа получен путем сохранения одного из каждых образцов: .
С другой стороны, чтобы восстановить сигнал x (n), мы можем рассмотреть опорный сигнал . Если детальные сигналы равны нулю для , то опорный сигнал на предыдущем этапе ( этапе) равен , который получается путем интерполяции и свертки с . Аналогичным образом , процедура повторяется для получения опорного сигнала на этапе . После L итераций вычисляется импульсная характеристика синтеза:, которая связывает опорный сигнал и восстановленный сигнал.
Для получения общей системы анализа / синтеза L-уровня ответы анализа и синтеза объединяются, как показано ниже:
.
Наконец, отношение пика к первому боковому лепестку и средний второй боковой лепесток общей импульсной характеристики можно использовать для оценки эффективности сжатия вейвлет-изображения.
Сравнение с преобразованием Фурье и частотно-временным анализом [ править ]
Преобразовать | Представление | Вход |
---|---|---|
преобразование Фурье | частота | |
Частотно-временной анализ | время; частота | |
Вейвлет-преобразование | масштабирование; коэффициент временного сдвига |
Вейвлеты имеют некоторые небольшие преимущества по сравнению с преобразованиями Фурье в сокращении объема вычислений при исследовании конкретных частот. Однако они редко бывают более чувствительными, и действительно, обычный вейвлет Морле математически идентичен кратковременному преобразованию Фурье с использованием оконной функции Гаусса. [13] Исключение составляет поиск сигналов известной несинусоидальной формы (например, сердцебиение); в этом случае использование согласованных вейвлетов может превзойти стандартный анализ STFT / Морле. [14]
Другие практические применения [ править ]
Вейвлет-преобразование может предоставить нам частоту сигналов и время, связанное с этими частотами, что делает его очень удобным для его применения во многих областях. Например, обработка сигналов ускорений для анализа походки, [15] для обнаружения неисправностей, [16] для разработки кардиостимуляторов малой мощности, а также для сверхширокополосной (UWB) беспроводной связи. [17] [18] [19]
- Дискретизация оси
Применена следующая дискретизация частоты и времени:
Приводя к вейвлетам вида, дискретная формула для базисного вейвлета:
Такие дискретные вейвлеты можно использовать для преобразования:
- Реализация через БПФ (быстрое преобразование Фурье)
Как видно из представления вейвлет-преобразования (показано ниже)
где - коэффициент масштабирования, представляет коэффициент временного сдвига
и как уже упоминалось в этом контексте, вейвлет-преобразование соответствует свертке функции и вейвлет-функции. Свертка может быть реализована как умножение в частотной области. Таким образом, следующий подход к реализации приводит к:
- Фурье-преобразование сигнала с помощью БПФ
- Выбор дискретного масштабного коэффициента
- Масштабирование вейвлет-базисной функции по этому коэффициенту и последующее БПФ этой функции
- Умножение на преобразованный сигнал YFFT первого шага
- Обратное преобразование продукта во временную область приводит к различным дискретным значениям и дискретному значению
- Вернемся ко второму шагу, пока не будут обработаны все дискретные значения масштабирования для
Синхронно-сжатое преобразование [ править ]
Синхронно-сжатое преобразование может значительно улучшить временное и частотное разрешение частотно-временного представления, полученного с использованием обычного вейвлет-преобразования. [20] [21]
См. Также [ править ]
- Непрерывное вейвлет-преобразование
- Дискретное вейвлет-преобразование
- Комплексное вейвлет-преобразование
- Преобразование Constant-Q
- Стационарное вейвлет-преобразование
- Двойной вейвлет
- Анализ с несколькими разрешениями
- MrSID , формат изображения, разработанный на основе оригинального исследования вейвлет-сжатия в Национальной лаборатории Лос-Аламоса (LANL)
- ECW , формат геопространственных изображений на основе вейвлетов, разработанный для обеспечения скорости и эффективности обработки.
- JPEG 2000 , стандарт сжатия изображений на основе вейвлетов
- Формат DjVu использует алгоритм IW44 на основе вейвлетов для сжатия изображений.
- скейлограммы , тип спектрограммы, сгенерированной с использованием вейвлетов вместо кратковременного преобразования Фурье
- Вейвлет
- Вейвлет Хаара
- Вейвлет Добеши
- Биномиальный QMF (также известный как вейвлет Добеши )
- Вейвлет Морле
- Вейвлет Габора
- Chirplet преобразование
- Частотно-временное представление
- S преобразование
- Установить секционирование в иерархических деревьях
- Кратковременное преобразование Фурье
- Биортогональный почти койфлетный базис , который показывает, что вейвлет для сжатия изображения также может быть почти койфлетным (почти ортогональным).
Ссылки [ править ]
- ^ Мейер, Ив (1992), Вейвлеты и операторы, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42000-8
- ^ Чуйская, Чарльз К. (1992), Введение в вейвлеты, СанДиего, Калифорния: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8
- ^ Добеши, Ингрид. (1992), Десять лекций по вейвлетам, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2
- ^ Акансу, Али Н .; Хаддад, Ричард А. (1992), Разложение сигнала с несколькими разрешениями: преобразования, поддиапазоны и вейвлеты, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6
- ^ JPEG 2000 , например, может использовать вейвлет 5/3 для преобразования без потерь (обратимого) и вейвлет 9/7 для преобразования с потерями (необратимого).
- ^ Хоффман, Рой (2012). Сжатие данных в цифровых системах . Springer Science & Business Media . п. 124. ISBN 9781461560319.
По сути, вейвлет-кодирование - это вариант кодирования с преобразованием на основе DCT, который уменьшает или устраняет некоторые из его ограничений. (...) Еще одно преимущество заключается в том, что вместо работы с блоками 8 × 8 пикселей, как это делают JPEG и другие блочные методы DCT, вейвлет-кодирование может одновременно сжимать все изображение.
- ^ Рамакришнан, AG; Саха, С. (1997). «Кодирование ЭКГ с помощью линейного предсказания на основе вейвлетов» (PDF) . IEEE Transactions по биомедицинской инженерии . 44 (12): 1253–1261. DOI : 10.1109 / 10.649997 . PMID 9401225 . S2CID 8834327 .
- ^ Н. Малмуруган, А. Шанмугам, С. Джаяраман и В. В. Динеш Чандер. «Новый и новый алгоритм сжатия изображений с использованием вейвлетных следов»
- ^ Хо Татт Вей и Джеоти, В. "Схема сжатия на основе вейвлет-следа для сигналов ЭКГ". Хо Татт Вэй; Джеоти, В. (2004). «Схема сжатия сигналов ЭКГ на основе вейвлет-следа». 2004 Конференция IEEE Region 10 TENCON 2004 . . п. 283. DOI : 10,1109 / TENCON.2004.1414412 . ISBN 0-7803-8560-8. S2CID 43806122 .
- ^ Дж. Филд, Дэвид (1987). «Связь между статистикой естественных изображений и реакционными свойствами корковых клеток» (PDF) . J. Opt. Soc. Являюсь. . 4 (12): 2379–2394. Bibcode : 1987JOSAA ... 4.2379F . DOI : 10.1364 / JOSAA.4.002379 . PMID 3430225 .
- ^ Villasenor, Джон Д. (август 1995). «Оценка вейвлет-фильтра для сжатия изображения». IEEE Transactions по обработке изображений . 4 (8): 1053. Bibcode : 1995ITIP .... 4.1053V . DOI : 10.1109 / 83.403412 .
- ^ Simoncelli, EP; Фримен, WT; Адельсон, EH; Хигер, ди-джей (1992). «Изменяемые многомасштабные преобразования». IEEE Transactions по теории информации . 38 (2): 587–607. DOI : 10.1109 / 18.119725 .
- ^ Брунс, Андреас (2004). «Анализ сигналов на основе Фурье, Гильберта и вейвлетов: действительно ли это разные подходы?». Журнал методов неврологии . 137 (2): 321–332. DOI : 10.1016 / j.jneumeth.2004.03.002 . PMID 15262077 . S2CID 21880274 .
- ^ Кранц, Стивен Г. (1999). Панорама гармонического анализа . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-031-1.
- ^ Мартин, Э. (2011). «Новый метод оценки длины шага с помощью акселерометров сети локализации тела». 2011 Тематическая конференция IEEE по биомедицинским беспроводным технологиям, сетям и сенсорным системам . С. 79–82. DOI : 10.1109 / BIOWIRELESS.2011.5724356 . ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047 .
- ^ Лю, Цзе (2012). "Анализ вейвлет-спектра Шеннона на усеченных сигналах вибрации для обнаружения зарождающейся неисправности машины". Измерительная наука и технология . 23 (5): 1–11. Bibcode : 2012MeScT..23e5604L . DOI : 10.1088 / 0957-0233 / 23/5/055604 .
- ^ Акансу, АН; Сердейн, Вашингтон; Селезник, И. В. (2010). «Новые приложения вейвлетов: обзор» (PDF) . Физическая коммуникация . 3 : 1–18. DOI : 10.1016 / j.phycom.2009.07.001 .
- ^ Шейбани, E .; Джавиди, Г. (декабрь 2009 г.). «Снижение размерности и удаление шума в наборах данных беспроводной сенсорной сети». 2009 Вторая международная конференция по компьютерной и электротехнике . 2 : 674–677. DOI : 10.1109 / ICCEE.2009.282 . ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179 .
- ^ Шейбани, EO; Джавиди, Г. (май 2012 г.). «Банки фильтров с различными разрешениями для улучшенного отображения РСА». Международная конференция по системам и информатике 2012 г. (ICSAI2012) : 2702–2706. DOI : 10.1109 / ICSAI.2012.6223611 . ISBN 978-1-4673-0199-2. S2CID 16302915 .
- ^ Добеши, Ингрид; Лу, Цзяньфэн; Ву, Хау-Тиенг (12 декабря 2009 г.). «Синхронизированные вейвлет-преобразования: инструмент для разложения эмпирических мод» . arXiv: 0912.2437 [математика] . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ Цюй, Хунья; Ли, Тяньтянь; Чен, Генда (2019-01-01). «Синхронизированное адаптивное вейвлет-преобразование с оптимальными параметрами для произвольных временных рядов». Механические системы и обработка сигналов . 114 : 366–377. DOI : 10.1016 / j.ymssp.2018.05.020 .
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме вейвлетов . |
- Амара Грейпс (июнь 1995 г.). «Введение в вейвлеты» . IEEE Вычислительная наука и инженерия .
- Роби Поликар (12.01.2001). "Учебное пособие по вейвлетам" .
- Краткое введение в вейвлеты Рене Пушингера