В теории операторов , А дилатация из оператора Т на гильбертовом пространстве Н является оператором на большем гильбертовом пространстве K , ограничение которого на H состоит с ортогональной проекцией на H является Т .
Более формально, пусть T - ограниченный оператор в некотором гильбертовом пространстве H , а H - подпространство большего гильбертова пространства H ' . Ограниченный оператор V на H ' является растяжением T, если
где является ортогональной проекцией на Н .
V называется унитарным растяжением (соответственно нормальным, изометрическим и т. Д.), Если V унитарным (соответственно нормальным, изометрическим и т. Д.). Т называется быть сжатием из V . Если оператор T имеет спектральное множество , мы говорим, что V - нормальная граничная дилатация или нормальныйдилатация, если V - нормальная дилатация Т и.
Некоторые тексты накладывают дополнительное условие. А именно, что расширение удовлетворяет следующему (исчисляемому) свойству:
где f (T) - некоторое заданное функциональное исчисление (например, полиномиальное или H ∞ исчисление). Полезность расширения состоит в том, что оно позволяет «поднимать» объекты, связанные с T, до уровня V , где поднятые объекты могут иметь более приятные свойства. См., Например, теорему о коммутантном поднятии .
Приложения
Мы можем показать, что каждое сжатие гильбертовых пространств имеет унитарное растяжение. Возможная конструкция этой дилатации следующая. Для сжатия T оператор
положительно, где непрерывное функциональное исчисление используется для определения квадратного корня. Оператор Д Т называется дефектом оператор из T . Пусть V - оператор на
определяется матрицей
В явно дилатацию Т . Кроме того, T ( I - T * T ) = ( I - TT * ) T и предельный аргумент [1] подразумевают
С помощью этого можно показать, путем расчета непосредственно, то V является унитарным, поэтому унитарным расширением Т . Этот оператор V иногда называют оператор Julia из T .
Обратите внимание, что когда T - действительный скаляр, скажем, у нас есть
которая представляет собой унитарную матрицу, описывающую поворот на θ. По этой причине, Жулиа оператор В (Т) иногда называют элементарный поворот на Т .
Отметим здесь, что в приведенном выше обсуждении мы не требовали свойства исчисления для растяжения. Действительно, прямое вычисление показывает, что оператор Джулии не может быть расширением "степени 2" в целом, т. Е. Не обязательно верно, что
- .
Тем не менее, он также может быть показано , что любое сокращение имеет унитарную дилатацию , который делает имеют свойство исчисления выше. Это теорема Ш.-Надя о растяжении . В более общем смысле, еслиявляется алгеброй Дирихле , любой оператор T с как спектральный набор будет иметь нормальный расширение с этим свойством. Это обобщает теорему Ш.-Надя о растяжении, поскольку все стягивания имеют единичный диск в качестве спектрального множества.
Заметки
- ^ С.-Надь, Фойаш 1970 , 3,1 .
Рекомендации
- Константинеску, Т. (1996), Параметры Шура, проблемы дилатации и факторизации , 82 , Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-5285-X.
- Паульсен В. (2002), Полностью ограниченные отображения и операторные алгебры , Cambridge University Press, ISBN 0-521-81669-6.
- Sz.-Nagy, B .; Фойаш, К. (1970), Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве , Издательство Северной Голландии, ISBN 9780720420357.